9.1.1 变量的相关性（原卷版）

9.1.1变量的相关性一、变量的相关关系1、相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系；2、散点图：将样本中n个数据点（）描在平面直角坐标系中得到的统计图叫做散点图，是描述成对数据之间关系的一种直观方法；3、正相关与负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关；4、线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；5、非线性相关与曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关；二、相关关系与函数关系的异同1、相同点：两者均是指两个变量之间的关系；2、不同点：（1）函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种不确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；事实上，函数是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系；（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。三、样本相关系数1、样本相关系数：设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示：变量x…变量y…两组数据和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量，其计算公式为，其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数．2、相关系数r的性质（1）；（2）时，与呈正相关关系；时，与呈负相关关系（3）越接近1，与的相关程度越强；越接近0，与的相关程度越弱.通常情况下，时，认为线性相关关系显著；当时，认为几乎没有线性相关关系。题型一相关关系与函数关系【例1】（2023·江苏·高二专题练习）对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是__________．（填序号）①都可以分析出两个变量的关系；②都可以用一条直线近似地表示两者的关系；③都可以作出散点图；④都可以用确定的表达式表示两者的关系．【变式1-1】（2022春·甘肃兰州·高二统考期中）有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是（）A．①②③B．①②C．②③D．①③④【变式1-2】（2023·江苏·高二专题练习）下列两个量之间的关系是相关关系的是（）A．匀速直线运动中时间与位移的关系B．学生的成绩和身高C．儿童的年龄与体重D．物体的体积和质量【变式1-3】（2022·高二课时练习）下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是（）A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．不积跬步，无以至千里D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧题型二由散点图判断相关关系【例2】（2022·高二课时练习）有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和身体健康情况；④圆的半径与面积；⑤汽车的重量和每千米耗油量.其中两个变量成正相关的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤【变式2-1】（2022·高二课时练习）某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下：月份人均销售额利润率根据表中数据，下列说法正确的是（）A．利润率与人均销售额成正相关关系B．利润率与人均销售额成负相关关系C．利润率与人均销售额成正出例函数关系D．利润率与人均销售额成反比例函数关系【变式2-2】（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）对变量、由观测数据得散点图，对变量、由观测数据得散点图.由这两个散点图可以判断（）A．变量与负相关，与正相关B．变量与负相关，与负相关C．变量与正相关，与正相关D．变量与正相关，与负相关【变式2-3】（2023·高二课时练习）如下四个散点图中，正相关的是（）A．B．C．D．题型三相关系数的理解与判断【例3】（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）对于样本相关系数，下列说法错误的是（）A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的C．样本相关系数D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强【变式3-1】（2023春·高二单元测试）对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数如下，其中拟合效果最好的模型是（）①模型Ⅰ的相关系数为；②模型Ⅱ的相关系数为；③模型Ⅲ的相关系数为；④模型Ⅳ的相关系数为；A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ【变式3-2】（2023·高二课时练习）在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是（）A．样本数据由正相关变成负相关B．样本的相关系数不变C．样本的相关性变弱D．样本的相关系数变大【变式3-3】（2023·高二课时练习）对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为______．题型四相关系数的计算与应用【例4】（2022·高二课时练习）在一次试验中，测得的四组值分别为，则与的相关系数为（）A．B．C．0D．【变式4-1】（2021春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）若已知是的两倍，是的1.2倍，则相关系数r的值为（）A．B．C．0.92D．0.65【变式4-2】（2023春·陕西西安·高二校联考阶段练习）已知某个样本点中的变量x、y线性相关，相关系数，则在以为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第_____