第08讲：三角恒等变换 解析版

第08讲：三角恒等变换【考点梳理】考点一：两角和差的三角函数公式考点二:二倍角公式考点三：降幂公式的化简求值问题考点四：辅助角公式的应用考点五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题考点六：利用三角函数恒等式判断三角形形状考点七：三角恒等式变换中化简问题考点八：三角恒等变换综合问题【知识梳理】考点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R考点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式考点五半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).考点六辅助角公式辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【题型归纳】题型一：两角和差的三角函数公式1．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）求值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正切和差角公式即可求解.【详解】,故选：A.2．（2023上·江西上饶·高一校考期末）若，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】两式分别平方，相加后结合同角三角函数关系式及两角和的余弦公式化简可得.【详解】由，，得，，相加得，，解得，故选：B.3．（2023下·山东青岛·高一统考期中）下列等式成立的为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用和差角公式合并计算即可.【详解】A选项：，A错误；B选项：，B错误；C选项：，C正确；D选项：，D错误.故选：C.题型二:二倍角公式4．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦差角公式和辅助角公式得到，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案.【详解】由题可得，，所以.故选：A.5．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件结合向量数量积的运算和三角恒等变换可得，再由诱导公式和二倍角公式即可求得．【详解】因为，且，所以，所以，所以，所以，故选：B6．（2023下·福建福州·高一校考期末）下列等式不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二倍角的正弦公式即可判断A；根据两角差的正弦公式，即可判断B；根据两角和的正切公式即可判断C；根据二倍角的余弦公式结合两角差的正弦公式即可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：B题型三：降幂公式的化简求值问题7．（2021下·浙江·高一期末）已知则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根据已知求出，再化简代入得解.【详解】由得，故.所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法有：“三看三变”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三变”指的是变角、变名、变式.要根据已知条件，灵活选择方法求解.8．（2020下·高一课时练习）函数是A．最大值是的奇函数 B．最大值是的偶函数C．最大值是的奇函数 D．最大值是的偶函数【答案】B【解析】先根据降幂公式以及两角和与差余弦公式化简，再根据余弦定理性质求最值与奇偶性.【详解】因为为最大值是的偶函数，所以B正确；故选：B【点睛】本题考查降幂公式、两角和与差余弦公式以及余弦定理性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．（2022下·上海普陀·高一校考期末）已知函数，若在区间上的最大值为，则m的最小值是【答案】【分析】先将化为，由，得到，结合正弦函数图象可得，进而可解得结果.【详解】，当时，，依题意，有，解得，即的最小值为.故答案为：题型四：辅助角公式的应用10．（2024上·全国·高一期末）已知，且，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简为，由，可得，再利用正弦函数的性质即可求解.【详解】，因为，所以，所以，所以.故选：D.11．（2023下·广东佛山·高一校考期中）函数的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用两角和差的正余弦公式结合辅助角公式化简函数表达式，即可求得答案.【详解】由题意得，由于的最大值为1，故的最大值为2，故选：D12．（2023下·江苏徐州·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据和差公式，辅助角公式得到，再利用诱导公式，倍角公式求出答案.【详解】因为，所以，即，故，.故选：C题型五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题13．（2021下·上海·高一期中）已知，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.【详解】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.14．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知，，且满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得，由题意，利用同角三角函数的关系求得，，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解.【详解】，，得，，，，，，，.故选：A15．（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值.【详解】，符号相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故选：A．题型六：利用三角函数恒等式判断三角形形状16．（2023下·陕西西安·高一校考期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形【答案】B【分析】根据正弦定理边角互化可得，进而由三角函数的性质求解.【详解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形故选：B17．