高考数学复习资料：7 统计与概率（理科）解答题30题 学生版

专题7统计与概率（理科）解答题30题

1.（江西省丰城中学2023届高三下学期入学考试数学（理）试题）某校在2018年11

月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析,结果这50名

同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组,第一组[80,90）,

第二组[90,100）,.一第六组[130,140],得到如图所示的频率分布直方图.

t频率

组距

0.03-------------------

0.024------------I

0.016---------------------------------

OvSO~90100110120130140^^⅛

（1）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；

（2）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人,该3人在130分（含

130分）以上的人数记为,求X的分布列和期望.

2.（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（理）试题）某班50位学生期中考试

数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是：[40,50）,[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100].

频率

8概

0.018

0.006

IVN-------------------------------->

O405060708090100成绩

（1）求图中X的值和学生成绩的中位数；

（2）从成绩低于60分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在50分以下的人数记为X,

求X的分布列与数学期望.

3.（贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题）2022年9月

3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居家学习，为了监测居

家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体成绩相

较疫情前的成绩有明显下降，为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问

卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的

学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”(每天使用手机娱乐2个小时以上)的

学生.

(1)根据以上信息，完成下面的2x2列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下降”与

“长时间使用手机娱乐”有关？

长时间使用手机娱乐非长时间使用手机娱乐合计

成绩下降

成绩未下降

合计90200

(2)在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人,现

从“长时间使用手机娱乐''且"成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6

人中随机抽取3人访该，记被抽取到的3名学生中女生人数为X,求X的分布列和数学

期望E(X).

1

参考公式：K=------——-----------,其中〃=Q+6+C+1.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P(κ2>k.)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

402.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

4.(河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题)某学

校组织学生观看了“天宫课堂”第二课的直播后，极大地激发了学生学习科学知识的兴趣,

提高了学生学习的积极性，特别是对实验操作的研究与探究.现有某化学兴趣小组的同

学在老师的指导下，开展了某项化学实验操作，为了解实验效度与实验中原料A的消耗

量(单位：g)的关系，该校实验员随机选取了10个小组的实验数据如下表.

小组编号i123456789IO

计

实验效度工0.50.60.50.70.80.60.60.80.50.46

原料A的消耗量

1.31.31.31.61.81.51.51.71.61.415

M/g

10IOIO

并计算得∑X：=3.76,Z炉=22.78,ZXM=9.16.

/=1/=1/=1

⑴求这10个小组的实验效度与实验中原料A的消耗量的平均值；

（2）求这10个小组的实验效度与实验中原料A的消耗量的相关系数（精确到0.01）；

（3）经该校实验员统计，以往一个学年各种实验中需用到原料A的实验有200次左右.假

设在一定的范围内，每次实验中原料A的消耗量与实验效度近似成正比，其比例系数可

近似为样本中相应的平均值的比值.根据要求，实验效度平均值需达到0∙8.请根据上述数

据信息，估计该校本学年原料A的消耗量.

∑(¾-^)(Λ∙-7)

r=-j=5≡S-------------∙,√7≈2.65

22

J∑(χi-χ)∑(yl-y)

附：相关系数Vz=I泊

5.（河南省平许济洛2022-2023学年高三第二次质量检测理科数学试题）相关统计数据

显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%,城乡居民达到《国民体质测定标准》

合格以上的人数比例达到90%以上.某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成

如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身

若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以

±）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下

的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人''中有I是“年轻人”.

6

（1）现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下

方2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？

年轻人非年轻人合计

健身达人

健身爱好

者

合计

附:

P(κ2≥kJ0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

κιn［ad-bc)_______

(α+6)(c+d)(α+c)(b+d)

(2)将(1)中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3

名会员中既是“年轻人'’又是“健身达人”的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

6.(河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试理科数学试题)某出租车

公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平

两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与

性别的2x2列联表和服务水平评分的频率分布直力图如下，已知所有驾驶员的服务水平

评分均在区间［76,100］内.

