数学基础知识与典型例题复习

数学根底知识与典型例题第5章平面向量平面向量相关知识关系表向量的概念及运算一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如等.⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等. ⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,那么称为的坐标,记为=.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.注:向量不能比拟大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.向量的概念及运算其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了根底,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+==记=(x1,y1),=(x1,y2)那么=(x1+x2,y1+y2)=〔x2-x1,y2-y1〕+=实数与向量的乘积=λλ∈R记=(x,y)那么λ=(λx,λy)两个向量的数量积记那么·=x1x2+y1y2(二)运算律加法：①(交换律);②(结合律)实数与向量的乘积：①;②;③两个向量的数量积:①·=·;②(λ)·=·(λ)=λ(·);③(+)·=·+·注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法那么，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=(三)运算性质及重要结论⑴平面向量根本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果且,那么.③当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量根本定理实际上是平面向量坐标表示的根底.向量的概念及运算向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即假设A(x，y)，那么=〔x,y〕；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即假设A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕，那么=(x2-x1,y2-y1)⑵两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量,那么∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0,在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0；当与异向时,λ<0。|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。⑶两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，那么⑷两个向量数量积的重要性质：①即(求线段的长度);②(垂直的判断);③(求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:①两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.②MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r2\h叫做向量在方向上的投影〔如图〕.数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积.③如果,,那么=,∴,这就是平面内两点间的距离公式.向量的概念及运算例1．在中，〔〕例2.平面内三点,假设∥，那么x的值为()(A)-5(B)-1(C)1(D)5向量的概念及运算例3.设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，那么：①(·)(·)=0 ②||-||<||③(·)(·)不与垂直 ④(3+2)·(32)=9||2-4|2中，真命题是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④例4.△OAB中,=,=,=,假设=，t∈R，那么点P在()(A)∠AOB平分线所在直线上(B)线段AB中垂线上(C)AB边所在直线上(D)AB边的中线上例5.正方形对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=〔0，3〕，=〔4，0〕，那么=()(A)〔〕(B)〔〕(C)〔7，4〕(D)〔〕例6.,那么实数x=_______.例7.那么_____,______,与的夹角的余弦值是_____.例8.的三个顶点分别为求的大小.例9.△ABC中，A〔2，-1〕，B〔3，2〕，C〔-3，-1〕，BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。例10.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记=，=，用，表示向量.定比分点线段的定比分点1.定义:设是直线上的两点,点P是上不同于的任意一点,那么存在一个实数使,叫做点P分有向线段所成的比.(如图)①P在线段上,P为内分点时,;②P在线段或的延长线上,P为外分点时,.③内分取“+”,外分取“一”.2.定比分点坐标公式:设、、，那么：,特殊地，得中点坐标公式：另外，注意一下定比分点的向量公式：O为平面内任意一点，那么.有时直接运用它来考虑更简便!3.三角形重心公式及推导〔见课本例2〕：三角形重心公式：例11.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐标是()(A)〔－m，－n〕(B)〔a－m，b－n〕(C)〔a－2m，b－2n(D)〔2a－m，2b－n例12．设，直线AB交轴于C点，那么点C分所成的比为〔〕平移1.图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量平移)，得到图形F`，我们把这一过程叫做图形的平移。2.平移公式：点按向量平移到那么〔新=旧+移〕其中叫做平移向量.3.⑴设曲线C：y=f(x)按=〔h，k〕平移，那么平移后曲线对应的解析式为,当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下平移.注:函数图象平移口诀:左加右减,上加下减.注意这里是指函数解析式的变化,另外注意顺序性.例13.设向量,那么将按平移得到的坐标表示为()(A)(0,1)(B)(4,-11)(C)(7,-5)(D)(3,6)例14.假设将曲线C1:平移到C2,使得曲线C1上一点P的坐标由(1,0)变为(2,2),那么C2的方程是()(A)(B)(C)(D)例15.把函数的图象按平移后得到的函数解析式为____.解三角形解斜三角形：常用的主要结论有：(1)A+B+C=1800⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.⑶等边对等角:;大边对大角:.⑷底×高=(其中是内切圆半径)⑸(正弦定理)⑹(余弦定理)解三角形例16.在中,,那么a等于()(A)(B)(C)(D)例17.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,那么塔高为()(A)米(B)米(C)米(D)米例18．