2022年福建省宁德市福鼎第九中学高二数学理摸底试卷含解析

2022年福建省宁德市福鼎第九中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a+b＜0，且b＞0，则下列不等式正确的是（）A．b2＞﹣ab B．a2＜﹣ab C．a2＜b2 D．a2＞b2参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a+b＜0，且b＞0，∴﹣a＞b＞0，∴∴a2＞b2．故选：D．2.我国古代数典籍《九章算术》》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．（）A．3 B．4 C．5 D．6、参考答案：B【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，∴2n﹣1+2﹣=10，解得n∈（3，4），取n=4．即两鼠在第4天相逢．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.已知函数,且,则,,的大小关系是(

)A.>>

B.<<C.>>

D.>>参考答案：B4.等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2—11x+9=0的两个根，则a6=（

）

A．3

B．

C．

D．以上皆非参考答案：C略5.在同一坐标系中，方程与的曲线大致是参考答案：D6.已知回归方程为：=3﹣2x，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（）A．增加2个单位 B．减少2个单位 C．增加3个单位 D．减少3个单位参考答案：B【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归方程=3﹣2x的斜率为﹣2，得出解释变量与预报变量之间的关系．【解答】解：回归方程为=3﹣2x时，解释变量增加1个单位，则预报变量平均减少2个单位．故选：B．7.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（

）

A．

B．

C． D．参考答案：B8.过点A(1，1)斜率为-3的直线的一般式方程为

(

)(A)3x+y-4=0

(B)3x-y-2=0(C)x+3y-4=0

(D)x-3y+2=0参考答案：A9.若a＜0，则0.5a、5a、5﹣a的大小关系是（）A．5﹣a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5a＜5﹣a C．0.5a＜5﹣a＜5a D．5a＜5﹣a＜0.5a参考答案：B【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点；71：不等关系与不等式．【分析】先化同底数的幂形式，再根据幂函数的单调性比较大小即可．【解答】解：∵5﹣a==0.2a，0.2＜0.5＜5，又∵幂函数y=xa，a＜0时，在（0，+∞）上单调递减，∴5a＜0.5a＜0.2﹣a，故选B．10.已知函数f（x）=，若方程f（x）=m存在两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）A．（0，） B．（0，e） C．（﹣∞，） D．（0，]参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】对函数f（x）求导数f′（x），利用导数判断函数f（x）的单调性，求出f（x）的定义域和最大值，即可求出方程f（x）=m存在两个不同的实数解时m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，x＞0；∴f′（x）==，令f′（x）=0，得1﹣lnx=0，解得x=e；当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；当x=e时，f（x）取得最大值是f（e）=，且f（x）＞0；当方程f（x）=m存在两个不同的实数解时，实数m的取值范围是0＜x＜．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l截圆所得的弦AB的中点坐标为，则弦AB的垂直平分线方程为

.参考答案：12.限速40km∕h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km∕h，写成不等式就是 。参考答案：v≤4013.已知数列{an}的前n项和，则an=______．参考答案：试题分析：当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是考点：已知求

14.在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为

．参考答案：此题为几何概型，如图：在区间(0,1)内任取两个实数x,y则，如图阴影部分，所以这两个实数的和大于的概率为15.用数学归纳法证明时，由到，等式左端应增加的式子为________________．参考答案：【分析】写出时，等式左边的表达式，然后写出时，等式左边的表达式，由此判断出等式左端增加的式子.【详解】当时，左边，当时，左边，所以不等式左端应增加式子为．【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查观察与分析的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零(填“大”或“小”).

参考答案：大略17.将一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为．则的概率为

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P．（Ⅰ）当A在圆F1上运动时，求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+1与轨迹C交于M、N两点，若（O是坐标原点），求直线l方程．参考答案：【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据题意P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|，则|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，故轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，从而可求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）由，得x1x2+y1y2=﹣2，由，得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，利用韦达定理，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）因为P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，所以轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，且，所以轨迹C的方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得x1x2+y1y2=﹣2，即x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=﹣2，即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+3=0?由，得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，因为△=64k2+32（3+4k2）＞0，所以，有代入化简得1﹣4k2=0，解得，所以直线l方程为．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点，（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB取最小值时，求直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）由条件利用两点式求得直线l的方程．（2）当弦AB取最小值时，直线CP和直线l垂直，求得直线l的斜率，再利用点斜式求得直线l的方程．（3）当直线l的倾斜角为45°时，直线l的斜率为1，由点斜式求得l的方程，再求出圆心到直线l的距离d的值，根据弦长|AB|=2，计算求得结果．【解答】解：（1）由于圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为（1，0），半径r等于3，当直线l经过点C时，由两点式求得直线l的方程为=，化简可得2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB取最小值时，直线CP和直线l垂直，故直线l的斜率为==﹣，再利用点斜式求得直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，直线l的斜率为1，方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0，圆心到直线l的距离d==，∴弦长|AB|=2=2=．【点评】本题主要考查用两点式、点斜式求直线的方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．20.设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）首先分别求出命题P与命题q的集合简化形式B与A；p∧q为真，则p，q均为真，实则是求B∩A．（2）由?p是?q的充分不必要条件，则（q能推导出p，p推导不出q）．则说明B?A．【解答】解：（1）若a=2，则2x2﹣5ax﹣3a2＜0可化为x2﹣5x﹣6＜0，解得：﹣1＜x＜6．由得，∴不等式的解集为．若p∧q为真，则p，q均为真，∴由可得．（2）解2x2﹣5ax﹣3a2＜0得：．若?p是?q的充分不必要条件，则．设，，则B?A．∴3a≥2且，即，∴实数a的取值范围是．21.已知椭圆的左,右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，是与在第一象限的交点，且（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上一点，是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与的斜率互为相反数，探求直线的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由.参考答案：解：（I）设由抛物线定义，

M点C1上，舍去.椭圆C1的方程为

（II）设直线的方程为代人椭圆方程得设

，可得，故22.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是