难点详解鲁教版（五四制）八年级数学下册第九章图形的相似定向训练练习题

八年级数学下册第九章图形的相似定向训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（）A． B．2 C． D．42、如图，在ABC中，EFBC，AE＝2BE，则AEF与梯形BCFE的面积比为（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．4：53、若，则的值等于（）A． B． C． D．4、如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），，则线段CD长为（）A．2 B．4 C． D．25、如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，则△BEF与△ADF的周长之比为（）A．1：3 B．3：7 C．4：7 D．3：46、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且∠ADF=45°．则下列结论：①AE=BE；②△BED∽△ABC；③BD2=AD⋅DE；④AF=，其中正确的有（）A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④7、若，则下列等式成立的是（）A．3x＝4y B． C． D．8、如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（）A．3：8 B．1：4 C．3：5 D．2：39、如图，是一边上的任意两点，作于点于点．若，则的值是()A． B． C． D．10、如图，若△ABC∽△DEF，则∠C的度数是（）A．70° B．60° C．50° D．40°第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点E是的重心，和是以点D为位似中心的位似图形，则与的面积之比为___________．2、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若的面积为，则四边形BDEC的面积为_____．3、如图，在中，为边上的一点，且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若与的面积之和为，则的面积为__．4、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为___．5、如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且ABCDEF．(1)若AE＝3，求ED的长．(2)求EF的长．2、如图，△ACB中，CA＝CB，∠ACB＝120°．(1)如图1，点M、N分别在CA、CB上，若CA＝CB＝8，D为AB的中点，∠MDN＝60°，求CM+CN的值．(2)如图2，∠ABP＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF．(3)如图3，在△ACB的异侧作△AGB，其中AG＝3，BG＝6，在线段BG上取点Q，使BQ＝2．当AG绕着点G运动时，求CQ的最大值．3、如图，在正方形网格中，每个最小正方形的边长均为1．(1)求证：；(2)和是位似三角形吗？如果是，请在图中画出位似中心的位置O；如果不是，请说明理由．4、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点．(1)联结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．求证：PC2＝PE•PF；(2)若AB2＝BD•DP，求证：∠BPC＝90°．5、如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝．(1)求证：∠APD＝∠C；(2)如果AB＝6，DC＝4，求AP的长．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），∴AB＝2，BC＝2，由勾股定理得：AC＝＝，∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，∴线段DF的长度为AC＝，故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．2、D【解析】【分析】证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质得到△AEF与梯形BCFE的面积比．【详解】解：∵AE＝2BE，∴＝＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴△AEF与梯形BCFE的面积比为4：5．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．3、B【解析】【分析】根据可设，再代入计算即可得．【详解】解：由题意，可设，则，故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．4、D【解析】【分析】根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2∶1，根据相似比等于位似比计算即可．【详解】解：∵以原点O为位似中心，∴将△OCD放大得到△OAB，点A的坐标为（1，2）点C的坐标为（2，4），∴△OCD∽△OAB，且相似比为2∶1，∴，∵，∴,故选：D．【点睛】本题考查位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k．5、B【解析】【分析】通过证明△BEF∽△ADF，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵CE：BE=4：3，∴BE：BC=3：7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴BE：AD=3：7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥AD，∴△BEF∽△ADF，∴△BEF与△ADF的周长之比为3：7，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．6、D【解析】【分析】由折叠的性质可求∠BAD=∠BAC=30°，AD=AC=3，BD=BC=，∠C=∠ADB=90°，可得∠BAE=∠EBA=30°，可证BE=AE，故①正确，由外角的性质可得∠BED=∠ABC，可证△BED∽△ABC，故②正确；由相似三角形的性质，可得BD2=AD•DE，故③正确；过点F作FH⊥AD于H，FG⊥BD于G，由面积法求出FH，DH的长，由勾股定理可求AF=，故④正确，即可求解．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，BC=，AB=2BC=2，∵BE⊥BC，∴∠EBA=30°，∵把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，∴∠BAD=∠BAC=30°，AD=AC=3，BD=BC=，∠C=∠ADB=90°，∴∠BAE=∠EBA=30°，∴BE=AE，故①正确，∵∠BED=∠ABE+∠BAE=60°，∴∠BED=∠ABC，又∵∠C=∠ADB，∴△BED∽△ABC，故②正确；∴，∵BD=BC，AD=AC，∴BD2=AD•DE，故③正确；如图，过点F作FH⊥AD于H，FG⊥BD于G，∵∠DBE=90°-∠BED=30°，∠BDE=90°，∴BD=DE=，BE=2DE，∴DE=1，BE=2，∵∠ADF=45°=∠BDF，FH⊥AD，FG⊥BD，∴FH=FG，∵S△BDE=BD×DE=×DE×HF+×BD×GF，∴HF=，∵∠ADF=45°，∠DHF=90°，∴DH=HF=，∴AH=AD-DH=，∴AF==，故④正确，综上，①②③④均正确，故选：D．