6.1.1 空间向量的线性运算（解析版）

6.1.1空间向量的线性运算一、空间向量相关概念1、空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB或a。2、空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或3、空间向量的有关概念：（1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。（2）单位向量：长度为1的空间向量，即.（3）相等向量：方向相同且模相等的向量。（4）相反向量：方向相反但模相等的向量。（5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．（6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。二、空间向量的线性运算1、空间向量的加减法空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2、空间向量加减法运算律交换律：结合律：小结：空间向量加法的运算的小技巧（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；3、空间向量的数乘运算（1）定义：实数λ与空间向量a的乘积λa当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a当λ=0时，λaλa的长度是a的长度的|λ|（2）运算律：分配律：λa结合律：λμ三、向量共线定理1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得OP=λ与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线（1）存在实数λ，使PA=λPB（2）对空间任一点O，有OP=（3）对空间任一点O，有OP=x题型一空间向量概念的理解【例1】下列说法正确的是（）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】C【解析】A：零向量与它的相反向量相等，故错误；B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误；C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确；D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误；故选：C【变式1-1】下列说法中正确的是（）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量和是共线向量，则、、、四点共线C．在空间中，任意两个单位向量都相等D．零向量与任意向量平行【答案】D【解析】A项：因为两个向量起点相同且是相等的向量，所以终点必相同，A错误；B项：若非零向量和是共线向量，则和平行或者重合，故、、、四点不一定在同一条直线上，B错误；C项：单位向量的模相等，但方向不一定相同，C错误；D项：零向量与任意向量平行，D正确，故选：D.【变式1-2】在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】对于①与，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量；对于③与，易知是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；对于④与，易知是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同．故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2．故选：B.【变式1-3】给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误；对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确；对于④，由向量相等关系可知，④正确．故选：C.【变式1-4】如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与相等的向量；（2）与相反的向量；（3）与平行的向量．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，∴与相等的向量为；（2）连接，由平行六面体的性质可得，∴是平行四边形，∴，与相反的向量为．（3）连接，由平行六面体的性质可得，∴是平行四边形，∴，与平行的向量为．题型二空间向量的线性运算【例2】化简算式：______．【答案】【解析】.【变式2-1】正六棱柱中，设，，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】正六棱柱中，，故选：B【变式2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.（1）；（2）.【答案】（1），作图答案见解析（2），作图答案见解析【解析】（1）；向量如图所示.（2）因为点E､F､G分别为BC､CD､DB的中点.所以，，所以.向量如图所示.【变式2-3】构造始点、终点都是平行六面体顶点的向量，使它与下列各式所表示的向量分别相等：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】（1）在平行六面体中，所以（2）在平行六面体中，所以（3）在平行六面体中，所以（4）在平行六面体中，，所以（5）在平行六面体中，所以题型三空间向量的线性表示【例3】在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，所以，，故选：D.【变式3-1】如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选：B【变式3-2】如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为在平行六面体中，M为，的交点,，，，所以.【变式3-3】如图，在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，设，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，即，设，，，．故选：C题型四向量共线与三点共线问题【例4】若向量与不共线且，，，则（）A．，，共线B．与共线C．与共线D．，，共面【答案】D【解析】因为，即，即，又与不共线，所以共面，故D正确A错误；因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误；故选：D【变式4-1】满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】对于空间中的任意向量，都有，说法A错误；若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误；，则A、B、C三点共线，选项C正确；，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；本题选择C选项.【变式4-2】在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．【答案】或【解析】因为正方体中，，设，又，所以，即，因为A、E、F三点共线，所以，解得，即.故答案为：.【变式4-3】如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？【答案】共线.【解析】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，所以.又，所以.所以，即，即与共线.【变式4-4】如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．【答案】证明见解析【解析】证明：连接，．∵，，∴，∴．又，∴，，三点共线．题型五利用向量共线证明线线平行【例5】如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：．【答案】证明见解析【解析】证明：．因为，，所以．又因为P为中点，所以，从而与为共线向量．因为直线MN与BP不重合，所以．【变式5-1】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．【答案】证明见解析．【解析】，，，，，因为、无公共点，故.【变式5-2】如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为A