在中，，,假设这个三角形有两解，那么的取值范围是〔〕数学根底知识与典型例题(第5章平面向量)答案例1A、例2.C、例3.D、例4.A、例5.A、例6.6、例7.,,、例8.例9.解:(用解方程组思想)设D〔x，y〕，那么=〔x-2，y+1〕∵=〔-6，-3〕，·=0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0①∵=(x-3，y-2)，∥,∴-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0②由①②得：,∴D〔1，1〕,=〔-1，2〕例10.解:∵B、P、M共线∴记=s∴①同理，记∴=②∵,不共线∴由①②得解之得：∴注：从点共线转化为向量共线，进而引入参数〔如s，t〕是常用技巧之一。平面向量根本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。例11.D、例12.B、例13.C、例14.A、例15.、例16.C、例17.A、例18.C、数学根底知识与典型例题第六章不等式不等式知识关系表不等式的性质不等式的性质⑴(对称性或反身性);⑵(传递性);⑶(可加性),此法那么又称为移项法那么;(同向可相加)⑷(可乘性).(正数同向可相乘)⑸(乘方法那么)⑹(开方法那么)⑺(倒数法那么) 掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系，是“”符号还是“”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的根本手段.例1.“a+b>2c”(A)a>c或b>c(B)a>c且b<c(C)a>c且b>c(D)a>c或b<c例2.假设a>b,以下式子中①;②a3>b3;③;④,正确的有()(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个例3.的大小关系为.例4.设,且那么与的大小关系是.例5.满足,试求的取值范围.重要不等式1.定理1：如果a,b∈{x|x是正实数}，那么≥〔当且仅当a=b时取“=”号〕.注:该不等式可推出:当a、b为正数时,〔当且仅当a=b时取“=”号〕即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数2.含立方的几个重要不等式〔a、b、c为正数〕：⑴⑵由可推出(,);⑶如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么.〔当且仅当a=b=c时取“=”号〕3.绝对值不等式：注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.例6.“a>0且b>0”是“≥”的()(A)充分而非必要条件(B)必要而非充要条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件例7.假设,A,G,H，其中R+，那么A，G，H的大小关系是()〔A〕A≤G≤H〔B〕A≤H≤G〔C〕H≤G≤A〔D〕G≤H≤A例8.假设,且，那么有最小值〔〕(A)6(B)9(C)4(D)3例9.不等式的最大值是〔〕(A) (B)(C)(D)例10.假设a+b+c=3，且a、b、c∈R+，那么的最小值为.不等式解法解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 一元一次不等式和一元二次不等式是最简单的不等式.其它不等式，如高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为一元一次不等式〔组〕或一元二次不等式〔组〕来解。 解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它的特点，变形过程的程序性和特殊性，注意归纳解各类不等式的思路和方法。 〔1〕高次不等式假设可以分解成几个含x的一次因式，可用列表法或数轴标根法来解。〔2〕分式不等式要正确运用以下同解原理。 〔3〕无理不等式:将无理不等式变形为与它同解的不等式组。①不等式的同解不等式组是②不等式的同解不等式组是 〔4〕指数、对数不等式①指数不等式的同解不等式：当时，为；当时，为.例11.假设关于的不等式的解集是,那么等于()例12.不等式的解集是()例13.不等式≥的解集是〔〕≤≤≤≤≤≤例14.不等式的解集是()(A)(B)或(C)(D)或不等式解法②对数不等式的同解不等式：当时，为;当时，为 因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意利用对数的性质化为同底不等式. 〔5〕绝对值不等式 解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式〔组〕，主要方法： 对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。注:绝对值的几何意义:表示数轴上的数对应的点与原点的距离.表示数轴上的数对应的点与数对应的点的距离. 〔6〕含字母系数的不等式 对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解。注:解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的根本手段之一。例15.不等式的解集是____________.例16.解不等式例17.解关于x的不等式不等式的证明不等式的证明1.证明不等式的根本依据： 〔1〕实数大小的比拟原那么； 〔2〕不等式的性质； 〔3〕几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式 〔4〕函数的增减性； 〔5〕实系数一元二次方程的根的判别式.例18.x∈R，求证：－2≤<2.不等式的证明2.证明不等式的常用的方法:⑴比拟法：①作差比拟，要点是：作差——变形——判断。这种比拟法是普遍适用的，是无条件的。根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b②作商比拟，要点是：作商——变形——判断。这种比拟法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。当b>0时，a>b>1。比拟法是证明不等式的根本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比拟〔如幂、方根等〕。⑵分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法证明不等式的逻辑关系是：.分析法的思维特点是：执果索因⑶综合法：就是从的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形〔恒等变形或不等变形〕推导出要求证明的不等式。用综合法证明不等式的关键是适中选择一个的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择的不等式就适当呢？一般有两条途径。〔1〕从分析法找思路，〔2〕从“重要不等式”，特别是平均值不等式找思路。用综合法证明不等式的逻辑关系是：.综合法的思维特点是：由因导果⑷放缩法假设证明“A≥B”，我们先证明“A≥C”，然后再证明“C≥B”，那么“A≥B”。例19.假设求证:.例20.设,且,求证:例21.设用放缩法证明:.不等式的证明⑸用数学归纳法证明不等式: 有关自然数的命题，〔当然这里是不等式〕可用数学归纳法证明。 有关自然数的命题成立的条件有二：一是它必需具备特殊性，二是它必需具备递推性。 数学归纳法就是证明有关自然数的命题具有上述两条性质，从而确定其正确性。 