2023届高考数学二轮复习-平面向量中的最值问题 含解析

平面向量中的最值问题

1.已知ΔABC是顶角A为120。，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则PA∙（PB+PC）的最

小值是（）

131

A.--B.--C.---D.-1

224

【分析】依题意，作图，则PB+PC=2PZ）,要使PA∙（PB+PC）最小，则cos<PO,PA>最小，且

IPOIIPAI最大，从而可得答案.

【解答】解：设BC的中点为。，依题意，AD±BC,AD=-AB=∖,SLPB+PC=2PD,

2

:.PA(PB+PC)=2PD-PA=2∖PD∖∖PA∖cos<PD,PA>,

要使PA∙(PB+PC)最小，则CoS<尸£>,R4>最小，且使得CoS<PO,PA>最小时∣PO∣∙∣P4∣最大,

当PD与PA共线反向时cos<PQ,Λ4>最小为-1,且此时

四“网,（段产J争拈2ɪ

4

.∙.PA-(PB+PC)的最小值是-L

2

故选：A.

【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量数量积的应用，突出考查作图能力与逻辑推理能

力，属于难题.

2.如图，在平面四边形ABa）中，ABVBC,ADlCD,NftW=120。，AB=AD=I.若点E为边

CD上的动点，则AE.8E的最小值为（）

Di'B

【分析】如图所示，以。为原点，以ZM所在的直线为X轴，以Z)C所在的直线为y轴，求出A,B,C

的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出.

【解答】解：如图所示，以。为原点，以D4所在的直线为X轴，

以Z)C所在的直线为y轴，

过点3做3N_Lx轴，过点5做BMLy轴，

ABlBC,ADYCD,ZBAZ>=120o,AB=AD=I,

:.AN=ABcos600=-,BN=ABsin60°=正，.∙,DW=1+1=-,.-.BM=-,

22222

.-.CM=MBtan30。=岁:.DC=DM+MC=Q,A(l,0),B(∣,γ),C(0,√3),

设E(0,%),AE=(-∖,m),BE=(-∙∣,/w-ɪ),喷物√3,

.,,ɜɪ√3(√3ɪ338、221

..AEc∙BβEj=-+∕n2------m=(in-------)λ2+--------=(f∕n------)+一，

224216416

当胆=且时，取得最小值为

416

故选：A.

【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题.

JT

3.已知ΔABC中，AB=6,AC=4,A=-,若CP=1,则PA∙P8的最小值为()

2

A.7B.9C.16D.25

【分析】由题意画出图形，建立平面直角坐标系，再由平面向量的坐标运算求解.

【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，

以C为圆心，以I为半径的圆的方程为V+(y-4)2=l,

可设P(COSa4+sin。)，贝IJPA=(-cos。,T-Sine),PB=(6-cosθ,-4-sin0),

:.PA-PB=cos2θ-6cosθ+sirrθ+8sin0+16=8sin0-6cos0+17=IoSin(。-⑼+17.

.∙.PAPB的最小值为7.

故选：A.

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及应用，考查运算求解能力，建系是关键，是中档题.

4.已知A,B,C是单位圆上不同的三点，AB=AC,则A8∙4C的最小值为()

A.0B.--C.--D.-1

42

【分析】先建立平面直角坐标系，设A(-l,0),B(CoSaSin6),求出对应点的坐标，然后结合平面向量数

量积运算求解即可.

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

不妨设A(-l,0),B(cos^,sin0),又AB=AC,则C(CoSa-Sine),

所以AB=(cos6+l,sin6),AC=(COSe+1,-Sine),

所以AB∙AC=(cosθ+1)2-sirrθ=2cos2θ+2cosθ=2(cosθ÷—)2——，

22

当CoSe=-［时，48.4(7取最小值-1,

22

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题.

5.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结

构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆。(后轮)的半径均为抬，ΔABE,ΛBEC,AECD均是边长为

4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB∙8P的最大值为()

A.4√3B.12C.12√3D.36

【分析】建立直角坐标系，可得A(-8,0),B(-6,2√J),设P(√5cosα,√5sina),表示出A8∙8P,再由三角

函数的性质得解.

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(-8,0),B(-6,2有),圆Q的方程为f+a=3,则可设P("cosα,6sinα),

所以AB=(2,2√3),BP=(√3cosa+6,√3sina-2√3),

所以AB-BP=2∖∣3cosa+12+6sina-12=4>∕3sin(a+—)„4#),

6

所以A3∙3P的最大值为4右.

