二项分布、正太分布及其应用-2023年高考数学一轮复习（全国通用）（解析版）

考向43二项分布、正态分布

及其应用

1.(2021・新高考2卷T6)某物理量的测量结果服从正态分布N(IO,σ∙2),下列结论中不正确的是

A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.b越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

Cb越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.b越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【解析】对于A,σ∙2为数据的方差，所以b越小，数据在M=IO附近越集中，所以测量结果落在

(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大丁-10的概率为0.5,故B正确；

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率

相等，故C正确；

对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次

测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误.

故选：D.

2.(2022•新高考2卷T13)已知随机变量X服从正态分布N(2,σj),且P(2<X,,2.5)=0.36,则

P(X>2.5)=.

【答案】0.14

【解析】由题意可知,P(X>2)=0,5,故P(X>2∙5)=P(X>2)-P(2<X,,2.5)=0.14.

3.(2019•天津・高考真题(理))设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为;.假定甲、

乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

(I)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(H)设例为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数

恰好多2”，求事件M发生的概率.

【答案】(I)见解析；(IDɪ

【分析】(I)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布

的期望公式求解数学期望即可；

(∏)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.

【详解】(I)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为：，

故X~B^3,∙∣J,从面P(XM)=α(∣)(g)(Λ=0,l,2,3).

所以，随机变量X的分布列为:

X0123

1248

P

279927

2

随机变量X的数学期望E(X)=3x§=2.

(H)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为F,则

且M={x=3,y=i}{x=2,y=0}.

由题意知事件｛x=3,y=ι｝与｛x=2,y=o｝互斥,

且事件{X=3}与{y=I},事件{X=2}与{y=0}均相互独立,

从而由(I)知:

P(M)=P({x=3,y=ι}{x=2,y=0})

=P(X=3,y=ι)+p(x=2,y=o)

=P(X=3)产(y=D+p(x=2)p(y=o)

824120

=——X-----1-----X——=---------

279927243,

1.二项分布的均值与方差

(1)如果X〜B(〃，p),则用公式E(X)="；D(X)=叩(I-P)求解，可大大减少计算量.

(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合

应用E(aX+b)^aE(X)+b以及E(X)=np求出E(aX+b),同样还可求出D(aX+b).

2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法

⑴熟记PaLZXq+孙P<4i-2σ<X<μ+2σ),-3KXq+30)的值.

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与X轴之间面积为1.①正态曲线关于直线X=〃对称，从而在关于

对称的区间上概率相等；②P(X<α)=l-P(虺α),P(X<μ-a)=P(X≥μ+a).

1.均值与方差的关系：D(X)=E(X2)-E2(X).

»7ʌ/f

2.超几何分布的均值：若X服从参数为MM,"的超几何分布，则E(X)=

3.若X服从正态分布，即X〜N(∕/,『)，要充分利用正态曲线的关于直线X=〃对称和曲线与X轴之间的面

积为L

1⅛⅛⅛1

一、单选题

1.已知随机变量J服从正态分布N(0,cτ2),若P(4>2)=0.023,则P(-2≤J≤2)=()

A.0.977B.0.954C.0.5D.0.023

【答案】B

【解析】随机变量专服从正态分布N(θ,4),

若P(J>2)=0.023,则依据正态曲线的性质有

P(-2≤⅞≤2)=l-2P(^>2)=l-2×0.023=0.954

故选：B

2.已知随机变量X~N(5Q2),若P(X≥8)=0.36,则P(X>2)=()

A.0.36B.0.18C.0.64D.0.82

【答案】C

【解析】因为X~N(5,4),所以p(χ<2)=P(X≥8)=0.36,所以P(X>2)=0.64.

故选:C.

