第12讲几个三角恒等式（四大题型）

第12讲几个三角恒等式【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆），以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．以上两个公式称作半角正切的有理式表示．知识点二：积化和差公式知识点诠释：规律1：公式右边中括号前的系数都有．规律2：中括号中前后两项的角分别为和．规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．知识点三：和差化积公式知识点诠释：规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．【典型例题】题型一：积化和差与和差化积公式的应用【例1】（2023上·全国·高一专题练习）求证：(1)；(2).【解析】（1）证明：因为,将以上两式的左右两边分别相加，得，故（2）由（1）可得①，设，把代入①，即得.【变式11】（2023·全国·高一随堂练习）把下列各式化成积的形式：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式（2）原式（3）因为，所以.【变式12】（2023下·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知．(1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值；(2)求的值．【解析】（1），可得；（2）因为，所以，则，解得或3．【变式13】（2022下·高一单元测试）在中，求证：(1)；(2).【解析】（1）证明：左边，∴等式成立.（2）证明：左边，∴原等式成立.题型二：应用半角公式求值【例2】（2023上·高一课时练习）已知，α为第四象限角，求，，.【解析】，，.∵为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，；当为第四象限角时，.【变式21】（2021·高一课时练习）在△ABC中，若，，求，，的值.【解析】因为A，B，C均为三角形的内角，所以，，所以，所以，，.【变式22】（2021·高一课时练习）已知，求，，的值．【解析】解

，，．【变式23】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，，．【解析】因为，故，则，由可得，解得，由可得，解得，故.题型三：三角函数式的化简【例3】（2023·全国·高一随堂练习）化简：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【变式31】（2023·全国·高一专题练习）化简求值(1)(2)已知，，，，求.【解析】（1）；（2）因为，是锐角，所以，因为，为锐角，所以，，因为，所以，，则，，故.【变式32】（2023·全国·高一课堂例题）化简：(1)；(2)，其中．【解析】（1）∵，∴，，，，故，故，又，故，又，故，又，故，∴原式．（2）原式．①当时，，，此时原式．②当时，，，此时原式．【变式33】（2020·高一课时练习）化简：．【解析】因为，所以，原式＝＝，所以原式.题型四：恒等式的证明【例4】（2021下·上海松江·高一统考期末）（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值．（2）证明恒等式：．【解析】（1）当时，点到原点的距离为，由三角比的定义得：，，∴；（2）证明：．【变式41】（2023下·上海奉贤·高一校考阶段练习）(1)证明恒等式：(2)化简：【解析】（1）得证.（2）【变式42】（2021·高一课时练习）证明：(1)；(2)．【解析】（1）证明：左边右边，所以；（2）证明：左边右边，所以．【变式43】（2021·高一课时练习）证明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）左边==右边，原式成立.（2）左边=右边，原式成立.（3）左边=右边，原式成立.（4）左边=右边，原式成立.（5）左边=右边，原式成立.（6）左边=右边，原式成立.【变式44】（2021下·高一课时练习）证明下列恒等式.（1）；（2）.【解析】（1）左边右边，原等式成立.（2）左边右边，原等式成立.【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·高一专题练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据二倍角的余弦公式可得：.故选：D2．（2024·云南·高一校联考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.3．（2024·甘肃酒泉·高一统考期末）求值：（

）A．0 B． C．2 D．【答案】B【解析】，故选：4．（2024·河北保定·高一河北省保定市清苑区清苑中学校考阶段练习）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，即，由，得，则，即，所以.故选：B5．（2024·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，又，所以，所以，所以.故选：D6．（2024·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选：B7．（2024·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，又，，，.故选：A.8．（2024·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】，，故，故函数的最大值为.故选：C二、多选题9．（2024·全国·高一专题练习）设函数，则下列结论正确的是（

）．A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减【答案】AB【解析】，所以的周期为，的一个周期为，A选项正确.，所以的图象关于直线对称，B选项正确.，当时，，所以C选项错误.，所以在区间上不单调，所以D选项错误.故选：AB10．（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）关于函数，则下列命题正确的是（

）A．函数的最大值为3B．点是函数的图象的一个对称中心C．是函数的图象的一条对称轴D．在区间上单调递增【答案】AC【解析】因为，所以当，即，即时，函数有最大值3，选项A正确.又令，得，即函数的对称中心为，显然选项B错误.令，得函数的对称轴为，当时，，选项C正确.令得，即函数的单调递增区间为.则，选项D错误.故选：AC.11．（2024·吉林·高一吉林一中校考期末）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：AB.12．（2024·河北唐山·高一期末）已知，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，由，由上两式解得，所以A,B正确；对于C：，C错误；对于D：，所以或者，又因为，所以，所以，D正确，故选：ABD三、填空题13．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）函数的值域是．【答案】【解析】由题，因为，所以.故答案为：.14．（2024·全国·高一专题练习）已知，则.【答案】/【解析】由得，所以，两边平方得，解得.故答案为：15．（2024·全国·高一专题练习）已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【解析】依题意，，因为，且函数在上单调递减，所以当时，，所以，解得：，，因为，则需要满足，且，，所以，，即，所以.故答案为：.16．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）设函数，当时，则下列描述正确的是（填正确命题的序号）①的最小正周影为2π；

②的最小正周期为π；③函数的最大值和最小值分别是0，－2：

④函数的最大值和最小值分别是，.【答案】②【解析】由已知，则其最小正周期，①错误，②正确；又当时，，所以当，即时，函数最大值，当，即时，函数最小值，③④错误.故答案为：②.四、解答题17．（2024·河北保定·高一河北省保定市清苑区清苑中学校考竞赛）已知函数(1)求的单调递增区间；(2)求图象的对称轴方程和对称中心的坐标.【解析】（1）由函数，令，解得，所以函数的递增区间为（2）由（1）知，令，解得，即函数的对称轴的方程为；再令，解得，即函数的对称中心为.18．（2024·福建厦门·高一厦门外国语学校校考阶段练习）已知．(1)若，求的值；(2)若，且，求的值．【解析】（1），（2）依题意，由，可得，．，又．19．（2024·全国·高一专题练习）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)若在区间上的值域为，求的取值范围.【解析】（1），的最小正周期.（2），，在区间上的值域为，，得，即的取值范围为.20．（2024·广东珠海·高一校考期末）已知函数，(1)求的最小周期和单调递增区间；(2)将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象．当时，求的值域．【解析】（1），∴的最小周期，令，，∴递增区间是，．（2）由条件可知：，当时，有，从而，那么的值