驾驶技术优秀非常优秀

男2545

女525

(1)判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关;

⑵从服务水平评分在区间［88,92),［92,96),［96,100］内的驾驶员中用分层抽样的方法抽

取12人，再从这12人中随机抽取4人，记X为4人中评分落在区间［92,96)内的人数,

求X的分布列和数学期望.

n(ad-bc∖

其中“=α+b+c+d.

(α+ft)(c+√)(α+c)(⅛+√)

PHNkO)0.100.0500.010

k。2.7063.8416.635

7.(青海省西宁市城西区青海[皇川中学2022-2023学年高三上学期一模理科数学试题)

某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长

(单位：分钟)，相关数据如下表所示.

平板电脑序号123456

工作时长/分220180210220200230

(1)从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台,设抽出的2台平板电脑充满电后工作时长

小于210分钟的台数为X,求随机变量X的分布列及数学期望；

(2)下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据.求该平板电脑

工作时长V与使用次数X之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满

电后的工作时长.

使用次数盯次20406080100120140

工作时长力分210206202196191188186

之--X)(M-y)

附：虹龈+队…,，，，3=3-院.

Σ4)

/=1

8.(甘肃省靖远县第四中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学(理)试题)某

地教体局为了解该地中学生暑假期间阅读课外读物的情况，从该地中学生中随机抽取

100人进行调查，根据调查所得数据，按[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成五组,

得到如图所示的频率分布直方图.

该地中学生暑假期间阅读课外读物的频率分布直方图

(1)求频率分布直方图中＞n的值，并估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均

值；(各组数据用该组中间值作代表)

(2)若某中学生在暑假期间阅读课外读物不低于6本，则称该中学生为阅读达人，以样本

各组的频率代替该组的概率，从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读

达人的人数为X,求X的分布列与数学期望.

9.(湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题)迎接冬季奥运会期间，

某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中

学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现

所有学生的测试成绩都在区间［40,100］内，并制成如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这200名学生的平均成绩；

(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间［80,100］

内的人数为X,成绩在区间［70,100］内的人数为丫，记Z=x+y,比较E(X)+E(y)与

E(Z)的大小关系.

10.(人教A版(2019)选修第三册实战演练第七章易错疑难突破专练)某种大型医疗

检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后2年内的延保

维修优惠方案.方案一：交纳延保金7000元，在延保的2年内可免费维修2次，超过2

次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保差IOOOo元，在延保的2年内可免费维

修4次，超过4次每次收取维修费IOOo元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需

决策在购买机器时应选择哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期

后延保2年内维修的次数，得下表：

维修次数0123

台数5102015

将频率视为概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的2年内共需维修的次数.

(1)求X的分布列；

(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金友维修费用之和)的期望值为决策依据，医

院选择哪种延保方案更合算？

IL(山东省荷泽市2020-2021学年高三上学期期末数学试题)中国提出共建“一带一路”,

旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中亚面粉、波兰

苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市

场.为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G有3

个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为：，且每个电子元件能否正常工作

相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就

需要维修，且维修所需费用为900元.

(1)求系统需要维修的概率；

(2)该电子产品共由3个系统G组成，设，为电子产品所需要维修的费用，求百的期

望；

(3)为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电

子元件，每个新元件正常工作的概率为P,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工

作，则G可以正常工作.问：P满足什么条件时可以提高整个系统G的正常工作概率？

12.(陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题)某学校组织知识竞答

比赛，设计了两种答题方案：

方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；

方案二：全部回答单选题.

其中每道单选题答对得2分，答错得0分；

多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分.

每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统

计参与竞答的500名同学，所得结果如下表所示：

男生女生

选择方案一10080

选择方案二200120

(1)能否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？

(2)小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3,选对且不全的概

率为0.3.

①若小明选择方案一，记小明的得分为X,求X的分布列及数学期望；

②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由.