故选：A.

【点评】本题考查平面向量的数量积以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题.

6.如图，在四边形ABC。中，々=60。，AB=3,BC=6,ɪAD=2BC,AD.AB=--,则实数见的

2

值为-,若M,N是线段BC上的动点，且IMNI=1,则。M.ON的最小值为.

一6一

【分析】以3为原点，以BC为X轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求

出点。的坐标，即可求出力的值，再设出点M,N的坐标，根据向量的数量积可得关于X的二次函数，

根据二次函数的性质即可求出最小值.

【解答】解：以8为原点，以BC为X轴建立如图所示的直角坐标系，

ZB=60o,AB=3,:.A(∣,孚)，BC=6,/.C(6,0),AD=ABC,

.∙.AD∕∕BC,设。(看,羊)，.∙.AD=(Λ∙0-∣,0),AB=(-|,-孚)，

.∙.AD∙AB=--(xo--)+O=--,解得Xo=»,.∙.O(3,—),

2222

AD=(1,O),BC=(6,0),ΛAD=-BC,:.λ=~,∖MN∖=l,

66

设M(X,0),则N(X+1,0),其中(掰C5,

.∙.DM=(Λ∙-∣,-ɪ),ON=(X-T，-ɪ).

22

.∙.DM.D7V=(X--)(Λ--)+-=X-4X+-=(Λ-2)+-,当x=2时取得最小值，最小值为肥，故答

224222

【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属

于中档题.

7.在边长为1的等边三角形ABC中，Z)为线段BC上的动点，DEJ_A3且交AB于点E,DF//AB且交

AC于点尸，则I2BE+CFI的值为1；(OE+OF)∙D4的最小值为.

【分析】设8E=x,表示出B∕)=2x,DE=y∕3x,IXJ=↑-2x,利用数量积的定义与性质即可求出.

【解答】解：如图，设BE=x,

AABC是边长为1等边三角形，DEA.AB,

.∙.ZBDE=30°,BD=2x,DE=y∣3x,DC=l-2x,

DF//AB,.∙.ΔT>FC是边长为1一2X等边三角形，DEYDF,

'QBE+DF)2=4BE+4BE-DF+DF2=4X2+4X(1-2x)×cosOo+(1-2x)2=1,

则∣2BB+DFl=1,

2

(DE+DF).DA=(DE+DF)∙(DE+EA)=DE~+DF∙EA

=(ʌ/ɜɪ)2+(1-2x)×(1-x)=5X2-3X+1

=5(X----)2H------>x∈(0,一),

10202

.∙.(DE+DF)DA的最小值为U.

20

故答案为：1,—--

20

【点评】本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题.

8.已知正方形OA8C,IoAl=6,OC=3OM,OF=,r∈(0,1],点。关于直线EM对称的点为N,

则N3∙NC的最小值为0.

【分析】利用点O关于直线FM对称求出N点坐标，结合对勾函数求出横坐标的取值范围，结合"的轨

迹，利用极化恒等式进行求解.

【解答】解：由正方形。4BC建立如图示的平面直角坐标系，

由题意得:A(6,0),C(0,6),M(0,2),F(6t,0),则直线MF:二+上=1.

6t2

mn«12/

——+—=1m=-------

所以⑵36产

设N(m,n),则⑵4,解得.1+?N().

ɪ.(-1)=-136*1+9尸1+9/

几=-------

m3/l+9t2

36产所以—在上单调递增,

其中-ɪ,Af)=F(0,1]

1+9产

/+9/+9

所以，/(1)=毡=电，从而f(f)=∙rU-e(0,∙^],

105-+9tɔ

36产18

且当"1时,

l+9t2-y

此时当F位于右端点与A重合时，N(g,£)最高.

又点O,N关于直线RW对称，所以IMNRoMl=2,

所以点N的轨迹为以M为圆心，2为半径的圆弧，其中圆弧的上端点坐标为葭)，如图所示.

取BC的中点，，连接NH,因为NB+NC=2NH(l),NB-NC=2CHg,两式平方后相加得:

NBNC=∖NH∖2-ICW∣2=∣N∕∕∣2-9.要使N8∙NC的值最小，则需要IAWl最小.连接用〃与圆弧交点N即

为最小的∣M∕I,

此时由勾股定理得：IMH∣=,CW+CH2=,16+9=5,此时IM/I=5-2=3.

