第4课（B培优）数学归纳法（原卷版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第4课：数学归纳法教学目标1、掌握数学归纳法证明的一般步骤；2、能应用归纳——猜想——论证的解题思路，解决相应的数学问题重点1、数学归纳法证明的一般步骤；2、数学归纳法证明的应用难点1、数学归纳法证明的一般步骤；2、数学归纳法证明的应用（一）数学归纳法知识梳理归纳法：由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法；备注：归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律，这种归纳得到的结论需要证明！2、数学归纳法：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）(归纳奠基)证明当取第一个值(为正整数)时，命题成立；（2）(归纳递推)假设(为正整数)时命题成立，证明当时命题也成立.那么，命题对于从开始的所有正整数都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.备注：①注意命题中取满足题意中最小的第一个值，不一定是1.=2\*GB3②应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法.=3\*GB3③由k到k+1的证明，实际问题中由k到k+1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k+1)的差异与联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P(k+1)从分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡.例题精讲【例1】用数学归纳法证明对任意，（，）的自然数都成立，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】以下四个命题，其中满足“假设当（，）时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数【例3】用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（）A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立【例4】k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（）A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2【例5】用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（）A．B．C．D．【例6】用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．【例7】设，用数学归纳法证明．【例8】已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为．巩固训练1、满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（）A．1 B．1或2 C．1，2，3 D．1，2，3，42、现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题3、已知f(n)＝1＋＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______.4、证明：不等式，恒成立.声明：试（二）数学归纳法的应用知识梳理归纳——猜想——论证“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个的值，寻找一般的规律，先考虑一些特例，进行归纳，形成猜想，然后再去证明所得猜想的结论正确与否”的解题方法．备注：理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．例题精讲【例9】将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行从左向右的第3个数为________.【例10】给出下列各式：①，②，③，④，……，根据以上信息，猜想一般规律，并加以证明.【例11】是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并证明你的结论.【例12】设f（n）＝1+，由f（1）＝1＞，f（3）＞1，f（7）＞，f（15）＞2，…（1）你能得到怎样的结论？并证明；（2）是否存在正数T，使对任意的正整数n，有f（n）＜T成立？并说明理由．【例13】如图，、、、是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明．【例14】已知数列满足，且，．（1）求的通项公式；（2）设，求使不等式对一切且均成立的最大整数．【例15】个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.已知，，.（1）设，求数列的通项公式；（2）设，求证：()；（3）设，请用数学归纳法证明：.巩固训练1、考察下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？2、已知数列的通项公式，，试求，，的值，由此猜想的计算公式，并用数学归纳法加以证明.3、是否存在常数a，b，c，使等式N+都成立，并证明你的结论.4、已知数列满足：.（1）写出数列的前6项的值；（2）猜想数列与的单调性，选择一种情形证明你的结论.5、相传在古印度圣庙上，有一种被称为汉诺塔的游戏．该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号，，），在杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘，如图所示．游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并仍保持原有顺序叠好．操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上．记将个直径不同的盘子从杆移动到杆所需要的最少次数为·（1）试写出，，，的值．（2）由（1）猜想数列的通项公式，并加以证明．实战演练实战演练一、填空题1、用数学归纳法证明：，这里等于_____．2、在中，三边分别为，其中c为斜边，利用数学归纳法证明：，首先验证_________.3、已知函数，对于，定义，则的解析式为________.4、用数学归纳法证明的过程中，由到时，右边应增加的因式是____________.5、已知对一切正整数都成立，则的值为__________6、设数列是集合且中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，，将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则的值为________二、选择题7、某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（）A．当时，命题不成立B．当时，命题可能成立C．当时，命题不成立D．当时，命题成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立8、用数学归纳法证明：时第一步需要证明（）A． B．C． D．9、对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（）A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确10、已知,存在自然数,