第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式（原卷版）

第03讲4.2.2等差数列的前项和公式课程标准学习目标①掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。②会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。③能处理与等差数列相关的综合问题。能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题知识点01：等差数列的前项和公式1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知数列均为等差数列．(1)设，，求；(2)设，，求；(3)设，求．【答案】(1)260(2)21.7(3)49【详解】（1）依题意，．（2），于是，从而.（3）设公差为，则，，于是，所以．知识点02：等差数列前项和公式的函数特征等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．知识点03：等差数列前项和性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则(4)若等差数列的项数为,则，。(5)若等差数列的项数为,则，，，【即学即练2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，，则．【答案】15【详解】设，由等差数列的性质可得，又，则，解得．故答案为：15题型01等差数列前项和的基本量计算【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）等差数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求n.【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．(1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？(2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．题型02利用等差数列前项和公式判断【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式．【典例2】（2023春·高二课时练习）已知一个数列的前项和．(1)当时，求证：该数列是等差数列；(2)若数列是等差数列，求满足条件．【变式1】（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）已知数列的前项和.（1）求证：是等差数列；【变式2】（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和求数列的通项公式；求证：数列是等差数列．题型03等差数列片段和性质【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列的前n项和，若，则（

）A．10 B．20 C．30 D．15【变式1】（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）在等差数列中，已知，，则（

）A．90 B．40 C．50 D．60【变式2】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2023秋·上海闵行·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则.题型04比值问题（含同角标和不同角标）【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则．【典例3】（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1】（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求.【变式2】（2023春·湖北·高二统考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列，的前项和分别是与，且，则；.题型05等差数列前项和的最值问题【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（

）A．11 B．11或12 C．12 D．12或13【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）记等差数列的前项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)求以及的最小值．【典例3】（2023春·甘肃临夏·高二校考阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，.(1)求等差数列的通项公式；(2)求的最小值及对应的n值．【变式1】（多选）（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）设数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，则（

）A． B． C．或为的最大值 D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为.若，则的最大值为.【变式3】（2023秋·山西大同·高三大同市第二中学校校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)求的最大值.题型06符合条件的最值问题【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．当取得最大值时， D．【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（

）A．9 B．10 C．17 D．18【典例3】（多选）（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）设等差数列的公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C． D．数列中最大项为第6项【变式1】（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【变式2】（多选）（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（

）A． B． C． D．【变式3】（多选）（2023秋·高二课时练习）设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论正确的是（

）.A． B．C． D．与均为的最大值题型07求数列的前项和问题【典例1】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）若等差数列的首项，，记，则．【典例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式(2)若，求的前项和.【典例3】（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知等差数列的前n项和为，，且__________，求数列的前项和．【变式1】（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）在公差为的等差数列中，已知，且.(1)求；(2)若，求.【变式2】（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）设等差数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的前n项和．题型08等差数列奇数项偶数项和【典例1】（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式．【变式1】（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023春·高二课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【变式3】（2023·高二课时练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11题型09数列求和（倒序相加法）【典例1】（2023春·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·广东珠海·高二珠海市第一中学校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（

）A．100 B．105 C．110 D．115【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，等差数列满足，则．题型10数列求和（裂项相消法）【典例1】（2023秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知，若数列的前项和为，则的取值范围为.【典例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且当时，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求的前项和.【典例3】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．(1)求和；(2)设，求数列的前n项和．【变式1】（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）数列中，，，则（

）A．97 B．98 C．99 D．100【变式2】（2023·河南·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【变式3】（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考阶段练习）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（

）A．35 B．32 C．29 D．263．（2023春·江西·高二统考期末）数列的前项和，则取最大值时的值为（

）A． B．2 C． D．44．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（

）A．66 B．72 C．132 D．1445．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．0 B． C． D．6．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．97．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则数列的前10项和为（

）A．10 B．50 C．60 D．708．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）在数列中，，，则数列的前项和（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）公差为的等差数列，其前项和为，下列说法正确的有（

）A． B． C．中最大 D．10．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）已知为等差数列，前项和为，，公差d=−2，则（

）A．=B．当n=6或7时，取得最小值C．数列的前10项和为50D．当n≤2023时，与数列（mN）共有671项互为相反数．三、填空题11．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是.12．（2023·全国·高三专题练习）数列的通项为，其前n项和为，若，则项数．四、解答题13．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式与前项和；(2)若，求数列的前项和.14．（2023秋·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，且．(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，求的最小值．B能力提升1．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．3．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