过点N作NGJ_y轴于点G,则ΔWG~MHC,

所以"L=也,即2=49故NG=9,即N的横坐标为9符合要求，故NBNC的最小值为:

MHHC5355

∖NH∖i-9=32-9=0.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题.

类型二、向量模的最值问题

9.已知向量d、b满足仍|=2,则∣α+G∣+∣a-Z>∣的最小值是4,最大值是.

【分析】通过记NAo8=α（怎Ibπ）,利用余弦定理可可知∣α+8∣=,5+4cosα、∖a-b∖=√5-4cos<z,进

而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论.

【解答】解：记NAOB=。，则滕Ihπ,如图，

由余弦定理可得：∖a+b∖=√5+4cosa,[a-bI=J5-4CoSa,

令X=,5-4cosα,y=√5+4cosα,

贝∣Jd+V=10（x、y..l）,其图象为一段圆弧MZV,如图，令Z=X+y,则y=-x+z,

则直线y=-x+z过M、N时Z最小为Zmi“=1+3=3+1=4,

当直线y=-x+z与圆弧MN相切时Z最大，

由平面几何知识易知z,mv即为原点到切线的距离的√2倍，

也就是圆弧MN所在圆的半径的叵倍,所以ZS=√∑χM=2石.

综上所述，∣α+6∣+∣4-A∣的最小值是4,最大值是2石.

故答案为：4、2χ∣5.

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线

性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题.

10.已知e为单位向量，向量。满足(α-e)∙(α-5e)=0,则∣"+e∣的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【分析】设e=(1,O),a=(x,y),根据向量。满足(α-e)∙(α-5e)=0,可得x,y的关系式，并得出x,

)，的取值范围，∣a+e∣=7(x+l)2+y=√8T≡4,根据函数的最值求解即可.

【解答】解：设e=(l,O),a=(x,y),

则(α—d)■—5e)=(x-1>y)∙(x—5,y)=x2—6x+5+)L=0,即(x—3)^÷ʃ"=4>

则掇Ik5,-2翱2,所以∣4+e∣=J(x+iy+y2=,8JL4,

当x=5时，√8x-4取得最大值为6,即Iα+eI的最大值为6,

故选：C.

【点评】本题考查了向量数量积的应用，将所求问题坐标化转化为函数的最值问题是解题关键.

11.已知向量d,人满足∣6∣=2,〃与人的夹角为60。，则当实数2变化时，出-∕lα∣的最小值为()

A.√3B.2C.√10D.2√3

【分析】利用|。—而I=Js—"幻？计算即可.

【解答】解：设∖a∖=m,则

∖h—λa∖=∖∣(b-λa)2—∙∖∣b^-2λa∙b+λ2a^—yjW2A2—2λm+4=∙^(λm-∖)2+3，

当/1帆=1时，/-而|的最小值为6.

故选：A.

【点评】本题考查向量的运算，属中档题.

12.已知非零平面向量α,h,C满足∣4∣=2,∣b-C∣=l,若“与/>的夹角为工，则Ia-Cl的最小值为(

3

)

h

A.√3-lB.√3C.陋+1D.—

2

【分析】利用绝对值三角不等式得到Ia-Cl…∣a-b∣-l,然后求Ia-方I的最小值即可.

【解答】解：由题可得，ICl=Ia-6+6-Cil…Ia-6ITb-Cl=Ia-6I-1,所以要求Ia-Cl的最小值，

需求Ia-Al的最小值，因为∣α∣=2,α与b的夹角为工，

3

所以∣α-b∣的最小值为IalSin色=6，所以∣a-C∣鹿∣α-%∣-1√3-l,

3

即Ia-Cl的最小值为G-L

故选：A.

【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题.

13.已知平面向量α,b满足W=W=。〃=2,且(a—c),-C)=0,则∣b+2c∣的最大值是.

【答案】2√7+2.

【分析】由数量积得<“,6>的值，设出a、b、c，得到点C的轨迹方程，

方法1：设出点C的参数坐标，代入转化为求三角函数的最大值即可得结果.

方法2：设出点C的坐标，代入转化为求圆上的点到定点的距离的最大值即可得结果.

