第01讲 平面向量的基本概念（人教A版2019必修第二册）（解析版）

第01讲平面向量的基本概念【人教A版2019】·模块一向量的概念·模块二相等向量与共线向量·模块三课后作业模块一模块一向量的概念1．向量的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．2．向量的表示法(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量的表示方法:①字母表示法：如等.(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.【考点1向量概念的理解】【例1.1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（

）（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．【解答过程】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，故选：A．【例1.2】（2022·全国·高一专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(

)A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【解题思路】根据向量的定义即可判断.【解答过程】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．【变式1.1】（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段MN→和有向线段NM【解题思路】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.【解答过程】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；D：有向线段MN→和有向线段NM→的长度相等，故D故选：D.【变式1.2】（2023下·山西阳泉·高一校考期中）下列命题中真命题的个数是（

）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【解答过程】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；（4）错误，直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.故选：A.【考点2向量的几何表示与向量的模】【例2.1】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；(2)求DA的模．【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；（2）由题意可知，四边形ABCD是平行四边形，则可求得DA的模.【解答过程】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为(-2,0)，又因为D点在B点的正北方，所以CD⊥BD，又CB=2003，所以DB=2002，即D、C两点在坐标系中的坐标为即可作出AB、BC、CD如下图所示.（2）如图，作出向量DA，由题意可知，CD//AB且所以四边形ABCD是平行四边形，则DA=所以DA的模为2003【例2.2】（2023下·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量AB,（2）求|AD【解题思路】（1）根据题设以AB为正东方向，过A垂直于AB向上为正北方向，结合题设画出向量即可.（2）由题设知AB//CD，易知ABCD为平行四边形，即可求【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量AB,（2）根据题意，向量AB与CD方向相反，故向量AB//CD，又∴在ABCD中，AB//CD,AB=CD，故ABCD为平行四边形，∴AD=BC，则【变式2.1】（2023·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；（2）AB，使|AB|＝4，点B在点（3）BC，使|BC|＝6，点C在点B【解题思路】（1）由点A在点O北偏东45°处和|OA|＝42，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量OA（2）由点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量（3）由点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2【解答过程】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA（2）由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量（3）由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C【变式2.2】（2023下·安徽淮北·高一校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)OA=3，点A在点O(2)OB=32，点B在点O的北偏西(3)求出AB的值．【解题思路】（1）根据向量的大小和方向，作向量OA，（2）根据向量的大小和方向，作向量OB，（3）根据向量的模的定义求AB.【解答过程】（1）因为OA=3，点A在点O的正西方向，故向量OA

（2）因为OB=32，点B在点O的北偏西45∘

（3）

AB=模块二模块二相等向量与共线向量1．向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.【考点1向量相等或共线的判断】【例1.1】（2022·高一课前预习）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（

）A．AB与AC共线 B．DE与CB共线C．CD与AE相等 D．AD与BD相等【解题思路】根据向量共线概念即可求解结果．【解答过程】因为AB与AC不平行，所以AB与AC不共线，A错因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故DE与CB共线，B正确；因为CD与AE不平行，所以CD与AE不相等，C错；因为AD=DB=-故选：B.【例1.2】（2023下·北京·高一东直门中学校考期中）下列命题正确的是（

）A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意非零向量共线【解题思路】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.【解答过程】对于A：单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；对于D：模为0的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确；故选：D．【变式1.1】（2023·高一课时练习）设O是正方形ABCD的中心，则（

）A．向量AO，BO，OC，OD是相等的向量B．向量AO，BO，OC，OD是平行的向量C．向量AO，BO，OC，OD是模不全相等的向量D．AO=OC【解题思路】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.【解答过程】

对于A项，AO，BO不共线，故A项错误；对于B项，显然OA,OB不平行，且O,A,B三点不共线，故B项错误；对于C项，根据正方形的性质，可知AO，BO，OC，OD的长度相等，故C项错误；对于D项，根据正方形的性质，AO,OC方向相同，BO又AO，BO，OC，OD的长度相等，所以AO=OC，BO=OD故选：D.【变式1.2】（2023下·天津和平·高一校考阶段练习）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（）A．AB=EF B．AB与C．BD与EH共线 D．CD【解题思路】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可.【解答过程】∵四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，∴∠DCG+∠GCE=180∘，即∴AB=EF,CD=FG，AB//即AB=EF，CD=FG，AB与对于C：若BD与EH共线，则必有∠BDC=∠HED，即∠GCE=2∠BDC=2∠HED，该条件不一定成立，如∠GCE=90∘时，∠HED≠45∘，故故选：C.【考点2用向量关系研究几何图形的性质】【例2.1】（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，BO=【解题思路】由AO=OC，BO=OD可得AC【解答过程】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形．即证.【例2.2】（2022·高一课时练习）已知点E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=【解题思路】连接AC，易得EF，HG分别为△ABC和△ADC的中位线，进而可得EF//HG，且EF=HG，又向量EF【解答过程】证明：如图，连接AC，

