2023-2024学年江西省赣州市湖边中学高三数学理模拟试卷含解析

2023年江西省赣州市湖边中学高三数学理模拟试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.函数’k+4|+卜-二；|的图像关于（）

AX轴对称5了轴对称u原点对称D.直线x-，=°对称

参考答案：

B

2.等差数列｛就满足苏+加+2J的=H,则其前I口项之和为（）.

A.-9B.-15C.15

D.±15

参考答案：

D

略

3.如图，正AABC的中心位于点G（0,1）,A（0,2）,动点P从A点出发沿4ABC的边

界按逆时针方向运动，设旋转的角度/AGP=x（0WxW2n）,向量在“=（L°）方向的

投影为y（0为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（)

参考答案：

C

知识点：函数的图象

解析：设BC边与Y轴交点为M,已知可得GM=0.5,故AM=1.5,正三角形的边长为、5，

拒

tanNBGM=?=J〜

12生

连接BG,可得2,即NBGM=3,所以tan/BGA=3,由图可得当

2pV3

X=亍时，射影为y取到最小值，其大小为-3（BC长为、5）,由此可排除A,B两

个选项；

又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平

缓，由此可以排除D,C是适合的；故选：C.

【思路点拨】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B

时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确

选项.

【典例剖析】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得

出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法.

J+(a+b)x+2,x40

4.若a满足x+lgx=4,b满足x+10'=4,函数f(x)=2,x.：0,则关于x

的方程f(x)=x的解的个数是()

A.1B.2C.3D.4

参考答案：

C

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【专题】计算题.

【分析】先根据a满足x+lgx=4,b满足x+10・4,可得a+b=4,进而可分类求出关于x的

方程f(x)=x的解，从而确定关于x的方程f(x)=x的解的个数.

【解答】解：满足x+lgx=4,b满足x+10=,

**.a,b分别为函数y=4-x与函数y=lgx,y=10'图象交点的横坐标

由于y=x与y=4-x图象交点的横坐标为2,函数y=Igx,y=10"的图象关于y二x对称

a+b=4

，函数f(x)=2,K>°

当xWO时，关于x的方程f(x)=x,即x?+4x+2=x,即x，3x+2=0,

；.x=-2或x=-1,满足题意

当x>0时，关于x的方程f(x)=x,即x=2,满足题意

.••关于x的方程f(x)=x的解的个数是3

故选C.

【点评】本题考查函数与方程的联系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数

的解析式，有一定的综合性.

5.A,B,C,D,E5人争夺一次比赛的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，

若A获奖，8不是第一名，则不同的发奖方式共有()

A.72种B.3O种C.24种D.14种

参考答案:

B

本题主要考查组合的应用及分类加法原理，本题可分两种情况解答，即（1）B获

奖，B获奖可能有C■种，A获奖有乙种，余下一个奖有以种获奖方式，共有

$《$=12种；Q）B不获奖，A获奖方式有6种，余下两个奖的发奖方式有

共有&种，综上知不同的发奖方式共有12+18=30.解答排列组合问题

主要从三个方面考虑：（1）问题的解决是分类还是分步？（2）所在完成的是组合

问题还是排列问题？（3）是利用直接法还是间接法？

2,,x>0

6.已知函数/（x）=；若+/（i）=0,则实数a的值等于（）

A.-

3B.1C.3

D.-1

参考答案:

A

7.已知函数/⑶=有两个极值点，则实数4的取值范围是（)

A（-8,0）BV2JC

（0.1）D（。中）

参考答案：

B

1151

8.已知p：4W2X<2,q：-2Wx+xW_2,则p是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题：简易逻辑.

分析：首先对P，q两个命题进行整理，得到关于X的范围，把两个条件对应的范围进行

比较，得到前者的范围小于后者的范围，即属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定

属于前者，得到结论.

11511

解答：解：p：2,即为-2WxW-l,q：-2Wx+xW-2,即为-2WxW-2

属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，

前者是后者的充分不必要条件，

故选：A

点评：本题考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是对于所给的条

件进行整理，得到两个条件对应的集合的范围的大小，本题是一个基础题

mLZJ

V

9.已知体积为、？的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直

底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为（）

A.3B.3C.1D.3

参考答案：

C

/（x）=

g(x)=倒-2a+2(a>0),

10.已知函数,函数若存

在“，与使得了（xJ=g（X2）成立，则实数a的取值范围（

)

1443

2

2,3C.L3,2JD.L?