3.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数,

则D(X)=()

A15-20-25C60

A.—B.—C.—D.—

772149

【答案】D

33

【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为

3+47

因为是有放回的取球，所以X~8

所以O(X)=5χ,x[l-讣称

故选：D

4.若随机变量X~3(3,p),r~7V(2,σ2),若P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,则尸(V>4)=()

A.0.2B.().3C.0.7D.().8

【答案】A

【解析】由题意，P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.657,解得p=0.3,则P(O<Y<2)=0.3,所以

尸(y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0<Yv2)=0.2.

故选：A.

5.高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准

正态分布，即若Z~N(M"),令y=qκ,则y~N(0,i),且P(z≤α)=p(y≤q=w).已知选考物理考

生总分Z的全省平均分为460分，该次考试的标准差b为40,现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成

绩作进一步调研，记/为这30名考生分数超过520分的人数，则尸(f≥D=()

参考数据：若y~N(O,l),则"≤1.5)=0.9332,0.933230≈0.1257.

A.0.8743B.0.1257C.0.9332D.0.0668

【答案】A

52046

【解析】根据题意P(Z≤520)=pfr≤40°]=尸(y≤1∙5)=0.9332

则考生分数超过520分的概率P(Z>520)=l-P(Z≤520)=0.0668

根据题意可得，β(30,0.0668),则P(f≥l)=l-P(f=O)=1-0.9332'°70.8743

故选：A.

6.2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行

数量，发现该站近几天车辆通行数量J〜N(IOoO,/)，若PC>1200)=α,P(800<J<1200)=b,则当

8"26+2”时下列说法正确的是()

1,ɪC,3C,1

ʌ.a——Btλ.b=-C.a+b=-D.Q—b=—

2442

【答案】C

【解析】因J〜N(IOoO且尸e>1200)=α,P(800<J<1200)=5,则有g+。=；,即2α=l-0,

不等式846≥6+24为：4⅛(l-⅛)>1<=>(2⅛-l)2≤0,则A=g,“=；,

31

所以。+力=:，a-b=~,A,B,D均不正确，C正确.

44

故选：C

7.某批零件的尺寸X服从正态分布N(IO,b?),且满足P(x<9)=’,零件的尺寸与IO的误差不超过1即

6

合格，从这批产品中抽取〃件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9,则〃的最小值为()

A.7B.6C.5D.4

【答案】C

【解析】X服从正态分布N(IO,4),且P(X<9)=J,

6

22

.∙.P(9≤X≤11)=?,即每个零件合格的概率为

Jɔ

合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.

1ɔ1

合格零件个数为零个或一个的概率为cθλ∙(∣r+c,l,∙∣∙(∣r',

1711

由C∙(-y+C；-■<0.1,得(2〃+1)•(§)"<0.1,

令f(")=(2"+l)∙(g)"5∈N*),

=∣21∣<1,•.•/(")单调递减，又/(5)<0.1,/(4)>0.1,

j(n)6n+3

不等式(2〃+ɪ).(ɪ)"<0.1的解集为{〃I〃…5,"€N*}..•.〃的最小值为5.

故选：C.

8.设随机变量X,y满足：Y=3X-∖,XB(2,P),若P(X≥l)=j,则。(丫)=()

14

A.3B.-C.4D.一

33

【答案】C

【解析】由于随机变量X满足：X~BQ,p),P(X..1)=∣,

二.P(X=O)=I一P(X..1)=C(I-P)2=t，解得：p=g,即X~8(2,；)

D(X)=IlP(1-p)=2*3X5=3,

又随机变量X,y满足：Y=3X-∖,.∙.D(n=32Z)(X)=4,

故选：C.

二、多选题

9.下列说法其中正确的是()

A.对于回归分析，相关系数厂的绝对值越小，说明拟合效果越好；

B.以模型y=c∙∕去拟合一组数据时，为了求出回归方程,设Z=Iny,将其变换后得到线性方程z=o.3χ+4,

则c,A的值分别是e4和0.3；

C.已知随机变量X~MO,/),若P(因<2)=",则P(χ>2)的值为q；

D.通过回归直线与=%+务及回归系数人可以精确反映变量的取值和变化趋势.

