预习篇第12讲排列组合2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

第12讲排列组合本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！1排列概念从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个排列.2阶乘n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，规定0!=1．3排列数从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Anm表示A或A4组合概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.5组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号CnC规定Cn6组合数的性质①Cnm=Cnn-m；②【题型1】排列和组合的概念【知识点解读】1排列概念从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个排列.【例】若从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少种不同的三位数？解利用树状图易得共24种可能.个位1234十位234134124123百位342423341413241412321312题目的要求是取出3个数字按照“个位”、“十位”、“百位”的顺序依次排成一列，其中元素“123”和“132”不是同一元素,因为它们的次序不一样.故排列讲究的是“顺序”！2组合概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.解释(1)组合的举例：从高二(1)班50个学生中选5个学生组个篮球队；从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动.(2)排列与组合的区别排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”，比如①一个班有50个学生，选两个班长有多少种选法？②一个班有50个学生，选正副班长各1人有多少种选法？①是组合问题，②是排列问题，“选正副班长”就意味着：选出的班长还要讲“顺序”.又比如①从1,2,3,4,5这5个数中选2个数字作加法，得数有多少种结果？②从1,2,3,4,5这5个数中选2个数字作减法，得数有多少种结果？①是组合问题，②是排列问题，“两个数字作减法”就意味着：谁是减数谁是被减数，结果不一样，即讲究“顺序”.【典题1】判断下列问题是排列问题还是组合问题．(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？解析(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．【巩固练习】1.(★)下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，A．①④ B．①② C．④ D．①③④答案A解析①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，故属于排列，②选出的2人劳动内容相同，无顺序，故不属于排列，③5人一组无顺序，故不属于排列，④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，故属于排列，综上所述，属于排列的为①④．故选：A．2.(★)下列问题是排列问题的为(填序号)．①选2个小组分别去植树和种菜；②选2个小组分别去种菜；③从1，④10个车站，站与站间的车票．答案①③④解析对于①，选2个小组安排不同的工作，要求有顺序，是排列问题，对于②，选2个小组分别去种菜，没有顺序，是组合问题，对于③，从1，对于④，车票使用时有起点与终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．故答案为：①③④．【题型2】排列数和组合数【知识点解读】1排列数从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Anm表示A或A解释①为什么Anm等于举例说明下，从5，4,3,2,1这5个数字中选3个数字排成三位数字，用排列数表示即是A53种可能第一步，选择个位数有5种选法；第二步，选择十位数只能在剩下的4个数字选，有4种选法；第三步，选择百位数只能在剩下的3个数字选，有3种选法；根据分步乘法计数原理，共有5×4×3种可能;即A5②Anm=nn-1n-2⋯n-m+1这排列公式的结构相当于“在数字n到1从大到小依次选m个数字连乘”，比如A53=5×4×3=60(从5,4,3,2,1③特别地，把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.即An④A=A2阶乘n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，规定0!=1．【例】3！=3×2×1=63组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号CnC规定Cn解释①从n个元素中取出m个元素的排列(排列数An可以理解为分为两步：第一步从n个元素中取出m个元素组合，得到组合数Cn第二步再对m个元素进行排列，得到排列数AmA②Cnm=n-1n-2⋯(n-m+1)m!这组合公式的结构相当于“在数字n到1从大到小，选m个大数连乘除以m个小数连乘”，比如C53=5×4×33×2×1=10(从5,4,3,2,1中“3个大数连乘5×4×34组合数的性质①C(比如C108=C102，从10个抽出8②C(从n+1个中抽出m个Cn+1m=抽不到元素A的组合数Cnm③r(rCnrPS若能理解每个公式是怎么推导的，有助于灵活运用它们！【典题1】若An3=12CA．8 B．4 C．5或6 D．3或4解析由An3=12Cn2，可得：n(n-1)(n-2)=12×n(n-1)2，【巩固练习】1.(★★)下列式子错误的是()A．C72=C7C．A53=C答案D解析直接利用组合数的性质即可判断A，B是正确的，由组合数公式C53=A54=5×4×3×2=120，4故选：D．2.(★★)若A2n3=10A．1 B．8 C．9 D．10答案B解析∵A化为：4n-2=5n故选：B．3.(★★)C10A．45B．55C．65D．以上都不对答案B解析由Cmn=Cm4.(★★★)若3An3-6AA．5 B．8 C．7 D．6答案A解析∵3A即3(n-1)(n-2)-6(n-1)=2n故选：A．【题型3】排列问题【典题1】一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单(1)前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？(2)3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？解析(1)∵8个节目全排列有A8若前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A5∴前4(2)∵3个舞蹈节目要排在一起，∴可以把三个舞蹈节目看作一个元素和另外5个元素进行全排列，三个舞蹈节目本身也有一个排列有A6(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，有A5【巩固练习】1.(★)5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有()A．20种 B．60种 C．120种 D．100种答案C解析5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法为A54=5×4×3×2=1202.(★)有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有()A．A88种 B．A84种 C．A44答案D解析本题可以看作把四个司机看成四个位置，使得四个售票员在四个位置进行全排列，故有A44种结果，故选：3.