【详解】,∙'a∙h=]a∖∖b∖cos<afb>=29Ial=2,∣b∣=2,

1

/.cos<a,b>=—

29

又：<a,b>≡[0,π],

，设α=O4=(2,0),b=OB=Q市),C=OC，则42,0),β(l,√3),

∙/[a-c)(b-C)=O,

Λ(OA-OC)(OB-OC)=O即：CA∙CB=09

:∙CAVCB>

则点C的轨迹是以AB为直径的圆，

又TAB的中点(T考)，半径为；|4阴=；>/(2-1)2+半一6)2二1

22

・•・点C的轨迹方程为：(χ-∣)+(y-^)=l,①

方法1：，设C(3+cosα,避^+sina),

22

贝!|c=OC=(—+cosa,—+sina),

22

6+2c=(4+2cosα,2百+2Sina),

∖b+2c∣=5∕(4+2cosa)2+(2>∕3+2sinα)2=j32+85∕5sinα+16cosα

=丁32+85∕7sin(α+φ),(tanφ=

ʌ∖b+2dmax力32+8l=2√7+2.

故答案为：2√7+2.

方法2：设C(x，y),

则C=OC=(X,y),

∙,.b+2c=(2x+l,2y+V5),

族+2d=J(2x+l)2+(2y+√5)2=J4(x+J?+4(y+等y=2J(x+^)2+(^+ɪ)2

YJ(x+g)2+(y+等)2的几何意义为：①上的点(x,y)与点〃(_g,-#)的距离,

.•小+gy+(y+9)2的最大值为：①的圆心到点M的距离与①的半径之和，

即:J(χ+∙∣y+(y+乎y=^(-∣+ɪ)2+(ɪ+ɪ)ɪ+1=>∕7+1>

∙32C∙LX=2√7+2,

故答案为：2√7+2.

14.已知平面向量α,b-C满足a_Lb,且Ial=W=4,卜+6-c∣=2,则Ia-Cl+2愀的最小值为()

A.4√5B.2√17C.2√5D.√17

【答案】B

【分析】建立直角坐标系，进而可得点C的轨迹，然后根据三角形相似将Ia-Cl+2∣-c∣转为求线段和最

短，然后根据数形结合即得.

【详解】设OA="=(4,0),OB=⅛=(0,4),

则α+6=(4,4),卜+b-c∣=2,

即C在以。(4,4)为圆心，2为半径的圆上，

如图，取E(4,3),则C£)=2DE=2,AD=2CD=4,又NCDE=ZADC,

所以有4D4C〜Z∖Z)CE,所以AC=2CE,

又因为M_Cl=IBq,CI=IACI,

所以Ia-Cl+2∣b-c卜IAq+2,C卜2∣词+2,q≥28E=2√i7.

故选：B.

15.已知平面向量°,b，且口=M=I,α∙6=g,向量C满足k―2a—2闿=卜-4，则，-琲&R)的最

小值为()

A.ʌ/ɜ—1B.∙∖∕2—1C.ʌ/ɜD.>/2

【答案】A

【分析】由已知可求得∣c-2(α+b)∣=l,令/工,流=力，则OO=α+b,从而可得点尸的轨迹

11uniULiuLiLiiIrrI

是以C为圆心，1为半径的圆，OQ=Ab,则C—劝=OP-Oe=QP,然后结合图形可求出卜一用UeR)

的最小值

1

-

121/\

所

为

以

因⅛»

=-Q=----\/∈[

2α12,所以如图,

ff

令总=Z浣J,则Oo=α+b,0C=2(α+)),所以1。4=百，OC=2√3,

因为k_H=∖∣a-2a∙b+b=Jl—2x；+l=1>|c—2«—2⅛∣=∣α-⅛∣,

所以F_W_20=1,即IC-2(a+b)∖=∖,

设OP=c,则点尸的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

11UUUUlflUUUU

令OQ=λb,则C-劝=OP-OQ=QP，

所以当CQ，OQ,且C,P,。三点共线时，|；一44(/IeR)取最小值，

则「一儿力=IoqSin30°-I=百一1,

Imin

故选：A

16.已知平面向量α,b,c两两之间的夹角均相等，且α∙8=-l,b-c=-2>c-a=-3，则,+匕+[=()

A.»B.叵C.巫DT

3366

【答案】B

【分析】根据题意确定向量两两间夹角为整，利用条件求出|前=3,向=gj>=]2,再求∣α+Hc∣的

平方即可得解.