【答案】BC

【解析】对于A,回归分析中，相关系数的绝对值越大，表示线性相关程度越强，所以A错误，

对于B,由y=c∙e"两边取对数得Iny=AX+lnc,设Z=Iny,则z=Ax+lnc,因为Z=O.3x+4，所以

k=0.3,Inc=4,得c=e",所以B正确，

对于C,因为随机变量X~N(002),P(∖X∖<2)=a,所以由正态分布的性质可知，

P(0≤X<2)=∣P(∣X∣<2)=→/,所以P(X>2)=g-P(0≤X<2)=-,所以C正确，

对于D,通过回归直线与=鼠+》及回归系数〃，不能精确反映变量的取值和变化趋势，所以D错误，

故选：BC

10.下列命题中，正确的命题有()

A.已知随机变量X服从正态分布N(2,r√)且P(X<4)=0.9,则尸(0<X<2)=0.3

B.设随机变量X~8(20,3，则。(X)=5

2

C.在抛骰子试验中，事件4={1,2,3,5,6},事件B={2,4,5,6},则P(AlB)=:

D.在线性回归模型中，代表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，F越接近于1,表示回归的效果越

好

【答案】BD

【解析】A：因为X%(2。2)且?《<4)=0.9,所以P(X>4)=l-0.9=0.1,

所以尸(0<X<2)=P(2<X<4)=0∙5-P(X>4)=0.5-0.1=0.4,A错误;

B：因为X~8(20,g),所以O(X)=W(I-P)=20xg*(l-J=5,B正确；

C：由题知，事件AB={2,5,6},所以P(4∣8)=空警=[,C错误；

P(B)4

D：由代的意义可知D正确.

故选：BD

11.给出下列命题，其中错误命题是()

A.若样本数据玉/2，d,(数据各不相同)的平均数为3,则样本数据2Λ,-3,2x2-3,…，2x.-3的平

均数为2

B.随机变量X的方差为D(X)=1,则O(2X+1)=3

C.随机变量X服从正态分布N(2,〃)，P(X>l)=0.72,贝∣JP(2≤X≤3)=O.22

D.随机变量斐~B(4,p),若E⑷=30,O(J)=20,则〃=45

【答案】ABD

【解析】对于选项A,根据EgX+b)=αE(X)+。得：E(2X-3)=2E(X)-3=2x3-3=3,故选项A错误;

对于选项B,根据Z5(4X+b)=/D(X)得：D(2X+1)=4D(X)=4×1=4,故选项B错误；

对于选项C,因为XN(2,〃)，所以P(X>2)=P(X<2)=0.5,又因为P(X>1)=0.72,则

尸(1<X≤2)=0.72—0.5=0.22,由正态分布的对称性可得：P(2≤X≤3)=P(l<X≤2)=0.22,故选项C

正确;

..[E©=叩=30"=90

对于选项D,随机变量48("),根据二项分布的期望和方差公式：居W(JP)=20,解得■p」，

故选项D错误.

故选：ABD

12.已知随机变量XN(θ,F),随机变量FN(l,23,则下列结论正确的是()

A.P(X≤-I)=P(X>I)B.p(y≤—I)=P(y≥3)

C.P(l≤X≤3)<P(l≤y<3)D,P(∣X∣≥2)>P(∣y∣≥3)

【答案】ABC

【解析】因为随机变量XN(Or),所以M=OM=1,

因为随机变量yAf(l,22),所以外=1，%=2,

所以利用正态密度曲线的对称性可得P(X≤T)=P(X≥I),p(y≤-ι)=p(y≥3),故选项A、B正确；

因为P(I≤X≤3)=P(M+5≤X≤Ml+3bJ=09973；0.6827=0[573,

P(l≤y≤3)=P3≤y≤"2+%)=等Z=O.34135,

所以P(l≤X≤3)<P(l≤y≤3),故选项C正确；

因为P(IXl22)=1-P(M-2b∣≤X≤M+2crJ=1_0.9545=0.0455,

P3-2σ∙2≤y44+2∕)+P3-σ2≤y≤4+/)_j_0.6827+0.9545_0⑻4

P(M≥3)=ι-

22

所以P(∣X∣≥2)<P(MN3),故选项D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13.已知某种袋装食品每袋质量X~N(500,16),则随机抽取IOoOo袋这种食品，袋装质量在区间(492,5041