用代数方法证明不等式是考查思维能力的重要内容，但随着对思维能力考查的力度的增加，运用多种方法证明不等式和综合代数、三角等的有关内容而产生的有关不等式证明的综合问题应充分重视。熟练掌握不等式的性质和一些根本不等式，灵活运用常用的证明方法〔比拟法、分析法、综合性、反证法、数学归纳法〕，以及运用放缩、增量、构造〔函数或不等式〕、判别式等方法。例22.△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证:.不等式的应用不等式的应用 不等式是研究方程、函数的重要工具，在历年高考题中，屡次用到不等式解决函数的定义域、值域、最大值或最小值，函数的单调性以及用不等式讨论方程中根与系数的关系，运用不等式去解决有关应用问题。例23.建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m2的造价分别是200元和150元,那么池的最低造价为_______元例24.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点.甲有一半时间以速度行走,另一半时间以速度行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度行走.如果,甲、乙两人谁先到达指定地点.数学根底知识与典型例题(第六章不等式)答案例1.C例2.B例3.例4.n3+1>n2+n例5.提示:把“”、“”看成一个整体.解:∵=又∵,∴,∴的取值范围是例6.A例7.A例8.B例9.B例10.例11.B例12.D例13.C例14.D例15.例16.解：原不等式等价于情形1当x>0时，上述不等式组变成解得：情形2当x<0时，上述不等式组变成解得所以原不等式解集为例17.解:原不等式等价于由于恒成立，∴当a>0时，；当a=0时，；当a<0时，.例18.证明:令y=，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴当y≠2时，要方程有实数解，须Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;⑵当y=2时,代入(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0中,得3=0，矛盾.∴综上所述,－2≤y<2得证.例19.综合法提示:另外此题还可用几何法.证明:对于，可想到直角三角形的斜边，先考虑a、b、c为正数的情况，这时可构造出图形：以a+b+c为边长画一个正方形，如图，那么，.显然，即.当a、b、c中有负数或零时，显然不等式成立.例20.答案见高中数学第二册(上)第27页例1可用分析法,比拟法,综合法,三角换元法以及向量法等证例21.提示:利用例22.高中数学第二册(上)第17页习题9法一:构造函数法证明：∵f(x)=EQ\F(x,x+m)(m>0)=1－EQ\F(m,x+m)在(0,+)上单调递增，且在△ABC中有a+b>c>0，∴f(a+b)>f(c)，即EQ\F(a+b,a+b+m)>EQ\F(c,c+m)。又∵a，bR*，∴EQ\F(a,a+b+m)+EQ\F(b,a+b+m)=EQ\F(a+b,a+b+m)，∴.法二:分析法证明:要证，只要证a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)－c(a+m)(b+m)>0，即abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc+2abm+(a+b－c)m2>0，由于a,b,c为△ABC的边长，m>0，故有a+b>c，即(a+b－c)m2>0。所以abc+2abm+(a+b－c)m2>0是成立的，因此.例23.5400,例24.答案见2005-7-30高中数学第二册(上)第13页例4

数学根底知识与典型例题第七章直线和圆的方程直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为,故直线倾斜角的范围是.2.直线的斜率:倾斜角不是的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率,即.注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.②当时，直线垂直于轴，它的斜率k不存在.③过两点、的直线斜率公式二、直线方程的五种形式及适用条件名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk—斜率b—纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)—直线上点，k──斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a—直线的横截距b—直线的纵截距过〔0，0〕及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0(A、B不全为零)A、B不能同时为零直线的方程注:⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.⑶直线是平面几何的根本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0〔A2+B2≠0〕是一一对应的.直线的方程例1.过点和的直线的斜率等于1,那么的值为()(A)(B)(C)1或3(D)1或4例2.假设,那么直线2cos＋3y＋1=0的倾斜角的取值范围〔〕(A)(B)(C)(0,)(D)例3.直线的倾斜角是〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕例4.连接和两点的直线斜率为____,与y轴的交点P的坐标为____.例5.以点为端点的线段的中垂线的方程是.两直线的位置关系一、两直线的位置关系1.两直线平行:⑴斜率存在且不重合的两条直线l1∶y=k1x+b1，l2∶y=k2x+b2，那么l1∥l2k1=k2;⑵两条不重合直线的倾斜角为,那么∥.2.两直线垂直:⑴斜率存在的两条直线l1∶y=k1x+b1,l2∶y=k2x+b2,那么l1⊥l2k1·k2=-1;⑵两直线l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0，那么l1⊥l2A1A2+B13.“到角”与“夹角”:⑴直线到的角〔方向角〕；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是.注:①当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·k2≠-1时,;②当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.例6.将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是()(A)(B)(C)(D)例7.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，假设点〔7，3〕与点〔m,n〕重合，那么m+n的值为()(A)4 (B)－4(C)10 (D)－10例8.与直线平行且过点的直线的方程是__________。例9.二直线和，假设，在y轴上的截距为-1，那么m=_____，n=____.两直线的位置关系⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时，那么有.4.距离公式。⑴一点P(x0，y0)及一条直线l：Ax+By+C=0，那么点P到直线l的距离d=；⑵两平行直线l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=。