【详解】因为平面向量α,b，C两两之间的夹角均相等，且两两之间的数量积为负数，

所以两两之间的夹角均为m2兀,

→→→—>→→→→→→→→→→→

Iα+⅛+cI2=IαI2+1⅛I2+1CI2+2«•⅛+2⅛-c+2c∙«=|αI2+1⅛I2+1cI2-12-

→→—>—>TT

αz,

∣∣∣∣1X7SilClIClIala,,

上t。。=------------=—1,be=-----------=—2,C-a=-----------=—3

222

-»->Λ―>

则解得IaF=3,∣V=],Ic『=12,

所以「+募。=1,⅛ψ+"+4=叵

故选：B

17已知平面向量〃、b、C满足：α与6的夹角为,,(e-d)∙(e-6)=0,∣α∣+W=2,记M是卜-”q的最大

值，则知的最小值是__________.

【答案】县ɪ

2

【分析】设。A=。,08=6,0C=C,E为AB中点，令IaI=X,出I=y,∣ABI=2r,∣OEI=f,结合图形，利用向量

的线性运算求出M斗|岫UEol+∣EC∣,转化为函数求最小值即可.

【详解】如图，

FA

C_

¼J/：\

(∖t>⅛-x.)

W-----/4~*

设OA=α,08=6,0C=C,E为A8中点，^∖a∖=x,∖b∖=y,∖AB∖=2r,∖0E∖=t,

ɔIT

则NA08=',x+y=2①，

3

—>1—>—>—>—>—>

因为OE=-(OA+OB∖AB=OB-OA,

⅛WOA-OB=IOEI2一;IABi2=—；孙="一户，

f,2_4/

cosZ.AOB=----------------z=>-χy=%2+y2-4r2=4尸=(x+y)2-Λy②，

2xy

由①②得/=1一?，从而』=r2-^~xy=∖-^-xy,xy≡ΦA],

424

因为(e-α)∙(c-8)=0,所以ACl5C,即点C在以AB为直径的圆E上.

∖c-a-b∖^c-{a+b)∖=∖OE+EC-IOE∣=∣EO+EC∖<∖EO∖+∖EC∖,

+

:.M=∖c-a-bImax=IE0∣+1ECI=r+r=Jl-∣xy+J1-；Xy>--^,

当且仅当Ial=IbI=I时，即孙=1时等号成立.

故答案为：走巴

2

18.已知平面向量”∕,c满足：,一可="力+1,同=Id=1,则.-6+目的最小值为_________.

【答案】2√2-l⅛⅛-l+2√2

【分析】建立平面直角坐标系，设OA=α=(l,0),OB=0=(x,y),求出B的轨迹方程，再根据∣3α-6+c∣的

几何意义求其最小值.

【详解】

如图，在平面直角坐标系中，设。4=α=(l,0),OB-b-(x,y),则4(1,O),B(x,y),

22

则α-b=(I-X,-y),∣α-⅛∣=ab+l=>λ∕(x-l)+y=X+lny?=4x,

即8的轨迹为抛物线：V=4x.

设4(3,0),则3α=0A',3d-b=BA'>

设C=AC，∙∙1d=l,故C的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，

Λ∖3a-h+c∖=∖BC∖,可看作抛物线上任意点B到以A(3,0)为圆心，半径为I的圆上任一点C的距离，

22

则IBClNMT=J(X-3)2+y2_[=Λ∕(X-3)+4X-1=√(X-I)+8-1≥2√2-1，当X=I时取等号.

故|a-b+c∣的最小值为2a-1.

故答案为：2&-L

19.已知平面向量°、匕、C满足“∙6=0，卜|=1，卜一。|=|一。|=5,则gα+g^-c的取值范围为____.

【答案】[3,4]

【分析】设C=(1,0),α=(∙η,y),人=(W,%)，作。4=4，OB=b，OC=c，则C(1,0),求出线段AB的

中点M的轨迹方程为(X-gj+y2=?,可得出gα+g匕-C=ICM，设点41，°)，由CM=Z)M-OC结

合向量模的三角不等式可求得;α+g方-C的取值范围.

