2022-2023学年江西省上饶市旭日中学高二数学理摸底试卷含解析

2022-2023学年江西省上饶市旭日中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】参数方程化成普通方程．【分析】将曲线方程化为普通方程，根据几何意义得出最短距离．【解答】解：曲线的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴曲线表示以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．∴曲线的圆心到原点得距离为，∴点P与坐标原点的最短距离为．故选：A．2.若点集，设点集.现向区域M内任投一点，则该点落在区域B内的概率为(

)

A. B. C. D.参考答案：A【分析】先分析集合、表示的区域，对于表示的区域，把，代入，可得，分析可得表示的区域形状即面积；根据几何概型的公式，计算可得答案．【详解】集合A表示的区域是以点为圆心，半径为的圆及其内部，集合B表示的区域是以、、、为顶点的正方形及其内部，其面积为，，把代入，可得，集合M所表示的区域是以集合A的圆心在区域B的边上及内部上移动时圆所覆盖的区域，区域M的面积为，则向区域M内任投一点，该点落在区域B内的概率为故选：A【点睛】本题考查几何概型的计算，关键在分析出集合、、表示的区域的区域的形状，难点是分析表示的区域形状．3.设a，b，c∈（0，+∞），则三个数a+，b+，c+的值（）A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用反证法，即可得出结论．【解答】解：假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，利用基本不等式可得a++b++c+=b++c++a+≥2+2+2=6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，3个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2．故选：D．4.设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(>1)=，则P(-1<<0)=（

）。

A．

B．1-

C．1-2

D．参考答案：D5.设集合M={x|2－x>0}，N={x|l≤x≤3}，则M∩N= （

）

A．[1,2）

B．[1,2]

C．（2,3]

D．[2,3|参考答案：A略6.若，则下列结论不正确的是()A．

B．

C.

D．参考答案：D由，所以,所以,由不等式基本性质知7.设偶函数对任意，都有，且当时，,则=

A.10

B.

C.

D.参考答案：B8.如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻t薄片露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S'（t）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】总面积一直保持增加，则导数值一直为正，但总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小，进而得到答案．【解答】解：总面积一直保持增加，则导数值一直为正，故排除B；总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小，故导函数y=S'（t）的图象应是匀速递增→突然变大→匀速递减→匀速递增→突然变小→匀速递减，故排除CD，故选．A9.已知实数a，b∈{1，3，5，7}，那么的不同值有（） A．12个 B． 13个 C． 16个 D． 17个参考答案：B略10.如图是各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1的直观图，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A. B.4 C. D.参考答案：D【分析】根据三视图的投影规则，侧（左）视图长为底面正三角形高，三棱柱的宽度为，得出三棱柱的侧（左）视图是边长分别为的矩形，利用面积公式，即可求解。【详解】依题意，三棱柱的三视图如图所示，由于所有棱长均为2，故正三棱柱的高为2，底面是边长为2的正三角形，根据三视图的投影规则，侧（左）视图长为底面正三角形高，即三棱柱的宽，其长度为，所以得此三棱柱的侧（左）视图是边长分别为的矩形，所以左视图的面积为，故选：D．【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，其中解答中熟记空间几何体的三视图的规则，得出侧（左）视图的形状和数量关系式是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为1，，，则这个长方体外接球的表面积为__________．参考答案：长方体外接球的直径，∴半径，∴长方体外接球的表面积为．12.已知函数，，若关于的方程有四个不相等的实根，则实数

▲

．

参考答案：13.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=2，DD1=1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值

．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，B（2，2，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，1），=（0，2，﹣1），=（﹣2，0，﹣1），cos===．

故答案为：．14.观察下面关于循环小数化成分数的等式：（注意：头上加点的数字）0.==，1.==，0.=，0.000=×=，据此推测循环小数0.2可化成分数．参考答案：【考点】归纳推理．【分析】由已知中循环小数化分数的等式0.==，1.==，0.=，0.000=×=，分析出分母分子与循环节，及循环节位数的关系，可得答案．【解答】解：∵0.==，1.==，0.=，0.000=×=，…∴0.2=0.2+0.1×0.==，故答案为．15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，，，D是CC1的中点，则直线AC1与BD所成角的余弦值为__________．参考答案：记中点为E，并连接，是的中点，则，直线与所成角即为与所成角，设，，.故答案为：.

