天津大学附属中学2022-2023学年高三年级上册期末数学试题（解析版）

天津大学附属中学2022-2023学年第一学期高三年级期末考试

数学学科试卷

2022年12月26日

注意事项：

一、本试卷分为第1卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时

120分钟.

二、答卷前请务必将个人信息填写在答题卡和答题纸密封线内的相应位置.

三、选择题答案请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂：非选择题请用蓝、黑色墨水的钢笔

或签字笔将答案填写在答题卡的相应位置.在试卷或其它位置作答无效！

项目第回卷第II卷总分

成绩

一、单选题(本大题共9小题，共45.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4=b1，=2'—1,.母，5=—2<0},则

A.-IGAB.有定BC.Ac(CM)=AD.AuB=A

【答案】D

【解析】

【详解】分析：利用指数函数的性质化简集合A,利用一元二次不等式的解法化简集合8,逐一验证选项

即可.

详解：A=^y\y=2x-\,x^R^={,»—“=(—1,+°0)，

5={x|X2-x-2<0}={x|—1<x<2}=(—1,2),

AB=A,故选D.

点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求

补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间

的交汇.

2.设xeH,则“炉一5万<0”是“|x—1|<1"的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】化简不等式，可知0<x<5推不出|无—1|<1；

由|九一<1能推出0<尤<5,

故"炉一5x<0”是“|x—1|<1"的必要不充分条件,

故选B.

【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.

3.为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行

体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成6组：第一组［30,40),第二组［40,50),第三组

［50,60),第四组［60,70),第五组［70,80),第六组［80,90］,经整理得到如图的频率分布直方图，则可

以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为()

频率

0.03.......................

0.02...............

a--------------------------

0.01-1.....................................

O30405060708090时间/分钟

A.42.5分钟B.45.5分钟

C.47.5分钟D.50分钟

【答案】C

【解析】

【分析】由频率之和为1求出。=0.015,利用求百分位数的公式进行求解.

【详解】由频率之和为1得：10(0.01+0.02+0.03+2。+0.01)=1,

解得：a=0.015,

由10x0.01=0.1<0.25,10x0.01+10x0.02=0.3>0.25,

故第25百分位数位于［40,50)内，

则第25百分位数为40+臀察xl0=47.5,

0.3-0.1

可以估计该地区学生每天体育活动时的第25百分位数约为47.5

故选：C

0205

4.已知a=log050.2,b=O,5，c=O,2，则。，b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】通过指、对、塞函数的单调性即可得到结论.

【详解】log050.2>log050.5=1,：.a>l,

又c=O,205<O,20-2<0.2°=1，1=0.5°>b=O.502>O,202，

:.a>b>c.

故选：A.

【解析】

【分析】由题意，函数/W的解析式，可判定函数为/*)为偶函数，排除A、B项，又由/(?)<0,可排

除D项，即可得到答案.

2

【详解】由题意，函数/(X),满足/(-x)=~(-x)-(-尤)sin(-x)=g尤2-尤sinx=f(x),

即/(—x)=/(x)，XGR,得函数/(九)是偶函数，其图象关于>轴对称，排除A、B项；

,r\1/兀、2兀1TC1.711、„,,,口人

又由/(二)二7*(7)X—=—X—x(--I)<0,排除D,

62662626

故可能的图象为C,故选C.

【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的基本性质，利用函数的单调

性和奇偶性，进行排除选项是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础

题.

6.若所有棱长都是3的直三棱柱A3C-4与G的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）

A.121B.18%C.2UD.39兀

【答案】C

【解析】

【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积.

【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离

2

为：-A3-f-T-A/3；所以外接球的半径为：J（百/+臼=^.

所以外接球的表面积为:

故选：C

【点睛】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间

想象能力，计算能力.

7.已知〃同=$皿8+夕）（0>0,闸<3图象相邻的两条对称轴的距离为2»，将函数y=/（x）的图象向

左平移m个单位长度后，得到的图象关于〉轴对称，给出下列命题：

①函数"X）的图象关于直线x对称；

②函数小）在-上单调递增；

③函数“X）的图象关于点［-斗,o］对称.

其中正确的命题个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦型函数的基本性质以及函数图象变换求出函数7（%）的解析式，利用正弦型函数的对称

性可判断①③的正误，利用正弦型函数的单调性可判断②的正误.