参考答案:

A

xe[O,l]0<f(x)<^xe(l1]f(x)=—

试题分析：当2时，6；当2时，X4-1,

/八4x}+6x211

/W=--Tj-AX€(4J]7<f(x)^l

(x+D>0,故函数在2是单调递增，所以6,综上所述:

3

xe(OJ].O<f(x)^l;又xe[O,l]时，2-2a'g(x)S2-铲，则要使存在

覆"月刈，使得〃*）=g⑸成立，则值域交集非空，贝U~2a~且2-2&£1,

14

所以aw2,3

考点：1、导数在单调性上的应用；2、函数的值域；3、集合的运算.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知直线口x+"+c=O与圆。：/+V=1相交于力，3两点，且眼1=有,

贝|）。力,08=

参考答案：

2

~2

12.已知函数/（力」10.,实数加，〃满足Own,且〃■）=/（"）,若/（X）在区间

n

[*,上的最大值是2,则*的值为.

参考答案：

16

【分析】

利用函数的单调性可得|加雨'|=2,或5=2,分别检验两种情况下的最大值是否为2,可

得结论.

【详解】由题意得.•.»«-〃，且0＜府＜1＜・，

又函数〃x)=kH在(°,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数，

...|lnm1=2,或in»=2.

.=-1=1

.•.当|1«X|=2时，〃？■，又HW,.•.〃=e,此时，f(x)在区间［加，m上的最大值为

2,满足条件.

=2hl

当(HR=2时，n=W,m9,此时，f(x)在区间［加2,上的最大值为|J|=4,不

满足条件.

=12=2

^^上，He9ITI"•W,

故答案为」.

【点睛】本题考查了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学

思想，属于中档题.

1"L".T

13.设S"为数列｛〃“｝的前〃项和，已知〜％,则诙=,

Sioo-•

参考答案：

【分析】

1"1n

由已知可得，=2,~4=2",然后利用累加法可求｛斯｝的通项公式；结合以上所求代

1.2++»

入可得s.=5i52",然后利用错位相减可求S,”进而可求Noo.

可得，=2,~4=2",

2L-1--尸）

以上加1个式子相加可得，4=2+22+...+2,,-1=1-2=2"-2,

两式相减可得，2■=!*?**r~2**

w251

故答案为：2°；TP.

【点睛】本题主要考查了累加法求解数列的通项公式及利用错位相减求解数列的和，注意

仔细审题，认真计算，属中档题.

14.已知等差数列其前“项和为％，%24,，=2,则&=

参考答案：

265

~2~

15.若对任意X€4，y^B,（上、3qR）有唯一确定的/（xj）与之对应，称

为关于X、了的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数/（x，J）为关于实数X、7的

广义“距离”：

（1）非负性：当且仅当x=）'时取等号；

（2）对称性：/3Q=/（¥*）；

（3）三角形不等式：,/（工川对任意的实数z均成立.

今给出个二元函数：①/（x，F）=|xy\；②③

④/8y）=疝”一了）.则能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的所有序号是

参考答案：

①

略

16.

已知函数）'=/5）是定义在R上的增函数，函数）':/5一：）图象关于点a,0）对称，若对任

意的“©衣,不等式/（/-6x+2l）+/6-81y）<0恒成立，则当x>3时，的取值

范围是.

参考答案：

(13,49)

17.在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个

球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是▲.

参考答案：

13

28

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分10分）选修4——5：不等式证明选讲

已知A4AC中，角/、8、C所对的边长依次为a、b、c.

f巴士竺w卫

（i）当c=亏时，证明：）a~1.

（n）证明：c）（b+c哄：+*与

参考答案：

当y时,

证明：（I）

-2xx4ir3.__ir4w、3,.〜14.3B4人

=———+———(xd+—«—)=—+—♦=—(S-fr—+J

3ABlxAB2ABI,AB

〜、

左3(„"2匕»x44/=亍27

R4A

当且仅当幺-S即当时等号，成立.5分

(ID在中，a+fr-o^A+c-a>0,r+a-h>0

a)W(

由均值定理得①（当a=c时取等号）；

同理可得O+c-aXc.a与4/②(当a=8时取等号)；

(c+a-6Xa+&-c)4/③(当b=c时取等号).

由①、②、③得gM'2Ka+b-cXb+c-aXc+a-b)11,

又士>Q(a+b-。地+c-或c+a-@>00•A(a+b-cXb+c-欧c+a-协

当4=6=6时等号成

立.