因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF为△ABC的中位线，所以EF//AC，且同理，因为G，H分别是CD，DA的中点，所以HG//AC，且所以EF//HG，且因为向量EF与HG方向相同，所以EF=【变式2.1】（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD、BC的中点，如图．(1)写出与向量FC共线的向量；(2)求证：BE=【解题思路】（1）由题意直接写出与向量FC共线的向量即可；（2）证明四边形BFDE是平行四边形即可证明BE=【解答过程】（1）据题意，与向量FC共线的向量为：CF,FB,BF（2）证明：∵ABCD是平行四边形，且E，F分别为边AD，BC的中点，∴BF=ED，且BF//ED，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=FD，且BE//FD，∴BE=【变式2.2】（2023下·安徽芜湖·高一校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，BP⊥AC于P，AQ=13AC，G(1)求PQ；(2)验证：G、Q、B是否三点共线.【解题思路】（1）利用已知条件，结合三角函数和勾股定理，可求PQ；（2）利用向量共线，证明三点共线.【解答过程】（1）矩形ABCD中，AB=6，AD=2，则AC=ARt△ABC和Rt△ABP中，cos∠CAB=ABACAQ=13AC（2）GQ=GB=AB-AG=AB-12AD，则有GB=3GQ模块三模块三课后作业1．（2023下·高一课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【解题思路】根据向量的概念，即可得出答案.【解答过程】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.故选：A.2．（2023下·江苏南京·高一校考期中）下列命题中正确的有（

）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若a和b是都是单位向量，则aC．若a//b，则a与bD．零向量与任何向量共线【解题思路】根据平面向量的概念依次判断即可得出.【解答过程】对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，故A错误；对B，若a和b是都是单位向量，则a=b=1对C，若a//b，则a与b的夹角为0∘或180对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，故D正确.故选：D.3．（2022·全国·高一假期作业）下列说法正确的个数为（

）①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量的模一定是正数④非零向量的单位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【解答过程】①错误，只有速度，位移是向量．②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．③错误，|④错误，非零向量a的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向．故选：A.4．（2022·高一课时练习）如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么（）A．s>|a| BC．s=|a| D．s与【解题思路】直接利用向量的摸和路程的定义的应用即可求解.【解答过程】如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s=200+300=500km,|a|=200故选:A.5．（2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命题正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若a→=C．若a→=b→，b→=c→，则【解题思路】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断；C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；【解答过程】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；对于C项：因为a→=b→，b→对于D项：若b→=0→，则不共线的a→，c→也有a故选：C.6．（2023上·福建厦门·高三校考开学考试）下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使aa+bb=D．若a=b，b【解题思路】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.【解答过程】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C选项，因为aa与bb都是单位向量，所以只有当aa与bb是相反向量，即a与b是反向共线时D选项，由向量相等的定义知D正确.故选：A.7．（2023下·高一课时练习）如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB平行且模为2的向量共有A．12个 B．18个 C．24个 D．36个【解题思路】利用共线向量、模的计算公式、正方形的对角线即可得出.【解答过程】由题意知，每个小正方形的对角线与AB平行且模为2的所在的向量，3×4的格点图中包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.8．（2022·高一课前预习）在四边形ABCD中，若AB=DC，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD为（A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定【解题思路】由向量相等的定义得出四边形边的关系，再由向量的模相等得四边形对角线相等，从而可得四边形形状．【解答过程】若AB=DC，则AB=DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD又因为|AC|=|BD|，即AC=BD，所以四边形ABCD为矩形.故选：B．9．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中点，则下列判断错误的是（

）

A．AB=OC BC．AD=BE D【解题思路】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.【解答过程】对于A，由正六边形的性质可得四边形OABC为平行四边形，故AB=OC，故A对于B，因为AB//DE，故AB∥DE对于C，由正六边形的性质可得AD=BE，故AD=BE对于D，因为AD,FC交于O，故AD=FC不成立，故故选：D.10．（2023·高二课时练习）若向量等式a+b=a-b成立，则A．a、b都是零向量B．a、b是平行向量C．a、b中有一个零向量或a、b是平行向量D．a=0或b是零向量或a、b【解题思路】将向量等式a+b=a-b两边平方,【解答过程】由知|a将a+b=a-所以a2+2a⋅b因为a2=|a所以2a⋅b所以|a||b所以|a||b所以a=0或b=0或所以a=0或b=0或所以a=0或b=0或a,故选D.11．（2023·全国·高一随堂练习）画图表示小船的下列位移（用1:500000的比例尺）：(1)由A地向东北方向航行15km到达B地；(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地；(3)由C地向正南方向航行20km到达D地．【解题思路】先画出以点A为顶点，北偏东45°的角，并取出相应的长度确定B点；接下来再以点A为顶点画出北偏西30°的角，并取出相应的长度确定C点，再以点C为顶点正南方向，并取出相应的长度确定D点即可.【解答过程】（1）根据1:500000的比例尺，15km即图上3

（2）根据1:500000的比例尺，20km即图上4

（3）根据1:500000的比例尺，20km即图上4

12．（2023·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD为正方形，BDCE为平行四边形，

(1)与AB模长相等的向量有多少个？(2)写出与AB相等的向量有哪些？(3)与AB共线的向量有哪些？(4)请列出与EC相等的向量．【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.【解答过程】（1）因为四边形ABCD为正方形，