241

【详解】由题意可知，函数“X)的最小正周期为丁=4%=——，可得°=彳，则〃x)=sinM，

CD2

将函数7(%)的图象向左平移事个单位长度后，得到函数g(x)=sint[x+?]+0=sinQx+^9+^

的图象，

由于函数g(x)的图象关于>轴对称，则0+工=左乃+工(左eZ),解得夕=左乃+至(左eZ),

623

X71

一冗彳<"<彳兀，"=£71，所匚匕以2，/r((x)\=si-n\-+,-.\

乙乙3\乙DJ

所以，函数了(%)的图象关于直线x=。对称，①正确;

7171717〃

对于②，当XC时,—<—x-\——<——

6-2312

所以，函数/(%)在/%上不单调，②错误;

所以，函数/(%)的图象关于点1刀]对称，③正确.

故选：C.

【点睛】思路点睛：二角函数图象与性质问题的求解思路:

(1)将函数解析式变形为y=Asin(a>x+cp)+B(^a>>0)ngy=Acos(a>x+<p)+B^a>>0)的形式；

(2)将。龙+0看成一个整体；

(3)借助正弦函数y=sinx或余弦函数y=cosx的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称

性、单调性等)解决相关问题.

8.双曲线--匕=1(加〃/0)离心率为2,有一个焦点与抛物线V=4x的焦点重合，则如,的值为()

mn

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得出关于以〃的方程化简求值即可得出结果.

【详解】解:由题知，双曲线离心率为2,即c=2a,

:.a2+b'=4",

3a2=b~,3m=n,

抛物线V=4x的焦点为(1,0),

c—l,a^+b2—l,m+n—l,

3m=n,m+n—1,

133

m=一,n=—,mn=—

4416

故选:A

9.已知log23=m,log37=〃，则log4256=()

m+n+3

2m+n+lmn+m+lmn—m+1

【答案】C

【解析】

【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.

【详解】由换底公式得：Iog27=log23」og37=〃7",log72=」一

log4256=log427x8=log427+log428,其中

*7=

log7421+log76l+log72+log731111mn+m+1，

mnn

log428=31og422=

log242log26+log271+m+mn

log56=-------1-------=-------

42mn+m+1\+m+mnmn+m+1

故选：c

二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)

10.已知复数z满足z-(l+i)=|l+i|,则2=-------

【答案】走―受i

22

【解析】

【分析】利用复数的模长公式以及复数的除法化简可得复数Z.

【详解】因为z・(l+i)=|l+i|=Jl+I=形,则z=

v711l+i(l+i)(l-i)22

故答案为：叵一旦.

【解析】

【分析】首先写出通项公式，再根据指定项求「，最后代入「求含V的系数.

【详解】—的展开式的通项公式(M=C>x6f(―5J=C〉(-3丫1亨，

令6—3=3,丫=2,所以V的系数是C〉(—3)2=135.

故答案为：135

•JT

12.过点(1,0),倾斜角为a的直线/交圆(X—1)2+0—2)2=4于A,B两点，则弦A3的长为_________

【答案】272；

【解析】

2

【分析】首先根据题意写出直线方程，求出圆心到直线的距离,再利用\AB\=2ylr--d计算弦长即可.

【详解】由题知：直线/：y=x-l,即x—y—1=。，

圆(x—iy+(y—2>=4,圆心(L2),半径r=2.

圆心(L2)到直线x—y—1=。的距离=

V2

所以AB=2,产一/=274-2=272.

故答案为：2夜

【点睛】本题主要考查直线与圆截得弦长问题，同时考查了直线方程的点斜式，属于简单题.

13.甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和加个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸

得白球个数为X.若E（X）=|,则帆=,P（X=2）=.

54

【答案】①.2—

125

【解析】

【分析】根据已知可得X〜由E（X）=g得m=2；由此可以得到P（X=2）的值.

【详解】甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和加个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，

记摸得白球个数为X,则乂〜台仁,二二］,

1m+3）

o3Q

・・・E（X）=—,・・.£（X）=3x-------,:.m=2,

v75v7m+35

54

故答案为：2；.

125

14.当a>0且awl时，函数/（x）=loga（x—l）+l的图像恒过点A,若点A在直线如一y+“=。上，

则4m+2"的最小值为.

【答案】2夜

【解析】

【详解】试题分析：由题意知函数；=过点二二

所以二3：-1：=1

二4、+八274'x2'=272^=2>/2

所以.丁的最小值为.

考点：对数函数图像及其性质；基本不等式.

15.如图，在等腰ABC中，AB=AC=3,D,E与M,N分别是AB,AC的三等分点，且

DNME=—1，贝hanA=,ABBC=.