【详解】如图，设∖=(l,0),I=(XlM,b=(x2,y2),作04=q,OB=b，OC=c，则C(1,O),

222c

贝“以一Cl=(x1-l)+y1=25,∣⅛-c∣=(x2-1)+ʃɔ=25,a!bxλx2+y∣y2=O,

令OM=g(α+B)=(χ,y),即

χ2+,2=(现+々『+(%+%『=X；+)'；+/+£+2(x∣W+X%)=X；+y：+x；+£

ʌ∙v-4-4-4-

[(%_1)~+犬]+[(々-1)2+y1+2(x]+χ)-2

24x+48

x+12,

44

IY249

整理得>5+、=丁

故点M的轨迹方程为[X-g]+y2=?,lα+l⅛-c=∣C>Λ∕-OC∣=∣CΛ∕∣,

设点呜,o）圆。的方程为（x-gj+y2=7,半径为『=|,

因为CM=QM-DC，且PMi=B,pc[=；,

所以，ICM=IOM-oc∣≥WM-pq=3JCM=QM-oq≤QM+p4=4.

即3≤∣CM卜4,即3≤；a+g〃一c≤4.

故去+"-c的取值范围是[3,4].

故答案为：[3,4].

【点睛】关键点点睛：本题考查向量模的最值的求解，对于较为复杂的题型，可以考虑将向量特殊化、坐

标化来处理，利用解析法结合平面几何的相关知识、向量模的三角不等式来求解.

类型三、向量夹角的最值问题

1.已知平面向量a,。，满足M∣=l,<z∙⅛=l,记B与a+〃夹角为6,则COSe的最小值是（）

「夜

ʌ1r√2n2√2

3423

【答案】D

(详解】设W=*,则,+q={(a+/?)?=V<≈2+2a∙h+b=Vl+2+x2=>Jx2+3>

29

COSe=b∙S+b)a∙b+bl÷x(X~+1)ʌ„21，rmι,、1

-ɔɔ，VX+l1=1，则，>1，

‘即+qX・Jx2+3XylXI+3、X2U2+3)

则-2口]+1+ι=-2P-I]+?,.∙.!=L时，-2p]+l+ι取得最大值2,

⑴tQ4)8f4⑺f8

T2√2

CoSe的最小值为勺_亍

8

12.设1=2,W=G若对VxeR,卜+工的卜+“则£与〃的夹角等于()

A.30oB.60oC.120oD.150°

【答案】D

【分析】对∣α+M≥∣α+4两边平方，然后转化为关于X的二次不等式恒成立问题，利用判别式解答即可.

【详解】∣a+Λ⅛∣≥∣tz+⅛∣,设COS,,匕)=：

.∙.|«+x⅛∣≥∣α+⅛∣,

即“+2xa-b+x1b≥a+2a∙b+b,

即4+4√Irf+3χ2≥4+4√¾+3对VXeR恒成立，

即3X2+4√3^-4√3r-3≥0对VXeR恒成立，

.∙.(4√3∕)2-12(-4√3∕-3)≤0,解得”一孝，

即cos(α,"=-*,又0≤(α,b)≤180,

α与匕的夹角等于150°,

故选：D.

13.已知向量d,b满足IaI=4，W=I,且对任意实数X,不等式卜+动即+,恒成立，设α与匕的夹

角为巴则tan29=()

12c124n4

A.-----B.—C.—D.一

5533

【答案】D

【分析】利用平方法，结合平面向量数量积的运算性质和定义，结合一元二次不等式解集的性质、同角的

三角函数关系式、正切的二倍角公式进行求解即可.

【详解】卜+词≥∣<7+⅛∣=><72+2xa∙b+X2h2≥a2+2a∙h+h2nY+26XCOS，一(1+2行cos，)≥0,要想不等

式,+词≥,+∕φ恒成立，

只需A=(2√^cos6)2+4(l+2√^cose)≤()n(√^cose+l)2≤(),而(√^cosO+l)2≥0,

所以(非cos6+1)2=(),即右cos0+1=0=cosθ=一-£,0∈[θ,π],

则有sinθ=JI-COS26=JI-I=,

W

rjτ-CSlne

则有S"=兹

5

2tan-44

所以tan2θ=

l-tan2θT≡4^3

故选：D

2.已知平面向量4,6,满足何=1,且对任意实数为，有1一∕lα∣≥l,设b与b—a夹角为8,则COSe的

的最小值为.

3

答案：一

5

【分析】由题意可设α=(l,O)力=(x,y),由题意求出)J≥1,根据向量的几何意义找到向量力=(χ,y)对应

的点所在的区域，结合向量夹角的含义，找到b与夹角J最大时或夹角无限小时的位置，即可求得答

案.