5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系.⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，①当〔x0，y0〕确定，k变化时，该方程表示过定点〔x0，y0〕的旋转直线系，②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.⑵直线l：Ax+By+C=0，那么①方程Ax+By+m=0〔m为参数〕表示与l平行的直线系；②方程-Bx+Ay+n=0〔n为参数〕表示与l垂直的直线系。⑶直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，那么方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系〔不含l2〕掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.例10.经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_______.例11.△ABC中，A〔2，-1〕，B〔4，3〕，C〔3，-2〕，求：⑴BC边上的高所在直线方程；⑵AB边中垂线方程；⑶∠A平分线所在直线方程.例12.定点P〔6，4〕与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程.简单的线性规划线性规划⑴当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；⑵当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式Ax+By+C>0〔或<0〕表示直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置确实定常用原点〔0，0〕代入检验。利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。简单的线性规划例13.假设点〔3，1〕和〔，6〕在直线的两侧，那么实数的取值范围是〔〕〔D〕以上都不对例14.的三个顶点的坐标为，，，点在内部及边界上运动，那么的最大值为，最小值为。例15.不等式组：表示的平面区域的面积是；例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表〔以班为单位〕如下：根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？〔利润=学费收入－年薪支出〕曲线和方程曲线与方程：在直角坐标系中,当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，那么称曲线C为方程F(x，y)=0表示的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表示的方程.注:⑴如果曲线C的方程是F(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是F(x0,y0)=0⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形,坐标法是几何问题代数化的重要方法。⑶求曲线方程的步骤:建、设、现〔限〕、代、化.曲线和方程例18.点适合方程是点在曲线上的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)什么条件也不是例19.曲线C：与C：的交点数是〔〕(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个例20.定点，，点M与A、B两点所在直线的斜率之积等于，那么点M的轨迹方程是例21.圆和两点A〔0，4〕，B〔4，0〕当点P在圆上运动时，求的重心的轨迹方程.例22.如图，圆与圆的半径都是1，.过动点分别作圆、圆的切线〔分别为切点〕，使得.试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.圆的方程确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。的圆方程的适用范围。一、圆的方程形式:⑴圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中〔a,b〕是圆心坐标,r是圆的半径；⑵圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0〔D2+E2-4F>0〕,圆心坐标为〔-，-〕，半径为r=.⑶圆的参数方程：(x-a)2+(y-b)2=r2〔r>0〕的参数方程为:〔为参数,表示旋转角〕，参数式常用来表示圆周上的点。注:①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件,通常也用待定系数法;②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.③圆的直径式方程：,其中是圆的一条直径的两个端点.〔用向量可推导〕.二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：⑴代数法：直线：Ax+By+C=0，圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组一元二次方程〔2〕几何法：直线:Ax+By+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心〔a，b〕到直线的距离为d=，那么三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，那么两圆位置关系如下：①|O1O2|>r1+r2两圆外离；②|O1O2|=r1+r2两圆外切；③|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2两圆相交；④|O1O2|=|r1-r2|两圆内切；⑤0<|O1O2|<|r1-r2|两圆内含。注：直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不采用方程组理论〔△法〕.圆的方程四、圆的切线:1.求过圆上的一点圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率,那么由垂直关系,切线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程;2.求过圆外一点圆的切线方程:⑴(几何方法)设切线方程为即,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得,切线方程即可求出.⑵(代数方法)设切线方程为,即代入圆方程得一个关于的一元二次方程,由,求得,切线方程即可求出.注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.②过圆上一点的切线方程为.圆的方程例23.假设直线与圆相切，那么的值为()例24.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的位置关系是〔〕(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离例25.圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，那么圆C的方程为()(A)(x+1)2+y2=1(B)x2+y2=1(C)x2+(y+1)2=1(D)x2+(y-1)2=1例26.