的约袋(质量单位：g).(附：X~N出吟,则P(〃-b<X≤"+b)=0.6827,

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545,P{μ-3cr<X,,//+3b)=0.9973).

【答案】8186

【解析】由题意得:P(5∞-4<X<5∞+4)=0.6827,

P(500-8<X≤5∞÷8)=0.9545,

则尸(492<X≤496)=O∙954510.6827=0」359,

2

故P(492<X≤504)=0.1359+0.6827=0.8186,

则袋装质量在区间(492,504］的约有10000×0.8186=8186袋.

故答案为：8186

14.已知随机变量J~N(〃,/),P(⅞≤4)=lP(⅞>3)=P(3<4≤5)=______.

20

【答案】I

【解析】已知随机变量g~N(〃,/),P(g≤4)=g知4=4,

5119

因为P(3<J≤4)==-;=;,所以P(3<4≤5)=2P(3<g≤4)=77.

6233

故答案为：∙∣.

15.中国光谷(武汉)某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件

按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计

显示：三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,IO2).且各个元件能否正常工作

相互独立.现从这批仪器中随机抽取IOoO台检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立)，那么

这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为台.

【答案】375

【解析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过IOOOO小时的概率为

则部件正常工作超过IOOOO小时的概率为ɪ-fɪlX：=］，

∖ZyZo

3

又I(X)O台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为IOOOXm=375台.

O

故答案为：375.

16.已知随机变量X~8(6,0.8),若P(X=A:)最大，贝∣JL>(∕+1)=.

【答案】24

【解析】由题意知：P(X=A)=C}(0.2)i.(0.8)”,要使P(X=Z)最大，有

C*∙(0.2)6^*∙(0.8)*≥C*^l∙(0.2)7^t∙(0.8)*^l

C*∙(0.2)6^*∙(O.8)*≥C[∣∙(0.2)“∙(O.8)"+∣'

7-k

0.8x丁2O∙228

化简得/,，解得?≤k≤g，故人=5,又O(X)=6x0.8x0.2=0.96,

S2≥0.8χT55

人+1

故。(AX+1)=O(5X+1)=5?Z)(X)=24.

故答案为：24.

四、解答题

17.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随

机抽取了IOO名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：

[40,50),[50,60),[60,70).........[90,100],统计结果如图所示：

(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3

人，记其得分在[90,100]的人数为自，试求《的分布列和数学期望；

(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布

NM"),其中〃近似为样本平均数，(√近似为样本方差S?,经计算S?=42.25.所有参加知识竞赛的2000

名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？

参考数据：P(〃一b<X≤"+b)=0.6827,P(χ∕-2σ<X≤∕z+2σ)=0.9545,

P(μ-2>σ<X≤〃+3b)=0.9974.

【答案】⑴70.5

⑵分布列见解析，E榜)喙

(3)317

【解析】(I)解：由频率分布直方图可得这IOO名学生得分的平均数

X=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×().03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5.

001_

(2)解：参加座谈的11人中，得分在l9°,l0°l的有llx0.03+0.015+0.012人,

所以4的可能取值为0,1,2,

所以「("0)=5=||,尸(攵1)=普L%,p(g=2)=罟=3

所以&的分布列为

4012

28243

P

555555

⑷=OX"+Ix%

v7555555Il

(3)解：由(1)知，X~7V(70.5,6.52),

所以P(X>77)=P(X>〃+er)J-0,27=0.15865.