【详解】由题意可设“=(l,O)∕=(x,y),则匕一九7=(x-Zy),由于对任意实数之，有上一44∣≥l,故

(%—4)2+y2»l恒成立，即分一2x∕L+f+y2-1≥O对任意实数2恒成立，故

Δ=4x2-4(x2+y2-l)≤0,即V≥1,所以向量力=(χ,y)对应的点位于如图所示的直线y=土1外部的

阴影区域内(含边界直线Y=土1),设OA=",OB=b,则A3=〃一。，故NABO=8,

不妨假设向量方=(x,y)对应的点在上部分区域内，则由图可以看到当

y

%=(χ,y)对应的点位于3处，即在直线y=l上，且当OB=AB时,B

八Z

8最大,此时I。41=1,|OBI=IABI=

r'F■

0AX

_______4

33

所以COSNoBA=Cos6=厂厂-,即COSe最小值为一，

2χ乜955

22

由图可以看到，当Jg点沿直线V=I向外运动或在阴影部分中向远处运动时，。可以无限趋近于0,

故COSe<1,因此CoSe的范围是1,1,当3点位于直线V=-I上或丁=一1下方的区域内时，同理可

3

求得COSe的的最小值为1。

15.已知平面单位向量e∣,与满足I2e∣-e?.^a=el+e2,b=3>el+e2,向量α,b的夹角为。，

则cos?。的最小值是生

一29一

【分析】设4、0的夹角为。，由题意求出CoSa

再求〃，。的夹角。的余弦值cos?6的最小值即可.

【解答】解：设q、彩的夹角为α,由q,1为单位向量,满足I2e∣—e2\„∖p2,

.2.，2

所以切-4el∙e2+e2=4—4COSa+L,2,

3

解得COSa；

4

又α=e∣+e2,b=3el+e2,且α,〃的夹角为0,

2..、2

所以a∙h=3q÷4el∙e2+e2=4+4COSa,

2_2

2

a=ei~+2ei∙e2+e2=2÷2cosa,

.2..2

2

b=9e1+6e1∙¾+e2=10+6COSa；

8

贝IJCOS2e=g⅛=(4+4CoSa)2?=4+4CoSa)3

a2×b2(2+2CoSa)(10+6CoSa)5+3CoSa35+3COSa

8

所以CoSa=3时，cos?。取得最小值为3——¼-=-.

435+3χ329

4

故答案为：—.

29

【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，是中档题.

类型四、向量与基本不等式交汇的最值问题

2、在AABC中，点尸满足定=2同，过点P的直线与A8,AC所在直线分别交于点M,M若筋=

mAB,^AN=nAC（m>0,n>0）,则机+2”的最小值为（）

A.3B.4

【答案】A

-A—>—>—>2—>—>1—>2—>I-A2—»

【详解】如图，易知AP=AB+8P=AB÷τ(AC-AB)=可A8AC=τ~AM÷yA∕V.

3ɔJ5n

m,P,/n=,01m2rt+2π

''N三点共线，'标+石=1，•,,3n-2'+=3,z-2~3M—2

2252

τ(3n-2)+τ(3n-2)+τ9∣-1ηs9s

。——荷三一Hh_2)+个［+|2|X2+|=3,

当且仅当(3〃-2)=左二7?，即机=〃=1时等号成立.

(3/7—2)

3.（多选题）ΔABC中，。为AB上一点且满足AO=308,若P为线段CQ上一点，且满足

AP=λAB+μAC（2,4为正实数），则下列结论正确的是（）

13

A.CD=—CA+—CBB.4Λ+3∕∕=2

44

C.的最大值为,D.=+1—的最小值为3

12九3μ

答案：A、D

4

解析：∙.∙AP=2A3+∕∕AC,AD=3DB,：.AP=-ΛAD+μAC,VC,D,P三点共线，

433

+〃=.∙.4∕t+34=3,B错误；CZ)=C4+AO=04+448=C4+z(CB—C4),

13____3

.∖CD^-CA+-CB,A正确；.∙.44+34=3,Λ3>2√12Λχ/,.∙.∕L4≤R,当44=3〃时，等号成

立‘C错误；ɪ+ɪ=(ɪ+τ-)(τ^+^=7+l+λ^^^+7,≥l+2Jλ^-27=3,当2几=3〃时’等

43〃43〃3339/zΛ3∖9μλ

号成立，D正确.

4.在矩形ABC。中，A8=4,A£)=3,M,N分别是48,AD上的动点，且满足2|筋|十|南|=1,设就

-xAM+