【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，求出AH的长是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据比例的基本性质逐一判断即可．【详解】解：∵，∴4x=3y，A、3x=4y，不符合题意；B、，∴4x+4y=7y，即4x=3y，符合题意；C、，∴5x=3y+3，不符合题意；D、，∴4x+4=3y+3，即4x+1=3y，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．8、A【解析】【分析】根据题意由AD∥BC，GE∥BC，可证得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD=1，BC=4，点G是BD的中点，设OD=x，OB=4x，则BD=5x，可求得OG=1.5x，由GE：BC=OG：OB即可得到答案．【详解】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵AD=1，BC=4，∴OD：OB=AD：BC=1：4，∴设OD=x，OB=4x，则BD=5x，∵点G是BD的中点，∴BG=BD=2.5x，∴OG=OB-BG=4x-2.5x=1.5x，∵GE∥BC，∴△OGE∽△OBC，∴GE：BC=OG：OB=1.5x：4x=3：8．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．解决此题的关键是设未知数将OG、OB表示出来．9、B【解析】【分析】先证明，再证明，最后利用相似三角形的性质得出结果．【详解】解：∵，，∴，∵∠A=∠A，∴，∴，∵BC=3，AC=4，∴．故选B．【点睛】本题考查了垂直的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质．10、C【解析】【分析】根据三角形内角和即可求得∠C的度数．【详解】解：在中，故选C【点睛】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．二、填空题1、1：9．【解析】【分析】根据位似图形的概念得到∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵点E是的重心，∴点E是AD的三等分点，∴，∵和是以点D为位似中心的位似图形，∴∽，EF∥AB，∴，∴，故答案为：1：9．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．2、【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，DE∥BC，从而得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质，可得，即可求解．【详解】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵的面积为，∴，∴四边形BDEC的面积为．故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的性质是解题的关键．3、【解析】【分析】作交于．首先得到，推出，再利用三角形的中线，可得S△BDE＋S△AEF＝S△ABE＋S△AEF＝S△ABF，即可解决问题．【详解】解：作交于．，，为的中点，，，，，，，，，即，，解得：．故答案为：21．【点睛】本题考查三角形的面积、平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．4、6【解析】【分析】由DE//BC可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出＝，代入AD＝2，AB＝3，DE＝4即可求出BC的长．【详解】解答：解：∵DE//BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴BC＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．5、【解析】【分析】首先利用已知条件可证明△CDF是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出DF=2DE，而在Rt△CDE中，由勾股定理可求得DE的值，即可求得DF的长，从而求出△CFD的周长；然后，证明△CDF△BFG，然后根据周长比等于相似比即可得到答案．【详解】解：∵是∠ADC的平分线∴四边形是平行四边形在中，的周长为的周长为故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用以上知识是解题的关键．三、解答题1、(1)(2)【解析】【分析】（1）证明，得到，把已知数据代入计算即可；（2）根据，得到，同理得到，两个比例式相加再代入计算，得到答案．【小题1】解：，，，，，，，解得：；【小题2】，，，同理：，，，解得：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2、(1)4(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）连CD，取BC中点E，连DE，根据为30°的直角三角形，得出为等边三角形，证明出，即可求解；（2）把绕点C逆时针旋转120°，由，得在同一直线上，再证明出即可求解；（3）以BG为底边向上作底角为30°的等腰三角形，根据，及，证明出∽，连结KG，得KG=2，即可得出结论．(1)解：连CD，取BC中点E，连DE，为30°的直角三角形，为等边三角形，，，，，，，(2)解：把绕点C逆时针旋转120°，得，，在同一直线上，，，，，，(3)解：以BG为底边向上作底角为30°的等腰三角形，，又，∽，，，连结KG，易得KG=2，，CQ的最大值为．【点睛】本题考查了含的直角三角形、等边三角形、三角形全等的判定及性质、图形的旋转、三角形相似的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，灵活运用相应定理进行求解．3、(1)见解析(2)和是位似三角形，见解析【解析】【分析】（1）运用勾股定理求出两个三角形各边的长，再根据相似三角形的判定方法进行判断即可；（2）利用位似图形的性质进行判断即可．(1)证明：∵每个最小正方形的边长均为1，∴，，，，∵∴∴(2)和是位似三角形，位似中心的位置O如图所示：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的性质，注意位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．4、(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出DC∥AB，BC∥AD，证明△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，由相似三角形的性质得出，，则可得出结论；（2）证明△CDP∽△BDC，由