.∙.f(X)=20∞×0.15865≈317

得分高于77分的人数最有可能是317.

18.某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交

通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等

便民服务措施.为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了Iooo人，做出如下统计表:

出行方式步行骑行自驾公共交通

比例5%25%30%40%

同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所

示：

频率/组距

(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的

人数，求X的分布列和数学期望E(X).

【答案】(l)m=0∙02,中位数为与；

Q

(2)分布列见解析，E(X)=]

oo

【解析】⑴解：依题意可得(S5+°∙°15+m+0.03+0.015+0.01+0.005)xl0=l,解得z77=O.O2,

因为(0.005+0.015+0.02)X10=0.4<0.5,所以中位数为于［30,40),

设中位数为X,则(0.005+0.015+0.02)χl0+(x-30)x0.03=0.5,解得X=与，故这1200名乘客年龄的中

位数为竽

40%=-

(2)解：选择公共交通出行方式的频率为5,

所以X«4,|),则X的可能取值为0、1、2、3、4,

2

所以P(X=O)=C曲，P(X=I)=C

ozɔɔ5

爵

P(X=2)=C>p(χ=3)=q∙

ozɔ

所以X的分布列为:

X01234

812162169616

P

625625625625625

9Q

所以E(X)=4X《=M；

19.教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规

范校外培训(包括线上培训和线下培训).“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某

大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金

额进行了统计整理，其中数据如表.

消费金额(千元)[3,5)W)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15]

人数305060203010

(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入

了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为［9,11)和［11,13)的学员中抽取了5

人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为［11,13)的人数的分布列和数学

期望；

(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N(〃,4),

〃，〃分别为报名前200名学员消费的平均数X以及方差S2(同一区间的花费用区间的中点值替代).

①试估计该机构学员2021年消费金额为［5.2,13.6)的概率(保留一位小数)；

②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为［5.2,13.6)的人数为人求〃的方差.

参考数据：√2≈1.4;若随机变量g~N(4,b),则P(〃_b<g<〃+<r)=0.6827,

P(χ∕-2<τ<<χ∕+2cr)=0.9545,P(<μ-3σ<ξ<μ+3cr)=0.9973.

【答案】(I)X的分布列为：

X123

331

P

Io5To

αiA

E(X)=不⑵①0.8.②六.

2x5=2

【解析】(1)由题意得，抽中的5人中消费金额为［9，11)的人数为^"一，

消费金额为［11/3)的人数为|、5=3,设消费金额为［11/3)的人数为X,则X=l,2,3,

所以P(X=I)=等4,P(X=2)=警=∣,P(X=3)=警4，

所以X的分布列为：

X123

331

P

Io5IO

∕v∖3319

Er7(X)=1IX—+2X—+3X—=—；

'J105105

(2)①山题串得〃=*=4X°.15+6x°.25+8x0.3+l°x°.l+12x°.15+14x0.05=8,

σ■2=(4-8)2χ0.15+(6-8)2χ0.25+(10-8)2χ0.1+(12-8)2χ0.15+(14-8yx0.05=8所以σ=&=2√5z2.8,

所以尸(5.2≤J<13.6)≈P(8-2.8≤Jv8+2χ2.8)=0.4772+0.3413≈0.8.

44116

②由题意及①得〃~B∣4,1J,n=4,P=->所以D(")=""(l-p)=4x］XW=玄.

20.随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增.下表是某口罩厂今年的月份X

与订单y(单位：万元)的几组对应数据：

月份X12345

订单y)2%为%

(1)求、关于尤的线性回归方程，并估计该厂6月份的订单金额.

3

(2)已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为不合格的产

4

品需要更换，用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望.

55

参考数据：∑yf=175,χ^,.=608.

/=1i=l

W(Xi-5)(α-刃

B=U------------------------

参考公式:回归直线的方程是9=3x+d,其中支…

/=I

a=y-bx.