Mad-hcy^

附：K2=-,n=a+h+c+d.

+b/c+d）（Q+c）9+d）

2

P{κ>ko）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

13.(陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题)中国职业男篮

CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.

现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为

据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一

场增加100万元.

(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；

(2)设总决赛中获得门票总收入为X,求X的数学期望E(X).

14.(河南省新未来联盟2023届高三上学期12月联考理科数学试题)在高考结束后，

程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩,

并进行统计分析,在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩,将成绩分为[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],共6组，得到如图所示的频率分布直

方图，记分数不低于90分为优秀.

频率

0.030

0.020--------------------

0.010------------------------------------

0.005--1—

405060708090IiO名数

(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成

绩为优秀的概率；

(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在［7(Uo0］内的学生中抽取13名，再从这13

名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X,求X的分布列与数学

期望.

15.(山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题)现有5张扑克牌，其中有

3张梅花，另外2张是大王、小王，进行某种扑克游戏时，需要先从5张牌中一张一张

随机抽取，直到大王和小王都被抽取到，取牌结束.以X表示取牌结束时取到的梅花张

数，以¥表示取牌结束时剩余的梅花张数.

⑴求概率P(X=2);

(2)写出随机变量y的分布列，并求数学期望E(K).

16.(山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题)足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间

为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是

平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下:①两队各派5名队员，

双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另

一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球

大战”的进球数比为2：0,则不需要再踢第5轮了)；③若前5轮“点球大战”中双方进球

数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一

轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.

(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能

地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有3的可能

性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的

个数X的分布列和期望：

（2）现有甲、乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来

3

决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为乙队每名队员射进点球的概率均为

■,假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛和加时赛

进球）并胜出的概率；

（ii）求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5：4（不含常规赛和加时赛得分）胜出的

概率.

17.（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）机动车辆保险即汽车

保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产

损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险一般包括交强险和商业险，商业险包括

基本险和附加险两部分.经验表明新车商业险保费与购车价格有较强的线性相关关系，

下面是随机采集的相关数据：

购车价格X（万元）5101520253035

商业险保费y（元）1737207724172757309736223962

（1）某保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上一年没有出险，则

下一年保费倍率为85%,上一年出险一次，则下一年保费倍率为100%,上一年出险两

次，则下一年保费倍率为125%.太原王女士于2022年1月购买了一辆价值32万元的新

车.若该车2022年2月已出过一次险，4月又发生事故，王女士到汽车维修店询价，预

计修车费用为800元，理赔人员建议王女士自费维修（即不出险），你认为王女士是否

应该接受该建议？请说明理由：（假设车辆2022年与2023年都购买相同的商业险产品）

（2）根据《保险法》规定：“对属于保险责任的，在与被保险人或者受益人达成赔偿或者

给付保险金的协议后十日内，履行赔偿或者给付保险金义务保险公司为了解客户对赔

付时间的满意度，从该公司客户中随机抽查了IOOO名将所得的满意度分数整理后得出

如下表格：

满意度分

[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

数

人数481022522981549650

用频率估计概率，从公司所有客户中随机抽取3人，用X表示这3人中满意度分数不

小于70的人数，求X的分布列和期望.

77

参考数据：2XJ=445605,7=2809.86,gx；=3500.参考公式：

r=lI=I

〃〃__

∑(乙一可(X一歹)∑玉匕一

b=ɪ;------------------------------=月-.

22

Z(Xj-可2ɪxj-nx

<=1/=1

18.(内蒙古赤峰市2023届高三上学期1月模拟考试理科数学试题)2022年12月2日

晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间

站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式.为

调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女

生人数均为20〃N*),统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生

对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的

了解与性别有关.

男生女生合计

了解IOw

不了解Sn

合计

(1)求〃的值.

(2)现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取10人，再从这

10人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至

少有2名女生被第二次调查的概率.

(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国

航天事业的人数为X,求X的分布列及数学期望.