假设直线4x-3y-2＝0与圆有两个不同的公共点，那么实数a的取值范围是〔〕(A)-3＜a＜7(B)-6＜a＜4(C)-7＜a＜3(D)-21＜a＜19例27.把参数方程〔为参数〕化为普通方程，结果是.例28.过点的直线被圆截得的弦长为，那么此直线的方程为例29.圆的方程为x2+y2－6x－8y＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。例30.方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16⑴求实数m取值范围；⑵求圆的半径r取值范围；⑶求圆心轨迹方程.数学根底知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案例1.A例2.B例3.C例4.例5.例6.B例7.C例8.2x＋3y＋10＝0例9.0,8,例10.例11.解:⑴∵kBC=5,∴BC边上的高AD所在直线斜率k=∴AD所在直线方程y+1=(x-2)即x+5y+3=0⑵∵AB中点为〔3，1〕，kAB=2,∴AB中垂线方程为x+2y-5=0⑶设∠A平分线为AE，斜率为k，那么直线AC到AE的角等于AE到AB的角。∵kAC=-1，kAB=2,∴,∴k2+6k-1=0,∴k=-3-〔舍〕，k=-3+∴AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，那么P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。例12.解题思路分析：直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q〔还是M〕作为参数是此题关键。通过比拟可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。解:设Q〔x0，4x0〕，M〔m，0〕∵Q，P，M共线∴∴解之得：∵x0>0，m>0∴x0-1>0∴令x0-1=t，那么t>0,≥40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立,此时Q〔11，44〕，直线l：x+y-10=0评注：此题通过引入参数，建立了关于目标函数的函数关系式，再由根本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。例13.B例14.，例15.例16.种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.例17.解：设初中x个班，高中y个班，那么设年利润为s，那么作出〔1〕、〔2〕表示的平面区域，如图，过点A时，S有最大值，由解得A〔18，12〕.易知当直线1.2x+2y=s即学校可规划初中18个班，高中12个班,〔万元〕.可获最大年利润为45.6万元.评线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的表达，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式，②作出可行域，写出目标函数，③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．但在解答时，格式要标准，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比拟困难的．是函数方程思想的应用. 例18.A例19.D例20.x2+例21.(x例22.解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如下图的平面直角坐标系，那么，.由，得.因为两圆半径均为1，所以.设，那么，即.(或) 例23.D例24.C例25.C例26.B例27.x2+(y-1)2=1例28.x+y=0或x+7y-6=0例29.解：x2+y2－6x－8y=0即(x－3)2+(y－4)2=25，设所求直线为y＝kx。∵圆半径为5，圆心M〔3，4〕到该直线距离为3，∴，∴，∴。∴所求直线为y或。例30.⑴m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m即7m2∴⑵半径r=∵,∴时，,∴0<r≤⑶设圆心P〔x，y〕，那么消去m得：y=4(x-3)2-1,又∴∴所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)〔〕 数学根底知识与典型例题(第八章圆锥曲线)椭圆知识关系网椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数叫做椭圆的离心率.2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程图形顶点,,对称轴轴，轴，长轴长为，短轴长为焦点、、焦距焦距为离心率(0<e<1)准线方程点P(x0,y0)的焦半径公式|PF右|=a-ex0,|PF左|=a+ex0(“左加右减”)|PF上|=a-ey0,|PF下|=a+ey0椭圆注:1.焦半径(椭圆上一点到焦点的连线段)公式不要求记忆,但要会运用椭圆的第二定义.2.椭圆参数方程：如图点的轨迹为椭圆.椭圆例1.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，那么M点的轨迹方程是(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段例2.的周长是16，，B,那么动点的轨迹方程是()(A)(B)(C)(D)例3.假设F(c，0)是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，那么椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是()(A)(c，)(C)(0，±b)(D)不存在例4.如果椭圆上有一点P，它到左准线的距离为2.5，那么P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是()。(A)3:1(B)4:1(C)15:2(D)5:1例5.设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,假设∠PF1F2=5∠PF2F1(A)(B)(C)(D)例6.设A(－2,)，椭圆3x2＋4y2=48的右焦点是F，点P在椭圆上移动，当|AP|＋2|PF|取最小值时P点的坐标是()。(A)(0,2)(B)(0,－2)(C)(2,)(D)(－2,)椭圆例7.P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，假设，那么P点的坐标是.例8.写出满足以下条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6;.(2)焦点坐标为,,并且经过点(2，1);.(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;____.(4)离心率为，经过点(2，0);.例9.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，那么的最大值是．例10.椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程.双曲线知识关系网双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数叫做双曲线的离心率.标准方程图形顶点对称轴轴，轴，实轴长为，虚轴长为焦点焦距焦距为离心率(e>1)准线方程点P(x0,y0)的焦半径公式如需要用到焦半径就自己推导一下:如设是双曲线上一点,(c,o)为右焦点,点到相应准线的距离为,那么.