第07讲 两个基本计数原理（七大题型）（解析版）

第07讲两个基本计数原理【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理）1、分类加法计数原理：完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法．2、加法原理的特点是：①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．知识点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和．知识点二、分步乘法计数原理1、分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．2、乘法原理的特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干种方法；③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．知识点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积．知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别：1、分类计数原理和分步计数原理的区别：两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关．完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用1、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型①分类或分步．②先分类，再在每一类里再分步．③先分步，再在每一步里再分类，等等．（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？【典型例题】题型一：分类加法计数原理【例1】（2024·安徽·铜陵市实验高级中学高二阶段练习）从名女同学和名男同学中，选出人主持某次主题班会，不同的选法种数为______．【答案】【解析】选出人作为主持人，可分选出女主持人和男主持人两类，则选出人作为女主持人，有种不同的选法，选出人作为男主持人，有种不同的选法，所以共有种不同的选法.故答案为：.【变式1-1】（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】选人主持本班的某次专题班会可从名女同学任选一名，也可以从名男同学中任选名,由分类加法计数原理可知不同的选法种数为种.故选：C.【变式1-2】（2024·山东临沂·高二校考阶段练习）集合，，，，5，6，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数．若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则有，若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则有，合计，即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6个，故选：D.【变式1-3】（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）踢球时甲､乙､丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（

）A．6种 B．8种 C．2种 D．4种【答案】C【解析】经过3次传到甲，必定经过2次传到乙或丙，且经过2次传到乙或丙的方式种数相等，经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式，所以经过3次传到甲共有2种传递方式.故选：C.题型二：分步乘法计数原理【例2】（2024·山东德州·高二校考阶段练习）为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁4位同学每人都有种不同的选法，根据分步乘法计数原理可知，不同的选法共有种．故选：C．【变式2-1】（2024·河南周口·高二校联考期中）360的不同正因数的个数为（

）A．24 B．36 C．48 D．42【答案】A【解析】因为，所以360有个不同的正因数．故选：A【变式2-2】（2024·新疆伊犁·高二统考期中）若3名学生报名参加天文､计算机､文学､美术这4个兴趣小组，每人选1组，则不同的报名方式有（

）A．12种 B．24种 C．64种 D．81种【答案】C【解析】由题意可得每个人都有4种选法，则由分步乘法原理可得不同的报名方式有种，故选：C题型三：两个原理的对比应用【例3】（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（

）A．32种 B．128种 C．64种 D．256种【答案】C【解析】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法．故一共有种去法．故选：C.【变式3-1】（2024·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线上有三个不同的点，且，直线上有五个不同的点，且，，且，间的距离为1，则由这些点构成的面积为1的三角形的个数为（

）A．6 B．14 C．17 D．25【答案】B【解析】若构成的三角形有一个顶点在直线上，则在直线上的边的长度为，有三种情况，此时符合题意的三角形的个数为个，若构成的三角形有一个顶点在直线上，则在直线上的边的长度为，只有一种情况，此时符合题意的三角形的个数为个，综上所述，由这些点构成的面积为1的三角形的个数为.故选：B.【变式3-2】（2024·高二单元测试）一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有种．【答案】27【解析】由题可知有2人只会表演魔术，3人只会表演口技，3人既会表演魔术又会表演口技，针对只会表演魔术的人讨论，先从只会表演魔术的人表演魔术有2种选择，再从其他的6人选1人表演口技有6种选择，故共有种选择；不选只会表演魔术的人，从既会表演魔术又会表演口技的3人中选1人表演魔术，有3种选择，再从只会表演口技的3人和既会表演魔术又会表演口技的剩余2人选1人表演口技，有5种选择，故共有种选择；所以不同的安排方法有种.故答案为：27.【变式3-3】（2024·高二课时练习）直线l的方程为，若从0，1，3，5，7，8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示条不同的直线．【答案】22【解析】当A或B中有一个为0时，有2条不同的直线；当时，有条不同的直线,故共有条不同的直线,故答案为：22题型四：涂色问题【例4】（2024·高二课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（

）

A．240 B．300C．420 D．480【答案】C【解析】以S→A→B→C→D的顺序分步染色．第1步，对S点染色，有5种方法．第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法．第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法．第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类．当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种．故选：C．【变式4-1】（2024·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（

）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不对【答案】B【解析】分4步进行分析：①对于区域A，有5种颜色可选，②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;

③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,则不同的涂色方案有种;故选：B【变式4-2】（2024·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（

）

A．120 B．180 C．221 D．300【答案】B【解析】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法；Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法，综上共有种不同的着色方法.故选：B.【变式4-3】（2024·山东济南·高二统考期中）某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（

）A．24 B．36 C．48 D．96【答案】C【解析】先种区域1有种选择，区域2有种选择，区域3有种选择，区域4有种选择，区域5有2种选择，区域6有1种选择，则共有：种.故选：C.【变式4-4】（2024·全国·高二课时练习）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（

