第二章质点组力学2

第二章质点组力学2.1质点组2.2动量定理与动量守恒律2.3动量定理与动量矩守恒律2.4动能定理与机械能守恒定律2.5两体问题2.6质心坐标系与实验室坐标系2.7变质量物体的运动2.1质点组(1)质点组、内力和外力

我们把由许多（有限或无限）相互联系着的质点所组成的系统。质点组中质点间的相互作用力。质点组以外的物体对质点组内质点的作用力。

质点组：内力：外力：内力的性质对任何一对质点间的相互作用力,由牛顿第三定律知:证明::表示第个质点对第个质点的作用力.①质点组中所有内力的矢量和等于零。②质点组的所有内力对任一参考点的力矩的矢量和恒为零.是质点pi相对pj的位矢,与共线.其中:⑵质心质点组的全部质量可认为集中在某一点上，这一点我们就叫做质点组的质心。质心：

①如n个质点组成的质点系，质量分别为：m1、m2

、

mn，对参考点的位矢是

其定义为：在直角坐标系②质量连续分布的体系(是质元对参考点的位矢。)在直角坐标系如果质心恰好在坐标原点，则质心位矢为③质心和重心的区别质心：重心：从定义上质点组的全部质量可认为集中在某一点上，这一点我们就叫做质点组的质心。作用于质点系是重力的合力的作用点。二者不是同一点。特殊地，在地球表面附近，认为重力加速度是常矢量时，物体的质心和重心相互重合。2.2动量定理与动量守恒律⑴动量定理假设由n个质点所组成的质点组，其中某一个质点的质量mi为，对某惯性参考系坐标原点O的位矢，作用其上的诸合力为质点pi的运动微分方程（i=1,2…n)∵∴由于是质点的速度，对整个质点系而言，有其中为质点的组动量，等于质点组诸质点动量的矢量和。为所有外力的矢量和。∴或写成分量形式▲质点组的动量定理

质点组的动量对时间的微商，等于作用在质点组上诸外力的矢量和。

或者说，质点组的动量的微分，等于作用在质点组上诸外力的元冲量的矢量和。式中为质点组的总质量。为质心的位矢。两边对时间求导数，得是质点组质心的速度。⑵质心运动定理再由和可得其中是质心的加速度。或质点组的质量中心是一个特定的几何点，可以设想，在其上集中了质点组的全部质量，其加速度与外力的关系符合牛顿第二定律。质心运动定理：在直角坐标系的分量形式质点组的质量与其质心加速度的乘积等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质点组的质心运动定理。⑶质心组的动量守恒定理

①当质心组不受外力或所受外力的矢量和为零，如果作用在质点组上的诸外力在某一固定轴(设为x轴)上的投影之和为零,②例:一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物体,以与水平线成角的速度向前跳。当他跳到最高时，将物体以相对于他自己的速度水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远的距离增加了多少？解：忽略空气阻力，则人和重物所组成的质点组在水平方向的动量守恒。设是人在抛掷重物过程中所增加的水平速度，人对惯性参考系（地面）的水平速度为，物体对惯性参考系（地面）的水平速度为，则设从最高点到落地的时间为t，则

故，多跳的一段距离为2.3动量定理与动量矩守恒定律⑴对固定点的动量矩定理设由个质点所形成的质点组，则每个质点的动力学方程为

从左面矢乘，并对i求和（是质点组

中任一质点Pi对惯性系中某固定点的位矢）。

质点组的动量矩定理质点组对任一固定点的动量矩对时间的商，等于作用在质点组上诸外力对同一点的力矩的矢量和。

质点组的动量矩的微分形式等于作用在质点组上诸外力的冲量矩的矢量和。在直角坐标系的分量形式其在直角坐标系的分量形式质点组的动量矩的积分形式①如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即如果，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。②⑵动量矩守恒定律⑶对质心的动量矩定理①质心坐标系:在质点力学中，除以定点o为原点建立惯性系，o-xyz外通常还以质点组的质心c为质建立一个平动坐标系c-x`y`z`，而质心c在静止系中的位矢仍用表示。c-x`y`z`为平动的非惯性系，称为质心坐标系或质心系。②对质心系c-x`y`z`中的动量矩定理设体系中第个质点的质量为，相对质心的坐标为，则它在质心坐标系中的运动微分方程为用从左面矢乘两边得，并求和结论：