当在右支上时,;当在左支上时,即,类似可推导2.双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)双曲线例11.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙：点P的轨迹是双曲线。那么命题甲是命题乙的(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)不充分也不必要条件例12.到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是〔〕(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线双曲线例13.过点(2，-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是()(A)(B)(C)(D)例14.如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么双曲线的离心率为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2例15.如果双曲线上一点到它的左焦点的距离是8，那么点到它的右准线的距离是()(A)(B)(C)(D)例16.双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足,那么的面积为()例17.设的顶点，，且，那么第三个顶点C的轨迹方程是________.例18.连结双曲线与(a＞0，b＞0)的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边形的面积为，那么的最大值是________．例19.根据以下条件，求双曲线方程:⑴与双曲线有共同渐近线，且过点(-3，)；⑵与双曲线有公共焦点，且过点(，2).例20.设双曲线上两点A、B，AB中点M〔1，2〕⑴求直线AB方程；⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？抛物线知识关系网抛物线1.抛物线的定义:平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程图形对称轴轴轴轴轴焦点顶点原点准线离心率1点P(x0,y0)的焦半径公式用到焦半径自己推导一下即可如:开口向右的抛物线上的点P(x0,y0)的焦半径等于x0+.注:1.通径为2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.2.(或)的参数方程为(或)(为参数).抛物线例21.顶点在原点，焦点是的抛物线方程是()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x例22.抛物线上的一点到焦点的距离为1，那么点的纵坐标是()(A)(B)(C)(D)0例23.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条例24.过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ的长分别为p、q，那么等于()(A)2a(B)(C)(D)例25.假设点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(，1) (D)(0，0)例26.动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，那么圆心M的轨迹方程是.例27.过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2＝_________.例28.以抛物线的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.例29.过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，那么直线l的倾斜角的范围是.例30设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H〔H为圆心〕。(Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上；(Ⅱ)求圆H的面积最小时直线AB的方程.轨迹问题上一章已经复习过解析几何的根本问题之一：如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基此题型：一是轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用轨迹的定义解题，化归为求轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。求轨迹方程的一般步骤:建、设、现〔限〕、代、化.轨迹方程例31.两点M〔－2，0〕，N〔2，0〕，点P满足=12，那么点P的轨迹方程为〔〕 例32.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，那么动圆圆心轨迹是()(A)椭圆 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)双曲线的一支例33.动点P在抛物线y2=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是()〔A〕(2y+1)2=-12x〔B〕(2y+1)2=12x〔C〕(2y-1)2=-12x〔D〕(2y-1)2=12x例34.过点〔2，0〕与圆相内切的圆的圆心的轨迹是〔〕〔A〕椭圆〔B〕双曲线〔C〕抛物线〔D〕圆例35.的周长是16，，B那么动点的轨迹方程是()(A)(B)(C)(D)例36.椭圆中斜率为的平行弦中点的轨迹方程为.例37.动圆P与定圆C:〔x＋2〕＋y＝１相外切，又与定直线l：x＝１相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________.例38.在直角坐标系中,,那么点的轨迹方程是______.圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,那么它的弦长注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,那么.注:1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。圆锥曲线综合问题例39.AB为过椭圆=1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，那么△AFB的面积最大值是()(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc例40.假设直线y＝kx＋2与双曲线的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是〔〕,,,,例41.假设双曲线x2－y2=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为，那么a＋b的值是().或(D)2或－2圆锥曲线综合问题例42.抛物线y=x2上的点到直线2x-y=4的距离最近的点的坐标是())(B)(1,1)(C)()(D)(2,4)例43.抛物线y2=4x截直线所得弦长为3，那么k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4例44.