（2022下·上海奉贤·高一校考期中）在中，若，则此三角形为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【分析】首先利用三角恒等变换，得，再判断三角形的形状.【详解】因为，所以，，又所以，即.故选：A.18．（2021下·北京海淀·高一北大附中校考期中）在△ABC中，若，则△ABC为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用和角正弦公式及三角形内角和性质，可得，讨论、情况下，判断△ABC对应形状.【详解】由题意，，又，∴，即，，∴当时，；当时，，又，则；∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：D题型七：三角恒等式变换中化简问题19．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知，则.【答案】【分析】先求得，然后利用同角三角函数的基本关系式、降幂公式、二倍角公式、诱导公式等知识求得正确答案.【详解】..故答案为：20．（2022上·安徽宿州·高一校联考期末）已知函数，则该函数的最小正周期是；

当时，关于的方程仅有一实数根，则实数的取值范围为.【答案】或【分析】根据三角恒等变换化简，即可周期公式求解，利用整体法即可求解范围.【详解】，所以最小正周期为，当时，，因为在为增函数，在为减函数，故在上为增函数，在为减函数，而，，，要使得仅有一实数根，即在上只有一个实数根，即，或，解得或，故答案为：；或，21．（2024上·天津河西·高一统考期末）已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的最大值及取得最大值时自变量的集合；(3)求在的单调区间．【答案】(1)(2)1；(3)增区间为，减区间为.【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简表达式，结合正弦函数的周期公式，即可得答案；（2）结合正弦函数的最大值以及取得最大值时x的取值，即可得答案；（3）根据x的范围，确定的范围，结合正弦函数的单调性，即可求得答案.【详解】（1）由题意得,故的最小正周期为；（2）由，由于的最大值为1，故的最大值为，此时，即，即x的集合为，（3）当时，，故当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，即在上的单调增区间为，减区间为.题型八：三角恒等变换综合问题22．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若存在，使得不等式有解，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变化为同一个角的同一个三角函数，然后利用正弦函数的单调性即可求解；（2）由题意得，在上分别求，从而可得到求的取值范围.【详解】（1）由题意利用三角恒等变进行化简：.令，得，故的单调递减区间为.（2）由将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得.因为存在，使得不等式有解，所以.当时，，所以.当时，，所以.于是，即.故的取值范围为.23．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知函数，(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数的单调递减区间；(3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值.【答案】(1)，对称轴方程为，.(2)，；(3).【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的余弦公式进行化简为正弦型函数，进而求得最小正周期和对称轴方程；（2）根据题意得到不等式组，解出即可.（3）当时，，再求出的最大值与最小值，然后列出方程求得的值．【详解】（1）函数，函数的最小正周期为：，令，，解得，，则对称轴方程为，.（2）令，，解得：，，函数的单调递减区间为：，；（3）当时，，令或，解得：或，此时函数取得最小值为：，令，解得：，此时函数取得最大值为：，又的最大值与最小值的和为，所以有：，解之得：.24．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在上的单调递减区间；(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）应用诱导公式、倍角正弦公式及辅助角公式化简函数式，进而求最小正周期；（2）令，结合正弦函数性质求递减区间；（3）问题化为在上有解，令，，再结合二次函数性质求参数范围.【详解】（1），由，则的最小正周期为.（2）由（1）知，设，，所以，又在的单调递减区间是，由，得，所以在上的单调递减区间是.（3）由（2）知，所以.函数在上存在零点，即在上有解.由（2）知在，上单调递增，在上单调递减.在上，.令，，则，所以，解得，所以实数的取值范围为.【强化精练】一、单选题25．（2024上·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两角和的正弦公式运算可得结果.【详解】由题意可得：.故选：B.26．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知为第二象限角，且，则等于（

）A． B．1 C． D．7【答案】A【分析】先通过诱导公式求出，进而根据同角三角函数关系求出，展开代入的值计算即可.【详解】,，即，又为第二象限角，，则，.故选：A.27．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】由题意，利用算得，结合同角的三角函数关系计算即可求解.【详解】由题意知，，，则，，，得，，所以，所以.故选：C28．（2024上·四川雅安·高一校考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角公式，结合的范围求出，再利用二倍角公式计算即得.【详解】由，得，由，得，整理得，则有，所以.故选：C29．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）已知，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出，；再利用已知角和来配凑；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】，，，，，，，..故选：A.30．