附表：

尸(Kf%)0.100.050.0250.010.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

犬2.="(a"-。，')？

(a+b)(c+d)(a+CXb+d)

19.(内蒙古赤峰市2023届高三上学期1月模拟考试理科数学试题)已知函数

/(x)=x-ln(αx+l)(α≠0,6?eR).

⑴若/(X)20,求。的值；

(2)已知某班共有〃人，记这〃人生日至少有两人相同的概率为尸(〃)，"≤365,将一年

看作365天.

(i)求P(〃)的表达式；

(ii)估计尸(50)的近似值(精确到0.01).

笑戋加佰-笙出510

奉否奴隹I：e73≈o.O348687∙e73≈0.0304049'e73≈0.00121583>e73≈0.000924459•

20.(内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题)9年来，某地区第

X年的第三产业生产总值V(单位：百万元)统计图如下图所示.根据该图提供的信息解

(1)在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为X,求X的分

布列和数学期望E(X);

(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第

6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.

(附：对于一组数据(IyJ,(々，/),…，(⅞.κ),其回归直线夕=菽+，的斜率和

∑(ɪ,-ɪ)(z-ʃ)∑×iyi-nχy

截距的最小二乘法估计分别为：A=千————=上一二~,a=^-bχ.

2(Xj-X)ɪX,2-nx

i=l1=1

21.(贵州省贵阳市第六中学2022届高三一模数学(理)试题)某校组织IoOo名学生

进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组」50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据”,b,C成等差数列，成绩落在区

间[60,70)内的人数为400.

⑴求出直方图中α,b,C的值；

（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）;

（3）若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间［90,100］内的学生人

数为X,求X的数学期望.

22.（宁夏吴忠市吴忠中学2022届高三下学期第三次模拟测试数学（理）试题）北方的

冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工

作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨

烯发热膜，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材

料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、8材料上的

石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.

石墨烯再结晶试验

4材料试验结果8材料试验结果

■试验成功□试验失败

“材料B材料合计

试验成功

试验失败

合计

（1）根据等高堆积条形图，填写如上列联表（单位：次），判断试验结果与材料是否有关？

如果有关，你有多大把握认为它们相关？

（2）研究人员得到石墨烯后.再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层;

②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为第三环节生产合格

的概率为：，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元,

若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为

1000元.试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目

标？

其中“=q+6+c+”

附:KXjMx•篇…

P(Krkl))0.1()0.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

23.（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）某种

植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为

20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）

序号⑴12345678910

长度2）11.613.012.811.812.012.811.512.713.412.4

序号⑴11121314151617181920

长度芹）12.912.813.213.511.212.611.812.813.212.0

（1）估计该种植大户收获的果实长度的平均数嚏和方差s,；

（2）若这种蔬菜果实的长度不小于12cm,就可以标为“N4T级.该种植大户随机从收获的

果实中选取4个，其中可以标为“44/”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以

样本的频率估计总体的概率，估计X的数学期望与方差.

20

参考数据：ZV=3133.6.

,=1

24.（慕华优策联考2022-2023学年高三第一次联考理科数学试题）某校本着“我运动我

快乐我锻炼我健康"精神积极组织学生参加足球、篮球、排球、羽毛球等球类活动.为了

解学生参与情况，随机抽取IOO名学生对是否参与情况进行问卷调查.所得数据制成下

表:

不参与参与合计

男生153550

女生ab50

合计Pq100

若从这100人中任选1人恰好参与球类活动的概率为0.6.

(1)判断是否有95%的把握认为“参与球类活动”与性别有关；

(2)现从不参与球类活动的学生中按其性别比例采取分层抽样的方法选取8人，再在这8

人中抽取3人参加游泳，设抽取的女生人数为X,求X的分布列与数学期望.

附：2x2列联表参考公式：K2=-~，、,其中〃=α+6+c+”.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

临界值表:

P（K2≥自）0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

25.(江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试(2月联考)数学(文)试

题)数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善,

市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模(单位：十亿元)，其中

年份2018—2022对应的代码分别为1—5.