【答案】⑴)=8∙3x+100,59.9万元

⑵分布列见解析，E(X)=I

155___

X=3,y=—Z.=35,ZXjy-5xy=608-3x175=83

【解析】(1)由数据可得5'='I,

5

^X,2=12+22+32+42+52=55,

Z=I

5___

^xiyi-5xy

所以g=∙⅛⅛--------------=——：—=8.3,0=歹一宸=35-8.3x3=10.1,

÷->、-255-5×9

∑x,-5cχ-

J=I

故y关于X的线性回归方程为S)=8.3x+10.1.

当x=6时，>-=8.3×6+10.1=59.9,估计该厂6月份的订单金额为59.9万元.

X

(2)依题意，随机变量X的取值可能为0,1,2,3,4,14

尸(X=D=Mm甯磊;

；P(X=3)=C：≡æ♦

随机变量X的分布列为

X0I234

81272731

P

25664T2864256

故E(X)=4XL1.

4

一、单选题

1.(2022•全国•模拟预测(理))读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2PC7e4.0NMWe

协议的固态硬盘平均读取速度可达7000MB/S以上.某企业生产的该种固态硬盘读取速度(MB/5)服从

正态分布X~N(7400,").若P(7400≤X≤7600)=0.3,则可估计该企业生产的IOOO个该种固态硬盘中读

取速度低于7200MB/S的个数为()

A.100B.200C.300D.400

【答案】B

【解析】由正态分布的对称性可知：Λ72()0≤X≤74(X))=P(74(X)≤X≤7600)=0.3,

所以P(X≤7200)=L3=0.2,

2

所以该企业生产的IoOO个该种固态硬盘中读取速度低于7200MB∕S的个数为IOoOXO.2=200.

故选：B

2.(2022.江苏•南京市第一中学三模)柯西分布(Ca"Mydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分

布.记随机变量X服从柯西分布为X〜C其中当7=/,XO=O时的特例称为标准柯西分布，其概

率密度函数为〃')=乃(］：ν).已知X〜c(ι,o),P(∣X∣≤√3)=∣,P0<X≤6)=g,则P(∣X∣≤1)=

()

1\_

bC.一D.

∙I42

【答案】D

【解析】由题，因为P(IXI≤6)=∣,P(I<X≤6)=∖,

211ɪ

所以P(0<X≤l)=^X5

Vl4

所以P(IXlsi)=2P(o<x≤ι)=;,

故选：D

3.(2022・四川・乐山市教育科学研究所三模(理))2021年冬某地民兵预备役训练，民兵射击成绩(单位:

环)⅞~W(7.6,σ2)(σ>0),P(7∙2<J≤8)=0.68.如果8940名民兵的射击成绩中有"个在区间(7.6,8］上,

则()

A.77~8(8940,0.68)B.77~3(8940,0.34)

C.”N(7.6,〃)D.77~N(7.6,0.34)

【答案】B

【解析】V⅞~N(7.6,σ2)(σ>0),尸(7.2<ξ,,8)=0.68,

.∙.P(7.6<ξ,,8)=0.34,

8940名民兵的射击成绩中有〃个在区间(7.6,8］上,

.∙.η~B(8940,0.34),

故选：B.

4.(2022•内蒙古赤峰•模拟预测(理))某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作

对比.已知这两个班的人数相等，数学成绩均近似服从正态分布，如图所示.其中正态密度函数

(if

1B中的，是正态分布的期望值，b是正态分布的标准差,且P(IX-U≤5卜0.6827,

P(IX-“423)a0.9545,P(IX-U≤35)≈0.9973,则以下结论正确的是()

A.1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高

B.相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大

C.1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%

D.2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等

【答案】D

(x-")2

1的最大值为短

【解析】因为%3=F…所以1班的数学成绩X∣~N(100,25),2班数学成

绩X2~N(102,36),所以1班的数学平均成绩为100,2班的数学平均成绩为102,A错误;

因为1班数学成绩的标准差为5,2班数学成绩的标准差为6,标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越

大，所以B错误；

因为P(XlNIl0)=；(I-P(IX-"425))≈0.02275,所以C错误；

因为P(Xz2114)=;(I-P(IX-"∣≤26))=P(X∣21IO),所以D正确.