（2024上·全国·高一期末）为了得到函数的图象，可将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【分析】化简函数的解析式，再根据函数的平移变换法可得函数的变换情况.【详解】由已知，设将函数向左平移个单位，得，所以，解得，即将函数向左平移个单位长度可得，故选：D.31．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角的三角函数关系，切化弦，再结合两角和差的正弦公式化简，即可求得答案.【详解】由，，得，即，即，所以，即，所以，故选：C32．（2023下·四川成都·高一统考期中）下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用三角函数的关系式的恒等变换判断各选项的结论．【详解】对于A：因为，又函数在上单调递增，所以，所以，故A错误；对于B：由于，故B错误；对于C：由于，所以，则，故C错误；对于D：，故D正确．故选：D．33．（2023下·新疆阿克苏·高一校考期中）若函数，则下列结论不正确的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增C．函数图象关于对称 D．函数的图象关于点对称【答案】A【分析】先根据三角恒等变换化简的表达式，然后根据三角函数的性质进行判断.【详解】根据二倍角公式和诱导公式，，于是.A选项，根据三角函数周期公式，，A选项错误；B选项，令，解得，时可得在区间上单调递增，B选项正确；C选项，令，解得，时可得图象关于对称，C选项正确；D选项，，解得，为对称中心的横坐标，令，解得，故的图象关于点对称，D选项正确.故选：A二、多选题34．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由两边平方即可判断A项；利用A项结论可求出，再缩小角范围即得B项；将与的值联立求出，再运用倍角公式和商数关系即得C，D项.【详解】对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确；对于选项B，由，可得：故，由可得：，故B项错误；对于选项C，，故C项错误；对于选项D，由可解得：故得：.故D项正确.故选：AD.35．（2023上·河北邯郸·高一校考期末）已知函数，则（）A．函数的最大值为B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在区间上单调递增【答案】ACD【分析】先利用辅助角公式化简的解析式；再由三角函数的有界性判断选项A，由三角函数的对称性判断选项B、C，利用整体代入法及余弦函数的单调性判断选项D.【详解】.对于选项A，的最大值为，故选项A正确；对于选项B，令，解得，所以函数的图象关于直线对称，则函数的图象不关于直线对称，故选项B错误；对于选项C，因为，所以函数的图象关于点对称，故选项C正确；对于选项D，令，解得，所以的单调递增区间为.因为当时，，则函数在区间上单调递增，故选项D正确．故选：ACD．36．（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点中心对称C．函数的单调增区间为D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度【答案】AD【分析】化简的解析式，根据两角和的正弦公式、三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】.A选项，，A选项正确.B选项，，所以B选项错误.C选项，由，解得，所以的单调递增区间是，C选项错误.D选项，将函数的图象向右平行移动个单位长度，得到的图象，D选项正确.故选：AD37．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．点为函数图象的一个对称中心B．的取值范围为C．的一个单调递增区间为D．图象关于直线对称【答案】AB【分析】运用函数的对称性的性质、单调性的定义，结合特例法、二倍角的正弦公式、降幂公式逐一判断即可.【详解】选项A：因为，所以点为函数图象的一个对称中心，因此本选项正确；选项B：因为，所以，即的取值范围为，所以本选项正确；选项C：因为，所以的一个单调递增区间为不正确，因此本选项说法不正确；选项D：当时，，因为，所以此时函数不关于直线对称，因此本选项不正确，故选：AB【点睛】关键点睛：运用特例法、函数对称性的性质，结合降幂公式是解题的关键.三、填空题38．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）已知，则.【答案】/0.8【分析】已知等式由同角三角函数的关系求出，通过倍角公式构造齐次式，得，代入数据计算即可.【详解】因为，所以，则.故答案为：39．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）若，则的值为.【答案】【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解.【详解】因为，则.故答案为：.40．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，且，则.【答案】【分析】根据角的范围，确定的范围，结合，利用二倍角公式求出的值，以及的值，再利用两角和的余弦公式即可求得答案.【详解】由于，故，结合，可得，则，，所以；故答案为：41．（2024上·重庆·高一统考期末）已知满足，则．【答案】【分析】首先结合平方关系、角的范围得，再由诱导公式以及两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.42．（2024上·天津河北·高一统考期末）已知函数，将化成的形式为；函数在区间上的最小值是．【答案】【分析】利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后根据三角函数最值的求法求得在区间上的最小值.【详解】.当时，，所以当或，即或时，取得最小值为.故答案为：；四、解答题43．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）已知，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式及和角的正弦公式计算即得.（2）利用（1）的信息，利用和角的余弦公式、二倍角的正弦公式计算即得.【详解】（1）由，，得，，所以.（2）由（1）知，，所以.44．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知函数的最大值为.(1)求的最小正周期和图象的对称轴；(2)当时，求使成立的取值范围.【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的最值求出的值，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正