A

418

【答案】①.一②.一一

35

【解析】

【分析】

ON,ME用基底AB,AC表示，根据已知求出cosA,进而求出tanA,再将用基底AB,AC表示，即

可求出

【详解】DN=AN-AD=-AC--AB,

33

ME=AE-AM=-AB--AC,

33

:.DN-ME=^AC-^AB^-^AB-^AC^

52222

=-ABAC——AB——AC=5cosA-4=-l

999

cosA=—,0<A<—,sinA—Jl—cos~A——,

525

sinA4

tanA=-----二—,

cosA3

-2

:.ABBC=AB(AC-AB)=ABAC-AB

23_2_18

—3x3x—3-----.

55

故答案为：—;―--.

35

【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，也考查了计算求解能力，属于基础题.

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为b,c,b—2y/1,c=2,B=—.

3

(1)求〃的值;

(2)求sinA；

(3)求sinCB—2⑷的值

【答案】(1)a=6

力.3VH

(2)sinA=----

14

(3)—空

14

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理列方程，化简求得。的值.

(2)利用正弦定理求得sinA.

(3)利用余弦定理求得cosA,结合二倍角公式以及两角差的正弦公式求得正确答案.

【小问1详解】

由余弦定理得加=a?+c?—2accos3，

整理得2。—24=0，解得。=6.

小问2详解】

DAX

由正弦定理得ab,“asinBV3630T.

,sinA=------=3=—产=--------

sinAsinBb2772s14

【小问3详解】

7724M_228+4-36_币

由余弦定理得cosA=—~—

2bc2X2A/7X2-14

3G

所以sin2A=2sinAcosA=2x

IT

cos2A=2cos2A-l-2xT=41

所以sin（5—2A）=sinBcos2A—cosBsin2A

17.如图，在四棱锥E—AfiCD中，平面ABCD1平面ABE,AB//DC,ABIBC,

AB=2BC=2CD=2,AE=5E=J?，点M为鹿的中点.

D

(1)求证：CM〃平面ADE；

(2)求平面EB£）与平面6Z）C夹角的正弦值;

(3)N为线段A£）的中点，求直线与平面£»£）所成的角正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵手

⑶-

9

【解析】

【分析】（1）取AE中点G,连接GM,GD,证明MGDC是平行四边形，得CMUDG,从而得线面

平行；

（2）取A3中点产，连接EF,CF,CF交BD于点0,连接0E,证明NEOC是二面角E—5D—C

的平面角，然后求出此角（或NEOF）的正弦值即可得；

（3）以产为原点，FE、FB、ED所在的直线为不外丁轴的正方向建立空间直角坐标系，

求出M0、平面BED的一个法向量坐标，利用线面角的向量求法可得答案.

【小问1详解】

取AE中点G,连接GM,GD,如图，

因为M是您中点，则MG//A5且MG=！A3,又ABIICD,AB=2CD,

2

所以MG//CD且MG=CD,所以MGDC是平行四边形，

所以。W//DG,DGu平面ADE,。/仁平面ADE，所以。欣〃平面ADE；

【小问2详解】

取AB中点尸，连接班;。尸，CF交BD于点、0,连接。£,

由已知AB//DC,ABJ.BC,AB=2CD,得CDEB是正方形，

CF±BD,EA=EB,则EFLAB,

因为平面ABCDl平面ABE,平面A5CDC平面=AB，E/u平面ME,

所以即上平面ABCD,又BDu平面ABCD,所以EFLBD,

又BD工FC,EF\CF=F,E”bu平面£。尸，所以班＞/平面ECF,

又OEu平面8b,所以BDLOE,

所以NEOC是二面角E—班＞—C的平面角，

又0F:号,EF=J阴―二=2,

s"EOF晦=金=当

所以OE=V<9F2+EF2=J；+4=孚

2

sinZEOF=^-

sinZ.EOC=sin(7i-ZEOF)=

3

所以平面EBD与平面BDC夹角的正弦值为巫

3

【小问3详解】

以厂为原点，FE、FB、FD方向为&V、V轴的正方向建立空间直角坐标系，

则产(0,0,0),£(2,0,0),5(0,1,0),£>(0,0,1),

所以。£=(2,0,—1),DB=(O,l,-l),W=,

设平面BE。的一个法向量为〃=(x,y,z),

DEn=02x-z=0

所以《即《令z=2，则x=l,y=2,

DBn=0y-z=0

所以〃=(1,2,2),设直线MN与平面£8。所成的角为8,

NM-n1+2-14

NM^n的』+1+：§

4

所以直线MN与平面EBD所成的角正弦值为

18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：与+3=1（。〉6〉0）长轴是短轴的、历倍，点（2,1）在椭

a~b’

圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线/与圆O：/+>2=2相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P,。两点.

