高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题9.1随机抽样（重难点题型精讲）（学生版）

专题9.1随机抽样（重难点题型精讲）1．抽样调查的必要性(1)相关概念名称定义全面调查（普查）对每一个调查对象都进行调查的方法.抽样调查根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.总体调查对象的全体.个体从总体中抽取的那部分个体.样本从总体中抽取的那部分个体.样本量样本中包含的个体数.(2)抽样的必要性

普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：

①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.

②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.2．简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.(2)（不放回）简单随机抽样的特征①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.

②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.

③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.

④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.3．两种常见的简单随机抽样方法(1)抽签法

一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回

地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.(2)随机数法

先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.(3)两种抽样方法的优缺点抽样方法优点缺点适用范围抽签法简单易行.总体量较大时，操作起来比较麻烦.适用于总体中个体数不多的情形.随机数法简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题.总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便.总体量较大，样本量较小的情形.4．总体平均数与样本平均数(1)概念名称定义总体均值（总体平均数）一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式.样本均值（样本平均数）如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数.说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）；(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.(2)求和符号的性质

①；

②，其中k为常数.5．分层随机抽样(1)分层随机抽样的必要性

简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.(2)分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.(3)比例分配在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即

①=；

②=.(4)分层随机抽样的步骤(5)分层随机抽样的特点①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；

②分成的各层互不重叠；

③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量;

④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.6．分层随机抽样的平均数计算在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+.

由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数.

又==，

所以+=+=.

因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.7．获取数据的途径(1)通过调查获取数据

我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.

(2)通过试验获取数据

没有现存的数据可以查询时，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据.

(3)通过观察获取数据

自然现象只能通过长久的持续观察获取数据.

(4)通过查询获得数据

通过收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本.【题型1抽样方法的选取】【方法点拨】根据几种抽样方法的特点和优缺点，结合具体的样本，选取合适的抽样方法.【例1】（2023秋·四川绵阳·高二期末）现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（

）A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法，②随机数法【变式11】（2023·全国·高一专题练习）某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是（

）A．简单随机抽样 B．先用分层抽样，再用随机数表法C．分层抽样 D．先用抽签法，再用分层抽样【变式12】（2022秋·上海浦东新·高二期末）现要完成下列2项抽样调查：①从盒饼干中抽取4盒进行食品卫生检查；②某中学共有360名教职工，其中一般教师280名，行政人员55名，后勤人员25名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为72的样本，较为合理的抽样方法是（

）A．①简单随机抽样，②分层抽样B．①简单随机抽样，②简单随机抽样C．①分层抽样，②分层抽样D．①分层抽样，②简单随机抽样【变式13】（2022秋·陕西榆林·高二阶段练习）某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（

）A．简单随机抽样 B．系统抽样C．分层抽样 D．其他抽样【题型2抽签法的应用】【方法点拨】一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀.一般地，当总体容量和样本容量都较少时可用抽签法，然后按照抽签法的步骤进行抽样即可.【例2】（2023·全国·高一专题练习）某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则()A．a＝310，b＝29 B．a＝110，C．a＝310，b＝310 D．a＝110，【变式21】（2023·全国·高一专题练习）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（

）A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验【变式22】（2022·高一单元测试）甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（

）．A．先抽的概率大些B．三人的概率相等C．无法确定谁的概率大D．以上都不对【变式23】（2023·全国·高一专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（

）A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少D．每个人被抽到的可能性不相等【题型3随机数法的应用】【方法点拨】随机数法的步骤：(1)编号；(2)产生随机数；(3)选号；(4)确定样本.【例3】（2022·全国·高三专题练习）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第1个零件编号是（

）A．36 B．16 C．11 D．14【变式31】（2022·全国·高一学业考试）总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（

）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．02 C．63 D．14【变式32】（2022·全国·高三专题练习）2019年9月14日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言渠道，为中国女排加油.现该平台欲利用随机数表法从编号为01、02、…、25的号码中选取5个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第1行第24列的数字开始，从左往右依次选取2个数字，则第5个被选中的号码为（

）82472368639317901269868162935060913375856139850632359246225410027849821886704805468815192049A．09 B．13 C．23 D．24【变式33】（2022春·陕西渭南·高一期末）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、⋯、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则第三袋牛奶的标号是（

）（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）A．358 B．169 C．455 D．206【题型4样本平均数估计总体平均数】【方法点拨】在简单随机抽样中，根据样本平均数和总体平均数之间的关系，进行求解即可.【例4】（2022·全国·高一专题练习）有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：数据%70≤x≤7980≤x≤8990≤x≤99个数8001300900平均数78.18591.9请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（

）A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97【变式41】（2022·高一课时练习）已知某样本的容量为50，平均数为70.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得的样本平均数为x，则（

）A．x=70 B．x>70 C．x<70 【变式42】（2022·上海·高二专题练习）某样本平均数为a，总体平均数为m，那么（

）A．a=m B．a>m C．a<m D．a是m的估计值【变式43】（2022春·河南濮阳·高一期末）为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW⋅hA．一定为5.5kW⋅h B．高于5.5kW⋅h【题型5分层随机抽样中的相关运算】【方法点拨】在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键.一般地，按抽样比(N为总体容量，n为样本容量)在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性.注意在每层抽样时，应灵活采用简单随机抽样的方法.【例5】（2023春·江西·高三开学考试）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课.某中学组织全校学生观看了此次授课，三位太空老师介绍展示了中国空间站的工作生活场景，演示了微重力环境下细胞学实验、物理运动、液体表面张力等现象，并与地面课堂进行了实时交流，极大地激发了学生探索科学的兴趣.为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，此校决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中随机抽取90人进行调查，已知该校学生共有3600人，若抽取的学生中高二年级有30人，则该校高二年级学生共有（

）A．800人 B．1000人 C．1200人 D．1400人【变式51】（2023秋·广西北海·高一统考期末）某中学有高中生1800人，初中生1200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n=（

）A．48 B．72 C．60 D．120【变式52】（2022春·河南商丘·高一阶段练习）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（

）A．920 B．12000 C．12【变式53】（2022·高一课时练习）为了庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织了一次“学党史、强信念、跟党走”主题竞赛活动.活动要求把该学校教师按年龄分为35岁以下，35−45岁，45岁及其以上三个大组.用分层抽样的方法从三个大组中抽取一个容量为10的样本，组成答题团队，已知35−45岁组中每位教师被抽到的概率为124A．120 B．180 C．240 D．无法确定【题型6分层随机抽样的平均数计算】【方法点拨】根据题目条件，结合分层随机抽样的平均数计算方法，进行求解即可.【例6】（2022·高一课时练习）某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