(★★)世界华商大会的某分会场有A，B，C，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”A．12种 B．10种 C．8种 D．6种答案D解析∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上的全排列，即有A3∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数A3故选：D．4.(★★)用1，2A．64 B．60 C．24 D．256答案A解析一位的自然数共有4个，二位的自然数共有A4三位的自然数共有A43=24∴组成数字不重复的自然数的个数为4+12+24+24=64，故选：A．5.(★★)一圆形餐桌依次有A，B，C，D，EA．6 B．12 C．72 D．144答案C解析一圆形餐桌依次有A，B，C，D，E，故选：C．6.(★★★)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6A．120个B．80个C．40个D．20个答案C解析①当十位是3时，个位与百位从1，2中选有A22种选法；②当十位是4时，个位与百位有A32种选法；③当十位是5时，个位与百位有A42种选法；④当十位是6时，个位与百位有7.(★★★★)用0，1(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？答案(1)156；(2)216；(3)270.解析(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有A5第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个(有A41种)第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A4由分类加法计数原理知，共有四位偶数：A5(2)五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有A54个；个位上的数字是5的五位数有A故满足条件的五位数共有A5(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，第二类：形如14□□，15□□，共有第三类：形如134□，135□，共有由分类加法计数原理知，比1325大的四位数共有：A4【题型4】组合问题【典题1】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C10(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C62种方法；第2类，选出的2名是女教师有C4(3)从6名男教师中选2名的选法有C62种，从4名女教师中选2名的选法有C42【典题2】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选；(4)至多有2名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解析(1)只有1名女生当选，有C5(2)两名队长当选，有C11(3)至少有1名队长当选，有C13(4)至多有2名女生当选，有C8(5)男队长当选，有1名男生，4名女生，有C5有2名男生，3有名女生，有C7有3名男生，2名女生，有C7有4名男生，1名女生，有C7共计5+70+210+175=460种男队长不当选，则女队长当选，有5名女生，有C4有1名男生，4名女生，有C7有2名男生，3有名女生，有C7有3名男生，2名女生，有C7有4名男生，1名女生，有C7共计1+28+126+140+35=330种，既要有队长，又要有女生当选，则有460+330=790种选法【巩固练习】1.(★★)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种答案B解析从4人中选取2人的组合数有C42=6种选法选修甲课程，则这2人在从乙丙中选一门各有2种选法依据乘法原理，故有6×2×2=242.(★★)现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A．152B.126C.90D.54答案B解析分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C32A33=18；若有1人从事司机工作，则方案有3.(★★)某高中的4名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港等3个地区去旅游，要求每个地区都要有学生去，每个学生只去一个地区旅游，且学生甲不到香港，则不同的出行安排有()A．36种B．28种C．24种D．22种答案C解析学生甲不到香港，则甲可以到在西藏、新疆，有A2另外三个同学可以在三个位置排列A3也可以从三个中选两个为一组，在其余的2个地方排列C3不同的分配方案有A2故选：C．4.(★★)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A．360B．520C．600D．720答案C解析分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C2第二类，甲、乙都参加时，则有C5∴共有480+120=600种选法．5.(★★★)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A．72 B．60 C．36 D．24答案A解析根据题意，分3步进行分析：①、把3位女生分为2组，有C3②，将2位男生全排列，有A2③，2位男生全排列后形成的3个空位，在其中任选2个，安排2个女生组，需要考虑2个女生组两人之间的顺序，有A3故有3×2×12=72种不同排法，故选：A．6.(★★★★)从包括A，B两人的7个人中选出(1)若任意选5人，有多少种不同的排法？(2)若A，(3)若A，B两人都在内且(4)若排头和排尾不允许站A，正中间(第三位)不允许站B，有多少种不同的排法？答案(1)2520；(2)1200；(3)720；(4)1560.解析(1)从7人中任选5人来排队共有A7(2)先从A，B两人中任选1人有再从剩余的5人中任选4人有C54种不同的方法，再将选出的共有C2(3)因A，B都在内，所以只需从余下5人中选3人有C5使用插空法共有C5(4)第一类：所选5人无A、B，有第二类：所选5人有A无B，有第三类：所选5人无A有B，有第四类：所选5人有A、B，若A排中间时，有C11⋅C5综上，共有种1560不同排法．1.(★)已知An2=132A．11 B．12 C．13 D．14答案B解析∵A整理，得n2解得n=12，或n=-11(不合题意，舍去故选：B．2.(★)3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是()A．1260B．120C．240D．720答案D解析由题意知有A103=10×9×8=7203.(★★)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()♀源€网A.36种B.12种C.18种D.48种答案A解析方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法.A方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C2选法A22A324.(★★★)由1，2，3，4，5A．72B．96C．108D．144答案C解析第一步，先将2，4，6全排，有Aeq\o\al(3,3)种排法．第二步，将1，3，5分别插入2，4，6排列产生的前3个空中，若1，3相邻且不与55.(★★★)只用1，2，3A．6个 B．9个C．18个 D．36个答案C解析注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C31=3(种)选法，即1231，1232，1233，而每种选择有A22C36.(★)某年全国足球联赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共进行比赛__________场．答案132解析将参加比赛的12个队看作12个元素，每一场比赛即为从12个不同元素中任取2个元素的一个排列(设排在前面的队为主场比赛)．总共比赛