①求证：以P。为直径的圆经过原点O；

②若△OPQ的面积为华,求直线I的方程.

【答案】（1）三+汇=1；（2）①证明见解析，@y=-V2x+V6^y=

6342

【解析】

分析】

（1）由题意，列出方程组，求得的值，进而得到方程；

（2）①直线P。的方程为'=依+机，联立方程，根据韦达定理，计算出OPOQ=0,可得

ZPOQ=90°,即以P。为直径的圆过原点。；

②根据弦长公式，三角形的面积公式，列出方程，求得上的值，即可求得直线分方程.

【详解】（1）由题意椭圆C长轴是短轴的&倍，点（2,1）在椭圆C上，

a=y/2b

22

可得《a2=从+。2,解得八6,*3,所以椭圆。的方程%+?=L

431

（2）①因为切点在第一象限，直线的斜率存在,

不妨设直线的方程为、=履+m，即而—y+机=0,且左<0,m>0,

ImIrr

因为直线与圆相切，所以―/~宁=，2,即根2=2左2+2,

Jl+%2

kx-y+m-Q

联立?,得（1+2左2）炉+4^n¥+2苏一6=0,

x+2y=6

4km2m2—6

设P（七,%），。（%2，%），则有芯+%2=-

2

所以丹%=（近1+机）（近2+机）=k~xxx2+km（Xi+%2）+m

2k2m2-6k24k2m2m2-6k2

二----------------------1-m2二--------,

2

1+2Vl+2k1+242

2m2-6m2-6k23（加2-2）-6左2

所以OP-OQ=石々+y^2

1+2左21+2左21+2/

所以OPLOQ,即NPOQ=90。，即以尸。为直径的圆过原点。.

2

②由①可得芯+%=-[4黑2,x,x=——m=2k+2

1+2k21+2k

2立,1+父,442+1

所以IPQ|=4+左2处苞4々2

X[X2=

1+2左2

点。到直线尸。的距离为近，

可彳》40"里严考,解得或

当上2=2时，zn2=8)当左?=』时，m2=—,

84

所以左=—y/2>m—y/6，或左=—，m=，

42

则直线方程为y=—岳+痣或y=—孝工+|.

【点睛】对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线的方程，应用一

元二次方程根与系数的关系进行转化求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较

好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力.

19.已知等差数列｛4｝前几项和为S"("eN+),数列｛2｝是等比数列，%=3,仇=1,b2+S2=10,

a5-2b2=%.

(1)求数列｛%,｝和｛2｝的通项公式;

r人2，〃为奇数

(2)若c“=S”，设数列｛%｝前几项和为北，求

2aMp〃为偶数

1

【答案】⑴an=2n+l,bn=2"-,

f2n12n—l.4

(2)T.=-------+---------4n,,++]1+-

2n+l99

【解析】

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列｛或｝的公比为4,然后由已知条件列方程组可求出d

和4,从而可求出数列｛4｝和｛2｝的通项公式;

2211

⑵由（1）可知当，为奇数时，L£=而与二不小’当〃为偶数时，

cn=2a“b“=（2/?+l）2n,然后分奇偶项求解即可.

【小问1详解】

设等差数列｛«„｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为q,

因为。1=3,4=1,/?2+S2=10,a5-2b2=a3,

q+3+3+d=10

所以解得q=d=2,

3+4d-2q=3+2d

所以4=q+(〃—l)d=3+2(〃-1)=2〃+1,

仇=如1=2"7

【小问2详解】

由(1)得1)d-3n+n(n-1)="+2〃,

2_2_1_1

当〃为奇数时，G

Sn〃(〃+2)n〃+2

当〃为偶数时，。〃=2%2=(2〃+1)2〃,

所以=。+。2+G+…+。2〃-1+C2n

=(q+c3+---+c2n_!)+(c2+c4+---+c2n)

令A=q+q+…+弓"_1，4=c2+c4+---+c2n,

1

则

42n+l

_11_2〃

2n+l2n+l

=Q+Q+…+=5x22+9x24+13x26+…+(4〃-3)22〃-2+(4〃+I)22〃，

所以22纥=5X24+9X26+13X28+…+(4〃-3)22n+(4n+l)22n+2,

所以—3纥=2~+4(22+24+26+---+22n)-(4n+l)2ln+2

=4+4*4(