……10分

19.（本小题满分14分）

设椭圆『3-（a>j3）的右焦点为尸，右顶点为/,已知

113・

-----+-----=-----

1所1\FA\,其中O为原点，&为椭圆的离心率.

（I）求椭圆的方程；

（II）设过点/的直线।与椭圆交于点笈（万不在工轴上），垂直于।的直线与"交于点

M,与V轴交于点H,若M1M,且NMM4NM1O,求直线I的斜率的取值范围.

参考答案：

11V113c

-----\-----=------♦—=-------

试题解析：（I）解：设网C,0）,由l"l1^1I屈<1,即ca4»c）,可得

〃一/=3寸，又〃一寸=扶=3,所以。2=1,因此〃=4.

所以，椭圆的方程为43

（ID解：设直线，的斜率为大（*=0）,则直线，的方程为y二M工一2）.设仪、•“）,

由方程组消去〉，整理得（金+9/-】版1+1版一】2=0

*-68*'-6-12*

•yr=Jr*=y=—

解得x=2,或一做'+3,由题意得4*'+3,从而‘4M+3

9-仅’12A

由（I）知，尸ao）,设“◎〃），有丽=（5）,*

9-4V12Av_c9-4必

BFLHF,得M师=0,所以低'+3妹'+3,解得12k.因此直线

19・止

jr=-一*«-------

皿的方程为*124.

•_19-4k5

y~~*X+12420fc，+9

设如)，由方程组1，:必工一勾消去丁，解得'】即'+D.在AMO

中ZMQA<ZMAO^\MA^MO\,即(B球+届4埼♦d,化简得R”，即

而20不i'+之91i<-2^承k』X

1期+D,解得4或4

G™.--—1U[—.+8)

所以，直线।的斜率的取值范围为44

20.(本小题满分8分)如图所示，在三棱锥P-ABC中，E、F分别为AC、BC的中点。

(1)证明：斯〃平面R西;

(2)若PA=PB,U4=C5,求证：AB1PCO

参考答案:

(1)；E、F分别是AC、BC的中点,

/.EF//AB,

1分

又EF<Z平面PAB,

2分

AB仁平面PAB,

3分

，EF〃平面PAB,八

.....................................................................................................4分

(2)取的中点0,连结OP、0C,

VPA=PB,

.......................................5分

又；CA=CB,...<8*L0C；

............................................................................6分

又尸cOC=O.•.aBJ•平面FCC-、

'...................................................................7分

又「PCu平面FOC,.・.ABIPC.。公

...............................................................8分

21.已知函数"力=**1*工+。其中mN1

(1)设X=O是函数/W的极值点，讨论函数/口)的单调性；

(2)若/=门方有两个不同的零点W和巧，且&<°<5,

(i)求参数机的取值范围；

(ii)求证：-f-h(巧-不«>•一】，

参考答案：

(1)见解析；(2)(i)(ii)见解析.

【分析】

/•(o)=i-A=o

(1)求函数导数，由"»可得解，进而得单调区间；

(2)(i)分析函数导数可得函数单调性，结合-〃寸I*®,所

以〃。)=1-上“<0,可得解；

(ii)先证当■=3时，若〃x)==-・(x+•)=♦,得存在〃Q=〃0)=0,进而证

。<一］,再证■>♦时，《<一】，可得,=亏一构造函数坳=/-hQ+D,利用

函数单调性即可证得.

/・«)=/_」_

【详解】(1)x\m,

若工=0是函数/(X)的极值点，则一'三一°,得》R=1,经检验满足题意，

r（x）=/一士r（目为增函数，

此时x+‘

所以当单调递减;

3乂XW（P.2）JY©＞0单调递增

/.(X一京,

(2)(i)"»N1,

,、A'（x）=/+―,＞0

记人（工）=，1工），则（*+«"）

知/'（X）在区间（WB）内单调递增.

/,（o）=i-^＞o/・（_.+1）=e一i＜o

.•.尸（9在区间（1R°）内存在唯一的零点、，

-----=0=---./.、

即,于是巧.癖，％=*（勺+"0

当•F＜x＜q时，，3＜0J（K）单调递减；

当万＞3时，/y）＞。，/（«）单调递增.

若/=/＜丹有两个不同的零点凝和巧，且天＜°＜5,

易知XTTMXX）T9.XT2JU）TY＞,所以/!他）・1-.・＜。，解得m

（ii）当a=♦时有“*）=/一*+电令

由⑴中的单调性知，存在〃Q=/W=0,当xc(巧.。工/(@<0.

!y!_jai7=ln正VO,.

•2