夯基专题12数列求和讲义-高三数学二轮专题复习

夯基专题12数列求和考向一数列求和考向一数列求和数列求和就是通过观察分析数列的类型,变形得出熟悉的等差、等比数列,或者构建出数列的模型,找到求和的方法.常用的数列求和方法：直接利用两个特殊数列(等差数列或等比数列)的前n项和公式、列举法、分组转化法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法.

=1\*GB3①列举法：列举法主要应用于数列项数较少的数列求和问题,通过列举出数列中的各项后加以数列求和.而在实际解题过程中,若一直没有想到其他思路,也可以借助列举法来思考,在列举法的基础上进行分析与归纳,再采用合适的方法来处理.=2\*GB3②倒序相加法：若一个数列的首项、尾项能构建出特殊的关系,则可以反向构建关系,先把数列倒着写一遍再和原来的数列相加,从而得到题中所证或所求.=3\*GB3③分组求和法：当所求解的数列本身不是特殊数列,而通过适当拆分并重新组合后,可以分成若干个特殊数列，分别求和.

=4\*GB3④错位相减法：对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前n项和问题,常用错位相减法求和.这种方法主要用于求数列an∙bn的前n项和,其中an、bn分别是等差数列和等比数列,等式两端同时乘以公比后进行错位相减,再利用等比数列的求和公式加以转化即可.【典例精讲】例1.(2023·湖北省荆门市·期末考试)已知数列an满足a1=-2，且an+1=42-an，Sn例2.(2023·浙江省衢州市·期末考试)已知数列{an}满足：a1=a2=1，对任意n≥3且n(1)求a(2)设bn=1a2n+1【拓展提升】练11(2023·福建省厦门市·单元测试题)已知x1=a,x2=b,xn练12.(2023·云南省·联考题)定义||x||表示与实数x的距离最近的整数(当x为两相邻整数的算术平均值时，x取较大整数)，如43=1，53=2，2=2，2.5=3，令函数Kx=x，数列an的通项公式为an=1K(考向二数列求和应用（1）【核心知识】将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.常见的综合类型有=1\*GB3①数列间的综合；

=2\*GB3②将问题化归为基本数列的求和问题；

=3\*GB3③数列与其他知识的综合（函数方程、不等式、导数、解几、新情景问题等）.考查的思路方法：

1.数列与函数的综合问题：常以基础知识的考查为立足点,以函数关系引入数列中的量an,Sn,然后转化为方程,最终归结为等差或等比数列问题.

2.数列是特殊的函数,要多利用函数思想解决数列问题.数列的单调性、最值问题都可以利用把an,Sn，看作是n的函数求解.

3.数列与不等式的综合问题：通常是由等差、等比进行复合变形后得到的新数列的求和问题,解答时需要合理变形,常用到放缩法【典例精讲】例3.(2023·江苏省苏州市·单元测试)已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是()A.， B.，

C.， D.，例4.(2023·山东省·月考试卷)已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*).

(1)求a2，a3；

(2)求证：{1an+1【拓展提升】练21.(2023·安徽省合肥市·月考试卷)已知等差数列an满足sin (a3+13)+3a3=-32A.-53 B.-2 C.-练22.(2023·浙江省·其他类型)已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn，数列b(1)求数列an、b(2)设Tn=i=1naib考向三数列求和应用（2考向三数列求和应用（2）数列与实际问题:建立有关等差、等比数列或递推数列的模型,再利用数列的有关知识解决问题.常见的有利息、产量、降升价、繁殖与增长率或降低率,分期付款、期货贸易等等.【典例精讲】例5.(2023·广东省佛山市·月考试卷)下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由图1这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是(

)A.66 B.91 C.107 D.120例6.(2023·浙江省·课时练习)如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．(1)求第六排的座位数；(2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？(提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多)【拓展提升】练31.(2023·江苏省苏州市·单元测试)汉诺塔(又称河内塔)问题是源于印度一个古老传说的益智玩具.如图所示目标柱、起始柱、辅助柱的汉诺塔模型，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面.规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p(n)，则p(3)=

．i=1n练32.(2023·北京市市辖区·期中考试)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前NA.440 B.330 C.220 D.110

【答案解析】例1.解：由

a1=-2

，且

an+1=42-a故

an

是以周期为3的数列，且

a1所以

S2023=674故答案为：2020

例2.解：(1)当n为偶数时，an-an-2=n，n⩾4,且n∈N*

故当n⩾2,且n∈N*时，a2n=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+⋯⋯+(a2n-a2n-练11．解：∵x5=2(b-2a)-(练12.解：因为

a1=1K1=1

，

a2=1K2=1

，

a3=1K3=12

，

a4=1K2=12

，

a5=1K5=12

，

a6=1K6=12

，

所以

S6=1+1+12×4=4

；

根据

Kx=x

，当

1≤n≤2

时，

1≤n<1.5

，

则

Kn=1

，

an=1Kn=1

，当

3≤n≤6

时，

1.5<n<2.5

，

则

Kn=2

，

an=例3.解：设，则，所以为奇函数，

因为时，，故函数在上单调递增，

根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，

故时，，，当时，，

因为，，

，，

所以，且，，

即，，，

，ACD错误，B正确．

故选：．

例4.解：(1)a2=11+3=14,a3=1414+3=113；

(2)由题意知，an≠0(n∈N*)，则由an+1=anan+3得1an+1=an+3an=1+3an，

即1an+1+12=3(1an+12)，

又1a1+12=32，

所以{1an+12}是以32为首项，3为公比的等比数列．

所以1an+12=32×3n-1=3n2，

sina6+13+3构造函数

f(x)=sinx+3x

，

f'(x)=f(-x)=sin(-x而

fa3+13=得

fa3+13=-fa6+因为

an

为等差数列，所以

S8故选：D．练22.解：(1)因为nan+1=2Sn，

所以当n≥2，n所以nan+1又因为a2=2S1=2所以数列ann为常数列，

故an因为数列bn满足b1=12，b所以数列bn是首项为12，公比为则bn(2)由(1)得Tn12由①-②得：12所以Tn又Sn=nn+12，

所以不等式构造函数fn当λ=1时，fn=-当λ<1时，由二次函数性质知f当λ>1时，由于-1-2λ21-则fn≤f综上所述，实数λ的取值范围是1,+∞．

例5.解：根据题意，设第n个叠放图形中正方体木块的数目之和为an，

分别观察得正方体的个数依次为：1，1+5，1+5+9，…，

归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，各层正方体的个数构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，

所以an=n+n(n-1)×42=2n2-n，

∴a8=2×所以第六排的座位数．因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐人，第二排应坐人，第三排应坐人，，这样，每排就坐的人数就构成等差数列，首项，公差，所以数列前项和．故该报告厅里最多可安排人同时参加会议．

练31.解：显然p(1)=1．

当有n(n⩾第一步，先将上面的n-1个圆盘移到辅助柱，至少需要第二步，将起始柱上最大的一个圆盘移动到目标柱上，需1次；第三步，将辅助柱上的n-1个圆盘移动到目标柱，至少需要因此p(所以p(又因为p(1)=1所以数列p(n)+1是以2所以p所以p(n)=i=1故答案为：7；