福建省宁德市顶头中学高二数学理联考试题含解析

福建省宁德市顶头中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，是第三象限的角，则等于(

)A．

B.

C.-2

D.2参考答案：A2.已知抛物线的焦点恰为双曲线的右焦点,且两曲线交点的连线过点,则双曲线的离心率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D3.直线的倾斜角等于

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（） A．﹣13 B．6 C．79 D．37参考答案：D【考点】二项式系数的性质． 【专题】二项式定理． 【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数． 【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16， 可得2m+5n=16①． 再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2， 故含x2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37， 故选：D． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 5.已知和点满足．若存在实数使得成立，则=A．B．C．D．参考答案：C略6.的共轭复数是A.i-2

B.i+2

C.-i-2

D.2-i参考答案：A7.如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=，即得直线CD与平面α所成角的正弦值．【解答】解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β∵BO⊥α，BO?β，∴β⊥α过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC=∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75°因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×=过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角∵DH⊥β，α⊥β且DH?α，∴DH∥α由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE=∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于故选：A【点评】本题给出正四面体的一条棱与平面α成45°，在顶点A与B在平面α内的射影点O的距离最大时，求直线CD与平面α所成角的正弦值，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当S=126，K=7时不满足条件S＜100，输出K的值为7．【解答】解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件S＜100，S=2，K=2；满足条件S＜100，S=6，K=3；满足条件S＜100，S=14，K=4；满足条件S＜100，S=30，K=5；满足条件S＜100，S=62，K=6；满足条件S＜100，S=126，K=7；不满足条件S＜100，输出K的值为7．故选：C．9.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.如图，阴影部分的面积是

（）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的两条准线间的距离为________.参考答案：12.已知函数，则__________.参考答案：略13.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为__km．参考答案：14.若A、B是圆上的两点，且，则=

.(O为坐标原点)参考答案：15.椭圆的右焦点为F，过原点O的直线交椭圆于点A，P，且PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，，则该椭圆的离心率e=

.参考答案：此题考查椭圆的相关性质和直线方程的相关知识，利用结论：若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即；求解较简单；由已知得，，取中点，可知，又因为,所以，又因为，由，

16.某礼堂第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依次类推，第16排的座位数是

参考答案：17.点P与定点的距离和它到定直线的距离比是则点P的轨迹方程为____参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题p：“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”，命题q：“函数f（x）=lg（x2﹣mx+）的定义域为R”．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【分析】若命题p为真命题：则3﹣m＞m﹣1＞0，解得m范围．若命题q为真命题：则△＜0，解得m取值范围．再利用复合命题的真假判定方法即可得出．【解答】解：∵命题p：“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”，∴3﹣m＞m﹣1＞0，解得1＜m＜2．命题q：“函数f（x）=lg（x2﹣mx+）的定义域为R”，∴△=m2﹣4×＜0，解得．（1）由命题p为真命题，则实数m的取值范围是（1，2）；（2）若p∧q是真命题，则p与q都为真命题，∴，解得．∴实数m的取值范围是．19.已知圆M：（x+1）2+y2=，圆N：（x﹣1）2+y2=，动圆D与圆M外切并与圆N内切，圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y=x为C的一条渐近线．①求双曲线C的方程；②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2=﹣时，求Q点的坐标．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由题意的定义可知：长半轴长为2，短半轴长为的椭圆，即可求得椭圆方程；（2）①求得双曲线方程，焦点为（﹣2，0），（2，0），则，即可求得双曲线C的方程；②方法一：设l的方程，代入椭圆方程，由向量的坐标运算，利用λ1，λ1表示出A和B点坐标，则λ1，λ2是二次方程的两根，利用韦达定理即可求得Q点的坐标．方法二：设l的方程：y=kx+4，，﹣4=λ1y1=λ2y2，，将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理即可求得k的值，求得Q点的坐标．【解答】解：（1）∵圆P与圆M外切并且与圆N内切，∴|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2﹣R）=r1+r2=4，…由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆，…（求出a=2，c=1给，求出得1分）则此方程为．…（2）设双曲线方程为，由椭圆，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），∴对于双曲线C：c=2，…又为双曲线C的一条渐近线，∴，解得a2=1，b2=3，…

故双曲线C的方程．…（3）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零．设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（﹣，0），∵，则（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1），…∴，从而，∵A（x1，y1）在双曲线C上，∴（）2﹣﹣1=0，…16+32λ1+16﹣k2﹣k2λ12=0，同理有．…若16﹣k2=0，则直线l过顶点，不合题意，∴16﹣k2≠0，∴λ1，λ2是二次方程的两根．∴，∴k2=4，…

此时△＞0，∴k=±2．∴所求Q的坐标为（±2，0）．…解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵，∴．∴﹣4=λ1y1=λ2y2，∴，，…

又，∴，即3（y1+y2）=2y1y2，…将y=kx+4代入，得（3﹣k2）y2﹣24y+48﹣3k2=0，…∵3﹣k2≠0，否则l与渐近线平行．∴．…∴，∴k=±2，∴Q（±2，0）．…20.已知直线过点P(－1，2)且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交.（1）求直线的斜率的取值范围;(2)求直线倾斜角的取值范围.w.w.w参考答案：解析：

如下图所示，直线PA的斜率=5,直线PB的斜率＝，当直线绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是

，当直线绕着点P由Pc旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是

，∴直线的斜率的取值范围是

21.设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|＜0}．（I）求集合A；（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，讨论a的取值范围进行求解即可．（Ⅱ）根据逆否命题之间的关系将条件进行转化，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0得（x﹣2a）[x﹣（a+1）]＜0，①若2a＜a+1，即a＜1时，2a＜x＜a+1，此时A=（2a，a+1），②若2a=a+1，即a=1时，不等式无解，此时A=?，③若2a＞a+1，即a＞1时，a+1＜x＜2a，此时A=（a+1，2a）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＜1时，A=（2a，a+1），B={x|＜0}={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），若￢q是￢p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，即A?B，则，即，则﹣≤a≤2，∵a＜1，∴﹣≤a＜1，则实数a的取值范围是[﹣，1）．22.已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+m+3=0无实根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则3﹣m＞m+1＞0，解得m范围．命题q：关于x的方程x2+2mx+m+3=0无实根．则△＜0，解得m范围．（1）