北京陈庄中学2022年高二数学理期末试题含解析

北京陈庄中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当x＞0，y＞0，+=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16参考答案：D【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．2.已知圆O和圆M是球O的大圆和小圆，其公共弦长为球O半径的倍，且圆O和圆M所在平面所成的二面角是30°，，则圆O的半径为（

）A．

B．2

C．

D．4参考答案：D设公共弦中点为N，则选D.

3.已知集合，，则A∩B=（

）A. B.{－1,0,1,2} C.{－2,－1,0,1,2} D.{0,1,2}参考答案：B【分析】首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A，B，之后根据交集的定义写出．【详解】：集合，，则，故选B．【点睛】：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．4.已知焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率e=，则椭圆的标准方程是（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，由离心率公式和a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，e==，可得c=，b===2，则椭圆方程为+=1．故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质及离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．5.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：B6.下列事件A,B是独立事件的是()A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”参考答案：A【分析】利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，事件发生时，影响到事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到岁的，可能也能活到岁，故不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概念以及相互独立事件的识别，属于基础题.7.下列各数中最小的是

（

）A.

B.

C.

D.

81参考答案：A8.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点有（

）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个参考答案：C略9.等比数列中，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数f（x）的解析式．再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得：?=﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，解得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）=sin2x的图象向左平移个长度单位可得f（x）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点的切线方程为__________;参考答案：12.椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=．参考答案：8【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义及椭圆标准方程求得到|PF1|+|PF2|=2a=6，由∠F1PF2=90°可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=（2c）2=20，两边平方即可求得|PF1|?|PF2|．【解答】解：∵椭圆方程：圆，∴a2=9，b2=4，可得c2=a2﹣b2=5，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵∠F1PF2=90°，可得PF1⊥PF2，m+n=6，m2+n2=20∴36=20+2mn得2mn=16，即mn=8，∴|PF1|?|PF2|=8．故答案为：813.一个球的半径为，放在墙角与两个墙角及地面都相切，那么球心与墙角顶点的距离是．参考答案：14.计算_______．参考答案：－20略15.若复数（为虚数单位）为实数，则实数

．参考答案：1略16.已知函数，则

.参考答案：17.已知，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：①若∥m，n⊥m，则n⊥；

②若∥m，mα，则∥α；③若α，mβ，α∥β，则∥m；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=，则⊥γ。其中真命题是_____.．（写出所有真命题的序号）．参考答案：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

参考答案：解析：i=1sum=0WHILEi<=100sum=sum+ii=i+1WENDPRINTsumEND19.在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且AA'=2．（1）试在棱CC'上确定一点M，使A'M⊥平面AB'D'；（2）当点M在棱CC'中点时，求直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AC边中点为O，则OB⊥AC，连接OD'，建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出当CM=时，A'M⊥平面AB'D'．（2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1，），求出平面A′BM的一个法向量，利用向量法能求出直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC边中点为O，∵底面ABC是边长为2的正三角形，∴OB⊥AC，连接OD'，∵D'是边A'C'的中点，∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴如图所示的空间直角坐标系…则有O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），B'（，0，2），A'（0，﹣1，2），D'（0，0，2），C'（0，1，2），设M（0，1，t），则=（0，2，t﹣2），=（0，1，2），=（，1，2）…若A'M⊥平面AB'D'，则有A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，∴，解得t=，即当CM=时，A'M⊥平面AB'D'．…（2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1，），∴=（﹣），=（0，2，﹣），设平面A′BM的一个法向量=（x，y，z），∴，令z=，得=（），…设直线AB'与平面A'BM所成角为θ，则sinθ==．∴直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值为．…20.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|≤1．（1）求证：|b|≤1；（2）若f（0）=﹣1，f（1）=1，求f（x）的表达式．参考答案：【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由已知得|f（﹣1）|=|a﹣b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1，而|2b|=|f（1）﹣f（﹣1）|≤|f（1）|+|f（﹣1）|≤2可证（2）由f（0）=﹣1，f（1）=1，及|f（x）|≤1对x∈[﹣1，1]时成立可得，函数的对称轴x=且|f（﹣）|≤1，结合已知f（0）=﹣1，f（1）=1可求a，b，c【解答】证明：（1）由已知得|f（﹣1）|=|a﹣b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1∴|2b|=|f（1）﹣f（﹣1）|≤|f（1）|+|f（﹣1）|≤2∴|b|≤1（2）若，则f（x）在[﹣1，1]为增函数，∴f（﹣1）＜f（0），f（0）=﹣1∴|f（﹣1）|＞1与|f（﹣1）|≤1矛盾；若，则f（x）在[﹣1，1]为减函数，∴f（1）＜f（0）与已知矛盾．所以，从而由解得∴f（x）=2x2﹣121.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，，连接MN.（1）证明：对任意，总有MN∥平面DCC1D1；（2）当MN的长度最小时，求二面角的平面角的余弦值。参考答案：（1）见解析；（2）【分析】作∥，交于点，作∥，交于点，连接.通过证明四边形为平行四边形,可得∥,再根据直线与平面平行的判断定理可证.(2)根据题意计算得,再配方可得取最小值时分别为的中点,再取为,连接，，,可得是二面角的平面角,再计算可得.【详解】（1）证明：如图，作∥，交于点，作∥，交于点，连接.由题意得∥，且，则四边形为平行四边形.∴∥.又∵，，∴∥.（2）由（1）知四边形为平行四边形，∴.∵，∴.∵，∴，.即，故当时，的长度有最小值。分别取，的中点、，连接，，。易知，，故是二面角的平面角在中，。所以.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,以及二面角,属中档题.22.已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