年份代码X12345

车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0

(1)由上表数据知，可用指数函数模型y="∙6'拟合y与X的关系，请建立y关于X的回

归方程(α,b的值精确到0.1)；

(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素,某预测公司根据上述数据求得

y关于X的回归方程后，通过修正，把6-1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增

长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中

国车载音乐市场规模.

参考数据：

5

∑X,W0.52460.472

Ve

r=l

1.9433.821.71.6

ɪ5

其中匕=Iny,∙,v=-^vi.

ɔ/=1

参考公式：对于一组数据于,巧），（"2,%）,…，（3,）,其回归直线£=9+前的斜率

Zuivj-nuv

和截距的最小二乘估计公式分别为2=∙i⅛--------------,a=v-βu.

ɪw,2-nu2

/=I

26.（江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学（理）试题）卡塔尔世

界杯在今年11月21日至12月18日期间举行，赛程如下：第一轮中先将32个国家随

机分为A,B,C,D,E,F,G,H,8个小组，每个小组中4个国家进行循环

积分赛，在积分赛中，每局比赛中胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，积分前两

名者晋级下一轮淘汰赛；每组的循环积分赛分3轮，其中C组国家是阿根廷，墨西哥,

波兰，沙特，第一轮是阿根廷昨沙特，墨西哥MS波兰；第二轮是阿根廷，S墨西哥，

沙特MS波兰；第三轮是阿根廷叫波兰，墨西哥PS沙特.小组赛前曾有机构评估C组

四个国家的实力是阿根廷＞墨西哥＞波兰＞沙特，并预测各自胜负概率如下：（D阿根廷

胜墨西哥概率为5，阿根廷胜波兰、阿根廷胜沙特的概率均为；，阿根廷平墨西哥、波

兰、沙特的概率均为，；（2）墨西哥胜波兰、墨西哥胜沙特、波兰胜沙特的概率均为:，

62

墨西哥平波兰、墨西哥平沙特、波兰平沙特的概率均为，；按照上述机构的评估与预测，

6

求解下列问题：

（1）已知在C组小组赛第一轮中，阿根廷1:2沙特，墨西哥0:0波兰，第二轮中，阿根廷

2:0墨西哥，沙特0:2波兰，求阿根廷最后小组赛晋级的概率（积分相同时实力强的优

先晋级）;

（2）设阿根廷在小组赛中的不败的场次为X,求X的分布列及数学期望.

27.（广西南宁市第二中学2023届高三上学期1月月考（期末）数学（理）试题）2020

年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程

的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G,有助于测量信号的实时开通，为珠峰

高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速

下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在

一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G

的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G

的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于

领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G

经济收入V（单位：百万元）关于月份X的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所

示的散点图.

收入W百万元

（1）根据散点图判断，y=αx+b与N=C∙eifa（a,b,C,4均为常数）哪一个更适宜作为

5G经济收入V关于月份X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

⑵根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于X的回归方程，并预测该公司7月份的

5G经济收入.（结果保留小数点后两位）

（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X,求X的分布列和

数学期望.参考数据：

666

2

∑u,-υV(xz-x)(ui-u)

Z(Xj-亍)(％一刃e1.52«2.66

XyU

/=1i=l/=1

3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30

其中，设"=Iny,%=ln%(i=l,2,3,4,5,6).

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（七，V,）（/=1,2,3,…，〃），其回归

J(X,.-X)(V,.-V)

直线f=+4的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β=上匕-----------,

∑(ɪ,-ɪ)2

/=1

a=v-βx.

28.(广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试(一模)数学(理)试题)4

月23日是“世界读书日读书可以陶冶情操,提高人的思想境界，丰富人的精神世界.为

了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动.活

动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测.通过随机抽样得到

100名学生的检测得分(满分：100分