）．A．80种 B．120种 C．160种 D．240种【答案】B【解析】第一步，对1号区域，栽种有4种选择；第二步，对2号区域，栽种有3种选择；第三步，对3号区域，栽种有2种选择；第四步，对5号区域，栽种分为三种情况，①5号与2号栽种相同，则4号栽种仅有1种选择，6号栽种有2中选择，②5号与3号栽种相同，情况同上，③5号与2、3号栽种都不同，则4、6号只有1种；综上所述，种.故选：B.题型五：数字排位问题【例5】（2024·江苏常州·高二统考期中）我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”（如1203、1005均是四位合六数），则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有个．【答案】21【解析】由题知后三位数字之和为5，当一个位置为5时有005，050，500，共3个;当两个位置和为5时有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12个;当三个位置和为5时有113，131，311，122，212，221，共6个;所以一共有21个.故答案为:21.【变式5-1】（2024·浙江台州·高二台州市书生中学校联考期中）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数（如201，325等），那么由数字0，1，2，3，4，5能组成个无重复数字的凹数.【答案】40【解析】当首位为1，中间位置为0有4个凹数；当首位为2，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；当首位为3，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；当首位为4，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；中间位置为3有1个凹数；当首位为5，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；中间位置为3有1个凹数；综上，共有40个无重复数字的凹数.故答案为：40【变式5-2】（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”，“546”为“驼峰数”．由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有个，其中偶数有个．【答案】85【解析】十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个；十位上的数为2时，有324，423，共2个；所以共有6＋2＝8个；偶数为214，312，314，412，324，共5个．答案：8，5【变式5-3】（2024·江苏·高二专题练习）由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有个.【答案】【解析】能被整除的三位数说明末尾数字是或当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；则一共有种故答案为：题型六：占位模型中标准的选择【例6】（2024·全国·高三专题练习）有六名同学报名参加三个智力项目，每项必报且限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．【答案】120【解析】每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．故答案为：120．【变式6-1】（2024·北京市景山学校通州校区高二期中）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_______种.（用具体数字作答）【答案】32【解析】由题意，5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则每位同学都有2种报名方法，则这5为同学共有种不同的报名方法，故答案为：32【变式6-2】（2024·重庆市合川实验中学高二期中）加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有______种.【答案】【解析】每道工序为一步，共分3步，根据分步计数原理可得，共有种，故答案为：.题型七：列举法【例7】（2024·全国·高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（

）．A．18个 B．15个 C．12个 D．9个【答案】B【解析】由题知后三位数字之和为4，当一个位置为4时有004，040，400，共3个；当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个；当三个位置和为4时112，121，211，共3个，所以一共有15个.故选：B【变式7-1】（2024·全国·高二单元测试）若一个、均为非负整数的有序数对，在做的加法时，各位均不进位，则称为“简单的有序实数对”，称为有序实数对之值，则值为2004的“简单的有序实数对”的个数是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【解析】因为在做的加法时，各位均不进位则称为“简单的有序实数”，称为有序实数对之值，其中m、n均为非负整数，所以值为2004的“简单的有序实数对”可能为(0，2004)，(1，2003)，(2，2002)，(3，2001)，(4，2000)；(2004，0)，(2003，1)，(2002，2)，(2001，3)，(2000，4)；(1000，1004)，(1001，1003)，(1002，1002)；(1003，1001)，(1004，1000)共15种.故选：B.【变式7-2】（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（

）A．9种 B．10种 C．11种 D．12种【答案】A【解析】用表示编号的面试者回答的试题为，其中，所以的全部可能情况有：，所以共有9种，故选：A【过关测试】一、单选题1．（2024·江西新余·高二校考阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（

）A．12种 B．24种 C．48种 D．72种【答案】D【解析】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，由分步乘法计数原理，共有种涂法.故选：D.2．（2024·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校联考阶段练习）用这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（

）A．18 B．24 C．30 D．48【答案】D【解析】由题意可知，首位数字有4种选择，则中间的数位有4种选择，末尾数字有3种选择.由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位数的个数.故选:.3．（2024·河南·高二河南大学附属中学校考期中）把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（

）种方法.A．81 B．64 C．12 D．7【答案】B【解析】对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知不同放法共有（种）.故选：B.4．（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，每个人都有三种选择，则不同的游览方案种数为种.故选：B.5．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（

）

A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【解析】将区域标号，如下图所示：因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法.故选：C.6．（2024·浙江温州·高二校联考期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（

）A．12种 B．24种 C．64种 D．81种【答案】C【解析】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有种.故选：C．7．（2024·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（

）A．15种 B．31种 C．24种 D．23种【答案】D【解析】除100元人民币以外的3张人民币中，每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去5张人民币全不取的1种情况，所以共有种．故选：D.8．（2024·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【解析】解法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．解法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．解法三：所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有个．在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是.故选：B.二、多选题9．（2024·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（

）

A． B．C． D．【答案】AD【解析】当时，分四步：第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；当时，分四步：第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；当时，分四步：第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；当时，分四步：第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.故选：AD.10．（2024·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）下列结论正确的是（）A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事C．在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成D．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同【答案】BC【解析】对于A，在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，故A错误；对于B，在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，故B正确；对于C，在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成，故C正确；对于D，在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故D错误．故选：BC．11．（2024·高二课时练习）(多选)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，则x·y的值可取（

）A．－8 B．－12C．11 D．24【答案】ABD【解析】分两步：第一步在集合中{2，3}中任取一个值，有2种不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一个值，有2种不同的取法，故x·y可表示2×2＝4个不同的值．即2×(－4)＝－8，2×8＝16，3×(－4)＝－12，3×8＝24，故选：ABD.12．（2024·吉林长春·高二校考阶段练习）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（

）A．所有可能的方法有种B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种【答案】BC【解析】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，故有种选择方案，错误；对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确；对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确；对于选项D：如果甲、乙两名同学