第1课（A基础）等差数列（原卷版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第14课：等差数列教学目标1、理解等差数列的概念，能结合其定义证明数列是等差数列；2、掌握等差数列的通项公式和求和公式，能求通项和求和；3、会利用等差数列的性质简化一些求和求通项问题。重点1、等差数列中函数的思想2、熟练运用等差数列的通项公式和求和公式。难点1、数列中函数的思想2、等差数列性质的应用（一）等差数列及其通项公式知识梳理1、等差数列的定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2、等差中项:如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项3、等差数列的判定方法:①定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列②等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列4、等差数列的通项公式:如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数5、等差数列的常用性质:①等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有；②对于等差数列，若，则；例题精讲【例1】（1）在等差数列中，，，则________．（2）数列满足，且，，则。【例2】在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；【例3】已知数列满足，则＝。【例4】（1）在等差数列中，若，则______。（2）若一个等差数列前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，求这个数列项数；巩固训练1、在等差数列中，已知，，若时，则项数等于________。2、在等差数列中，，则（）A．8 B．12 C．16 D．203、已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件4、数列中，，且数列是等差数列，则等于（）A． B． C． D．15、等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是（）A． B． C． D．（二）等差数列的前n项和知识梳理1、前项的和与通项的关系：这个公式在求通项公式和证明时经常用到．2、等差数列的前n项和:=1\*GB3①=2\*GB3②对于公式=2\*GB3②整理后是关于n的没有常数项的二次函数3、若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列例题精讲【例5】（1）已知等差数列中，，前10项的和等于前5项的和，若，则（）A．10 B．9 C．8 D．2（2）已知为等差数列的前项和，若，则___________.【例6】设是等差数列的前n项和，已知，，，则n等于（）.A．15 B．16 C．17 D．18【例7】等差数列中,,,则________。【例8】（1）1．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（）A． B． C． D．（2）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（）A．1 B．－1 C．2 D．【例9】（1）数列的前项和为，则数列的通项公式_________.（2）已知数列满足，则________．【例10】为数列的前n项和，，且.求的通项公式；巩固训练1、是不是等差数列，，，…的项？如果是，是第几项？并求其前项的和。2、已知等差数列{an}的前三项依次为a，4，3a，前k项和Sk=2550，求a及k.3、记等差数列的前项和为，已知，，则（）A． B． C． D．4、已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则＝________.5、已知数列满足：，，其中为的前项和.（1）已知，求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式.（三）等差数列函数性质知识梳理1、等差数列通项公式：，其中当时，常函数；当时，一次函数；2、等差数列前n项和：，其中当时，常数项为0的二次函数；3、等差数列的单调性：设数列是公差为d的等差数列，当时，是单调递增的，当时，是单调递减的，若d=0,则数列为常数列；4、等差数列的最值：若是等差数列，求前n项和的最值时，（1）若>0,d<0,且满足，前n项和最大；（2）若<0,d>0，且满足，前n项和最小；例题精讲【例11】在等差数列中，，其前项和为，若，则＝_______。【例12】已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）当为何值时，数列的前项和取得最大值？【例13】（1）若等差数列的前项和为，，，，则的最大值为________。（2）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（）A．数列是递增数列 B．数列是递增数列C．的最小值是 D．使得取得最小正数的巩固训练1、在等差数列中，已知：，.（1）求数列的公差.（2）求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值。2、设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．或为的最小值3、若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是________.（四）等差数列的简单应用例题精讲【例14】某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加髙加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔才有一辆到达施工现场投入工作，要在内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（）A．辆 B．辆 C．辆 D．辆巩固训练1、设等差数列{an}的公差为2，前10项和为490，等差数列{bn}的公差为4，前10项和为240.以ak，bk为邻边的矩形内的最大圆的面积记为Sk，若k≤18，则Sk=（）A．π(2k+1)2 B．π(2k+3)2 C．π(k+1)2 D．π(k+18)22、7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．（1）求7月几日该款服装销售最多，最多售出几件．（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．求该款服装在社会上流行几天．实战演练实战演练一、填空题1、设等差数列的前项和为，若，则_______.A．4 B．8 C．16 D．242、数列中，，，则的值是________________.3、等差数列的前项和为，若，，则等于_______.4、已知等差数列的首项，前n项和为，若，则当取得最大值时，n的值为__________．5、有两个等差数列，，满足，则=_________；6、已知{an}是等差数列，d为其公差，Sn是其前n项和，若只有S4是{Sn}中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．①d>0②a4<0③a5>0④S7<0⑤S8>0二、选择题7、数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（）A．12项B．13项C．14项D．15项8、《张邱建算经》有这样一个问题：今有某郡守赏赐下属10人，官职依次递降，赏赐随官职递降依次等差递减，前2人共得赏赐190贯，后3人共得赏赐60贯，则第5人得赏赐为（）A．80贯 B．70贯 C．60贯 D．50贯9、等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则（）