江苏省启东市2021年高一下学期《数学》期中试卷

南通市启东市2021年高一下学期《数学》期中试卷一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．＝（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i2．函数f（x）＝cos2x的最小正周期为（）A．2 B．4 C．2π D．4π3．设向量＝（1，﹣1），＝（m，2m﹣3），若⊥（+），则m＝（）A． B．1 C．3 D．54．某海域有A，B，C三座小岛，经测量，B岛在A岛的正东方向，且距离A岛10海里处，C岛在A岛的北偏西30°方向，且距离A岛20海里处，则B，C两座小岛间的距离为（）A．10海里 B．10海里 C．10海里 D．10海里5．在△ABC中，若cos（2B+C）+cosC＞0，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能6．瑞士数学家莱昂哈德•欧拉于1748年提出了著名的公式：eix＝cosx+isinx，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，|e2i﹣1|＝（）A．cos2 B．sin2 C．2sin1 D．2cos17．设a＝sin250°，b＝﹣cos50°，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b8．设点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，向量绕着O点顺时针方向旋转θ后得到，则A′的坐标为（）A．（acosθ﹣bsinθ，asinθ+bcosθ） B．（acosθ+bsinθ，bcosθ﹣asinθ） C．（asinθ+bcosθ，acosθ﹣bsinθ） D．（bcosθ﹣asinθ，bsinθ+acosθ）二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设复数z1，z2满足z2≠0，且|z1|＝2|z2|，则z1可以是（）A． B．4i C． D．2﹣2i10．已知函数f（x）＝cosx﹣sinx，则（）A．函数f（x）的最大值为2 B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称 C．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称 D．函数f（x）在区间（）上单调递增11．已知P为△ABC所在平面内的点，则下列说法正确的是（）A．若2＝﹣，则P为AB的中点 B．若++＝，则P为△ABC的重心 C．若＝，则P为△ABC的垂心 D．若+2+3＝，则P在△ABC的中位线上12．由倍角公式cos2x＝2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n（n∈N*）次多项式Pn（t）＝a0tn+a1tn﹣1+a2tn﹣2+…+an（a0，a1，a2…an∈R），使得cosnx＝Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A．P3（t）＝﹣4t3+3t B．P4（t）＝8t4﹣8t2+1 C．sin18 D．cos18°＝三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝，cosA＝，则sinC＝．14．已知方程x2﹣4x+b＝0在复数集范围内的一个虚根为2+i，则实数b＝．15．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF所在平面内的一点，若点P与点D重合，则＝；当点P满足时，＝12．（注：第二空填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）16．已知tanα，tanβ是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，有以下四个命题：甲：b：a＝5：3；乙：c：a＝7：3；丙：tan（α+β）＝﹣；丁：＝．如果只有一个假命题，则该命题是．四、解答题本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）若复数z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z满足z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），求复数z．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+c）（a﹣c）＝b（b+c）．（1）求角A的大小；（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且_____，求线段AD的长．①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③AD是△ABC的角平分线．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥BD，△BCD是边长为3的等边三角形，点E在BD边上．设＝x+y．（1）证明：x+y＝1；（2）若x＝，求的值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于点A，B．（1）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ：（2）设α＝，cos（α﹣β）＝，求sin2β的值．21．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx﹣．（1）若f（）＝，且α∈（0，），求sinα的值；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（）＝﹣，求的取值范围．22．已知sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