把曲线按向量平移后得曲线，曲线有一条准线方程为，那么的值为〔〕 例45.如果直线与双曲线没有交点，那么的取值范围是.例46.抛物线上两点关于直线对称，且，那么m的值为.例47.以双曲线－y2=1左焦点F，左准线l为相应焦点、准线的椭圆截直线y=kx+3所得弦恰被x轴平分，那么k的取值范围是___________.例48.双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?假设存在，试求出A、B两点的坐标；假设不存在，说明理由.数学根底知识与典型例题(第八章圆锥曲线)答案例1.D例2.B例3.C先考虑M+m=2a，然后用验证法例4.B提示：e=,P点到左准线的距离为2.5，它到左焦点的距离是2，2a=10,P点到右焦点的距离是8，∴P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是4:1;例5.B∵，∴.例6.C提示：椭圆3x2＋4y2=48中，a=4,c=2,e=,设椭圆上的P点到右准线的距离为d，那么=,∴|AP|＋2|PF|=|AP|＋d,∴当AP平行于x轴且P点在A点与右准线之间时，|AP|＋d为一直线段，距离最小，此时P点纵坐标等于，∴P点坐标是(2,)例7.(3,4)或(-3,4)例8.(1)或;(2);(3)或;(4)或.例9.≤例10.解:设椭圆方程为+=1,(a>b>0)⑴PQ⊥x轴时，F(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴.⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将P得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2由|PQ|=得·=①∵OP⊥OQ,∴·=-1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②把，代入，解②得k2=，把代入①解得c2=3∴a2=4,b2=1，那么所求椭圆方程为+y2=1.例11.B例12.C例13.D例14.C例15.C例16.A假设,由双曲线定义且,解得而由勾股定理得[点评]考查双曲线定义和方程思想.例17.例18.例19.⑴设双曲线方程为(λ≠0),∴∴,∴双曲线方程为;⑵设双曲线方程为∴,解之得k=4,∴双曲线方程为评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为(a2+k>0，b2-k>0)。比拟上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的根本思想.例20.解题思路分析：法一：显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1)由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0当△>0时，设A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕那么∴k=1，满足△>0∴直线AB：y=x+1法二：设A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕那么两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)∵x1≠x2∴∴∴AB：y=x+1代入得：△>0评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。〔2〕此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.此题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A〔-1，0〕，B〔3，4〕又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0设C〔x3,y3〕，D〔x4,y4〕，CD中点M〔x0,y0〕那么∴M〔-3，6〕∴|MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中点，M〔-3，6〕为圆心，为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视.例21.B()例22.B例23.B(过P可作抛物线的切线两条，还有一条与x轴平行的直线也满足要求。)例24.C作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q，那么p=q=|FK|,例25.解析：运用抛物线的准线性质.答案：B例26.x2=8y例27.－p2例28.例29.例30.解：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：.又设，那么其坐标满足消去x得由此得∴因此,即.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H〔〕是AB的中点，故由前已证OH应是圆H的半径，且.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元得一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式△，利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系．求解有时借助图形的几何性质更为简洁．此题设直线方程为x=ky+2p；因为直线过x轴上是点Q(2p，0)，通常可以这样设，可防止对直线的斜率是否存在讨论．2．凡涉及弦的中点及中点弦问题，利用平方差法；涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算．3．在引入点参数(此题中以AB弦的两个端点的坐标作为主参数)时，应尽量减少参数的个数，以便减少运算量．由OA⊥OB得x1x2+y1y2=O这个关系对于解决此类问题十分有用．4．列出目标函数，|OH|=P，运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的根本思路，也可利用根本不等式a2+b2≥2ab当且仅当a=b时“=”成立求解．例31.B例32.D例33.C例34.A例35.B例36.9x+16y=0(椭圆内局部例37.y２＝－8x例38.例39.解析：∵S△AFB=2S△AOF，∴当点A位于短轴顶点处面积最大.答案：D例40.D41.B42.B数形结合估算出D例43.D例40.C∵由得曲线的准线为,∴焦点在轴上且,,∴,∴例45.k<例46.例47.(0，)例48.解：设AB：y=x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx4(m2+1)=0,这里△=(4m)24×11［4(m2+1)］=16(2m2+11)＞设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),那么x1+x2=，∴x0=,y0=x0+m=,假设A、B关于直线y=2x对称，那么M必在直线y=2x上，∴=得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=x与双曲线的交点的A、B必关于直线y=2x对称.∴存在A、B且求得A(，)，B(，)