在绕质心的相对运动中，质点系对质心的动量矩的时间变化率，等于各外力对质心力矩的矢量和，这就是质心系对其质心的动量矩定理。对质心的惯性力矩的总和为零。⑷质心系中的动量矩守恒定律例：质量为的质点，沿倾角为的光滑直角劈下，劈的本身，质量为，又可在光滑水平面上自由滑动。试求①质点水平方向的加速度;②劈的加速度;③劈对质点的反作用力R1;④水平面对劈的反作用力R2.令为沿斜面下滑的速度（相对），则由图1知:（非惯性系）对m1有⑴质点组的动能定理

由n个质点所组成的质点组，其中任选一个质量mi为，位矢为(对定点o)的质点pi,作用在该质点上所有内力和外力的矢量和,分别为

,则质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外力及内力所做元功之和,即其中,是质点的速度,则是它的位移。

2.4动能定理与机械能守恒定律对i求和若用T表示质点组的动能，则由此可知，质点组的动能定理：质点组动能的微分，等于诸外力及诸内力所做元功之和。注意

①在动量定理和动量矩定理中，内力均因相等相反而消去；②在质点组动能定理中，内力所作元功之和一般不能互相抵消，即质点组的动能并不一定守恒；

③对特殊的质点组—刚体来说，内力不作功，即内力所作元功之和为零。

下面就让我们对第二点进行证明。

设第一个质点相对于定点o的位矢是，第二个质点相对于定点o的位矢是，第一个质点所受的内力为,第二个质点所受的为，且证明对于一般的质点组来说，由于其质点间的相对位置可以改变，所以内力的功之和不等于零。⑵机械能守恒定律如果作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。⑶柯尼希定理

c-x`y`z`系的原点固着在质点组的质心c上（即质心坐标系）,c-x`y`z`系相对于o-xyz系平动。质点组中某一质点pi对定点o的位矢为，对c的位矢为，而c对o的位矢则为。⑷对质心的动能定理在c-x`y`z`中，对质点mi应用第二定律，得质点组对质心的动能定理质点组对质心的动能的微分，等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。说明：质心虽是动点，但惯性力所作功

元之和为零，因为惯性力的矢量和通过c点，位移为零。2.5两体问题⑴两体问题的含义我们通常把仅受相互作用的内力、不受任何其他外力作用的两个质点（物体）组成的系统，称为两体问题。（如太阳与一个行星，粒子和原子核。）⑵两体问题动力学方程及守恒量由上可知以下论断①系统(P,S)的质心将按惯性运动；②太阳和行星都绕它们的质心作圆锥圆锥运动.

对系统(S,P)而言，万有引力是内力，故前者即可根据质点组的动量守恒定律得出，而后者可从它们相对于质心的动力学方程得出.下面就让我们给以证明.由上可知，力仍与距离的平方成反比，故由§1.9，知行星绕(S,P)系统的质心作圆锥曲线运动。（太阳的也是如此）说明⑶开普勒第三定律的修正而按开普勒第三定律，上式的右方应该等于1。故该定律只具有近似性质，只在m1及m2都远远小于M时才是正确的。⑷知识拓展没有考虑行星间的相互吸引属于两体问题；考虑任一行星还要受到其他行星的吸引则属于多体问题。

而多体问题一般只能用微扰的方法来近似求。2.6质心坐标系与实验室坐标系

质心坐标系：在随着质心运动的坐标系中观测。实验室坐标系：在静止坐标系中来观察。⑴实验室坐标系与质心坐标系

⑵两种坐标系中弹性散射的不同结果①两种坐标系中看到的弹性散射现象（如下图）

②两坐标系中散射角的相互关系

设两质点的质量为

，散射角在实验室坐标系中为θr，在质心系中为θc，可由相对运动速度的合成关系（见右图）

将它投影在水平方向与垂直方向,可求得

为了消去

,并用质点的质量表示，可利用质心的定义并以r表示质点2相对质点1的位置矢量，由

,

可得到用散射角θr用质点质量

表示的形式：

特例（1）重核散射（如α粒子散射）时