故选：D.

5.(2022.广东佛山•三模)高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般

正态分布可以转化为标准正态分布，即若Z~N(4,b2),令y=qw,则y~N(0,i),且

P(Z≤α)=p(y≤∙^).己知选考物理考生总分Z的全省平均分为460分，该次考试的标准差。为40,现

从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记,为这30名考生分数超过520分的人数，则

P(r≥D=()

参考数据：若y~N(0,l),则P(y≤1.5)=0.9332,0.933230≈0.1257.

A.0.8743B.0.1257C.0.9332D.0.0668

【答案】A

(解析】根据题意P(Z≤520)=p(y≤52展60](<).9332

=Pr1-5=0

则考生分数超过520分的概率P(Z>520)=1-P(Z≤520)=0.0668

根据题意可得fβ(30,0.0668),则P(r21)=1-PQ=O)=I-0.9332”>≈0.8743

故选：A.

6.(2021•山东莉泽・二模)下列说法错误的是()

A.用相关指数R?来刻画回归效果，*越小说明拟合效果越好

B.已知随机变量X~X(5Q2),若P(X<1)=0/，则P(X≤9)=0.9

3

C.某人每次投篮的命中率为:，现投篮5次，设投中次数为随机变量八则E(2Y+1)=7

D.对于独立性检验，随机变量K?的观测值火值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大

【答案】A

【解析】对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；

对于B选项,正态分布图像关于x=5对称，因为x<l概率为0.1,所以x>9概率为().1,故x≤9的概率为().9,

故B正确；

对于C选项，服从二项分布丫~《5,|),因此Ea)=3,则E(2Y+1)=7,故C正确；

对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量K?的观测值越小，则分类变量间越有关系的可信

度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确.

故选:A

7.(2022•安徽宣城•二模(理))下列说法：①若随机变量X服从正态分布N(2,4),若P(X<5)=0.8,

则P(-l,,X<2)=0.2;②设某校男生体重y(单位：kg)与身高X(单位：cm)具有线性相关关系，根据一

组样本数据(4X)(i=l,2,,〃)，用最小二乘法建立的回归方程为9=0∙85X-82,若该校某男生的身高为

170cm,则其体重大约为62.5kg；③有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个

白球，4个黑球.现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概

率为1共3，其中正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】对于①，由题意知：〃=2,P(X>-1)=P(X<5)=O.8,又P(X≥2)=0.5,

故P(T,X<2)=0.8-05=0.3,错误;

对于②，当X=I70时，=0.85%-82=0.85×170-82ɪ62.5,正确;

对于③，若从甲中取了2个白球放入乙袋子，从乙袋子中取出白球的概率为圣•今=2，

5joDU

C；C；

若从甲中取了2个黑球放入乙袋子，从乙袋子中取出白球的概率为

若从甲中取了1个白球1个黑球放入乙袋子，从乙袋子中取出白球的概率为Zf5=之,

所以取到白球的概率为Q总1+(+3味=∏今，正确.

故选：C.

8.(2022・福建厦门•模拟预测)我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机

变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量

y~85,p),当〃充分大时，二项随机变量丫可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方

差与二项随机变量y的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了P=；的特殊情形，1812年，拉普拉斯对

一般的P进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超

过60次的概率为()(附：若XN(〃,cP),则p(〃-σ∙≤X4〃+b)*0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,

F(∕z-3σ≤X≤χz+3σ)≈0.9973)

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

【答案】B

【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币IOO次，设硬币正面向上次数为X,则X~B(IOO,;

所以E(X)=叩=IoOXg=50,O(X)=叩(I-P)=IOO