数学根底知识与典型例题〔第十章排列、组合、概率与统计〕排列与组合1．分类计数原理:完成一件事，有n类方法，在第1类方法中有种不同的方法，在第2类方法中有种不同的方法，……，在第n类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1+n2+n3+…+nM种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·…nM种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的根底和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成假设干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续假设干步才能完成的那么是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比拟复杂的问题，常先分类再分步。3.⑴排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.其中n，m∈，并且m≤n．⑶排列数公式:当m=n时，排列称为全排列，排列数为=记为n!,且规定O!=1.注：;4.⑴组合的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示.⑶组合数公式:.规定，其中m，n∈N+，m≤n.注:排列是“排成一排”，组合是“并成一组”,前者有序而后者无序.排列与组合⑷组合数的两个性质:①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，那么需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，那么需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有.5．解排列、组合题的根本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法;②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原那么.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即假设n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略〔处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列〕；④正难那么反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.6.二项式定理:⑴对于，,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有项；系数：依次为组合数且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.⑵二项展开式的通项：的展开式第r+1为.⑶二项式系数的性质.①二项展开式中的叫做二项式系数②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即排列与组合③二项展开式的中间项二项式系数最大且当时，二项系数是逐渐增大，当时，二项式系数是逐渐减小的．(Ⅰ)当n是偶数时,中间项是第项,它的二项式系数最大;(Ⅱ)当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数最大.④系数和：所有二项式系数的和：;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和:.⑤⑷如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.⑸二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。排列与组合例1.3个班分别从5个景点中选择1处游览，不同的选法种数是()(A)5(B)3(C)A(D)C例2.5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,那么不同的分配方法有()(A)20种(B)60种(C)120种(D)100种例3.6个人排成一排，甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为().

(A) (B) (C) (D)例4.如果集合A={x│≤21}，那么组成集合A的元素个数有().

(A)1个 (B)3个 (C)6个 (D)7个例5.如果的展开式中各项系数之和为128,那么展开式中的系数是()(A)7(B)(C)21(D)例6.设(1+x)+(1+x)+…+(1+x)=a+ax+ax+…+ax那么a=()(A)C(B)C(C)2C(D)C例7.在的展开式中，的系数是()(A)-297(B)-252(C)297(D)207例8.对于小于55的自然数，积(55-n)(56-n)……(68-n)(69-n)等于()(A)A(B)A(C)A(D)A例9.假设(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，那么a1+a2+…+a8的值为_______.排列与组合例10.一个同心圆形花坛，分为两局部，中间小圆局部种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两局部种植不同颜色的花.⑴如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少不同的种植方法？⑵如图3，圆环分成的n等份为a1，a2，a3，……，an，有多少不同的种植方法？概率1.随机事件及其概率:⑴必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.⑵不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件.⑶随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.⑷随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.⑸概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.2.等可能事件的概率:⑴根本领件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个根本领件.⑵等可能事件的概率:如果一次试验由个根本领件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个根本领件的概率都是,如果某个事件包含的结果有个,那么事件的概率为.3.⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.⑵对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.①对立事件的概率和等于1：.②互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.从集合的角度看，由事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集.概率4.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.注:独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.⑴两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B).证明：设甲试验共有N1种等可能的不同结果，其中属于A发生的结果有m1种，乙试验共有N2种等可能的不同结果，其中属于B发生的结果有