16.若n为正偶数，则被9除所得的余数是________．参考答案：0原式=又n为正偶数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，故余数为017.下面是描述求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的过程的程序框图，请问虚线框内是什么结构？参考答案：虚线框内是一个条件结构.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，常数a＞0（1）当x=1时，函数f（x）取得极小值﹣2，求函数f（x）的极大值（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若在D内恒成立，则称点P为h（x）的“类优点”，若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，①求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程②求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（2）①求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；②结合题意得到F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+a+1，通过讨论a的范围得到函数的单调性，进而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题意，f（1）=1﹣（a+2）=﹣2，得a=1，此时，（x＞0）…（2分）令f'（x）=0，得x=1或…当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0所以f（x）在与（1，+∞）上单调递增，在上递减所以当时，f（x）有极大值…（2）①∵，（x＞0）∴f（1）=1﹣（a+2）=﹣a﹣1，f'（1）=0所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为g（x）=﹣a﹣1…（6分）②若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+a+1常数a＞0，又F（1）=0，且∵，（x＞0）令F'（x）=0，得x=1或，a＞0…（8分）则当a=2时，∵F'（x）≥0，F（x）在（0，+∞）上递增∴当x∈（0，1）时，F（x）＜F（1）=0；当x∈（1，+∞）时，F（x）＞F（1）=0故当x≠1时，恒有成立…（9分）当a＞2时，由F'（x）＜0，得，∴F（x）在上递减，F（x）＜F（1）=0．所以在，，不成立．…（10分）当0＜a＜2时，由F'（x）＜0，得，∴F（x）在上递减，F（x）＞F（1）=0．所以在，，不成立…（11分）综上可知，若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，则实数a=2…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查新定义的理解，是一道中档题．19.在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求

（1）动圆的圆心轨迹方程L;

（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。参考答案：解析：（1）由可得

由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为,

则有

整理得到动圆圆心轨迹方程

.

…………（5分）

另解

由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，

且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程

，即…（5分）

（2）联立方程组

①

②

消去得

，

由

整理得

③

从③可知。故令，代入③可得

再令，代入上式得………（10分）

同理可得，。可令代入③可得

④

对④进行配方，得

对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所

以.令，则

.

所以

…………………（15分）

仅当时，为完全平方数。于是解得

.…（20分）20.（本小题满分10分）已知直线的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为=1.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的弦长.参考答案：（1）由=1得

=1 ()2－()2=1 ∵=x，=y∴x2－y2=1 （2）直线l的方程为y=(x－2) 将y=(x－2)代入x2－y2=1得 2x2－12x+13=0 解得x1=，x2=∴弦长为==2。21.（12分）设函数f（x）=?，其中=（cosx，sin2x），=（2cosx，1）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，a=，b+c=3，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】（1）由和的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出?，利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]列出关于x的不等式，求出不等式的解集可得函数f（x）的递增区间；（2）由f（A）=2，把x=A代入化简后的函数f（x）的解析式中求出的函数值等于2，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由a和cosA的值，利用余弦定理列出关于b和c的关系式，与已知b+c的值联立可得bc的值，再由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵=（cosx，sin2x），=（2cosx，1），∴f（x）=?=2cos2x+sin2x，（2分）=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，…当2kπ﹣＜2x+＜2kπ+（k∈Z），即kπ﹣＜x＜kπ+（k∈Z）时，f（x）单调递增，…则f（x）的单调增区间是（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）；…（6分）（包含或不包含区间端点均可，但要前后一致）．（2）∵f（A）=2sin（2A+）+1=2，0＜A＜π，…（7分）∴2A+=，即A=，…（9分），又a=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，…（10分）把b+c=3代入得：bc=2，…（12分）所以△ABC的面积为S△ABC=bcsinA