数值分析第五版答案(全) - 副本

第一章绪论1.设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差。2.设x的相对误差为2%,求xn的相对误差。,,,,出它们是几位有效数字：,,,,是二位有效数字.5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少解：球体体积为则何种函数的条件数为又故度量半径R时允许的相对误差限为6.设,按递推公式(n=1,2,…)计算到将有多大误差故方程的根应∴x具有5位有效数字设α=arctan(N+1),β=arctanN。则tanα=N+1,tanβ=N.若41(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗解：设y=(x-1)6计算y值，则若通过计算y值，则通过计算后得到的结果最好。解则u*=29.9833故若改用等价公式第二章插值法X则0.5<0.54<0.6=6.93147(x-0.6)-5.1082=-50×0.916291(x-0.5)(x-0.6)+69.3147(x-0.4)(x-0.6)-0.510826×50(x-0.3.给全cosx,0≤x≤90的函数表，步长h=1'=(1/60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：求解Cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。令f(x)=cosx,线性插值多项式为插值余项为又∵在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，日cosxe[0.1].故计算中有误差传播∴总误差界为4.设为互异节点，求证：又0≤i≤n由上题结论可知,以此为插值节点，则线性插值多项式为又f(a)=f(b)=0∴得证10.证得证。又解：∵f(x)=x7+x4+3x+115.证明两点三次埃尔米特插值余项是R(x)=R(x)=0R(x)=g(x)(x-x)²(x-x)其中g(x)是关于x的待定函数，φ(()=f“()-H'(4)-g(x又其中ξ依赖于xP(0)=P'(0)=0,P(1)=P'(1)解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式从而则步长h=1,误差又令f"(x)=0f(x)=x2误差为19.求f(x)=x4在[a,b]上分段埃尔米特插值，并估计误差。f(x)=x4,f'(x)=4x上的分段埃尔米特插值函数为误差为20.给定数据表如下：试求三次样条插值，并满足条件：(2)S”(0.25)=S"(0.53)=0.求解此方程组得∵三次样条表达式为由此得矩阵开工的方程组为求解此方程组，得M=0,M=-1.8809又∵三次样条表达式为第三章函数逼近与曲线拟合伯恩斯坦多项式为其中则则当当6。对f(x),g(x)∈C[a,b],定义(1)令f(x)=C(C为常数，且C≠0)(2)若的正交多故9。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族的正交多项式。的正交多项式。证明：是[0,1]上带权若又证明：切比雪夫多项式为从而有11。假设f(x)在[a,b]上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式f(x)在闭区间[a,b]上连续由切比雪夫定理知达到极小，又问这个解是否唯一···f(x)的最高次项系数为1,且为3次多项式。与0的偏差最小上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为即误差限为)令g(t)=16f(t),则g(t)=t4+10r3+24r2+22t-9进而，f(x)的三次最佳一致逼近多项式,则f(x)的三次最佳一致逼近多项式为的最佳平方逼近多项式。,则法方程组为解得=0.1171875+1.640625x2-0.82从而解得的最佳平方逼近多项式为则法方程组为则法方程组为从而解得则法方程组为从而解得最佳平方逼近多项式为在[-1,1]上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。展开按勒让德多项式展开则19。观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s)0距离s(m)0求运动方程。s=a+bi则则法方程组为故物体运动方程为×;用最小二乘法求形如s=a+bx2的经验公式，并计算均方误差。则则法方程组为21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时时间100用最小二乘法求y=f(t)。观察所给数据的特点，采用方程两边同时取对数，则则S=a*+b*x则法方程组为从而解得因此则k=0,1,,7,N=8X43210123A1444404A284048J23,用辗转相除法将解化为连分式。从而-Cb-Cb-Cb=C-Cb-Cb-Cb=C-Cb-Cb-Cb=C即故得即故第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。(1)若(从而解得令f(x)=x4,则具有3次代数精度。令f(x)=1,则则从而解得令f(x)=x4,则具有3次代数精度。从而解得或因此，原求积公式具有2次代数精度。h[f(O)+f(h)]/2+ahz[f具有3次代数精度复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为3。直接验证柯特斯教材公式(2。4)具有5交代数精度。柯特斯公式为令f(x)=x4,则令f(x)=xs,则令f(x)=x6,则因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。4。用辛普森公式求积分并估计误差辛普森公式为从而有误差为5。推导下列三种矩形求积公式：(1)f(x)=f(a)+f'(η)(x-a),η即即即过若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分故有因此，将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为当对区间[0,1]进行等分时故有因此，将区间8等分时可以满足误差要求。7。如果f”(x)>0,证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值1大，并说明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为又f”(x)>0且b>akT20123k0T⁴)01因此J≈0kT₄)012345因此I≈10.20759229。用n=2,3的高斯-勒让德公式计算积分用n=2的高斯—勒让德公式计算积分用n=3的高斯—勒让德公式计算积分I≈0.3478548×[f(-0.8611363)++0.6521452×[f(-0.3399810)+f(0.10地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371(km)我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=2384(km)。试求卫星轨道的周长。kT⁴)1012即人造卫星轨道的周长为48708km11。证明等式试依据解)的值，用外推算法求π的近似值。∴此函数的泰勒展式为由外推法可得nT369故π≈3.1415812。用下列方法计算积分并比较结果。(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解(1)采用龙贝格方法可得kTTTT01234故有I≈1.098613(2)采用高斯公式时此时y∈[1,3],利用三点高斯公式，则I=0.5555556×[f(-0.7745967)+f(0.7745967)]+0.8利用五点高斯公式，则I≈0.2369239×[f(-0.9061798)++0.4786287×[f(-0.5384693)+f(0.5384693)]+0.568(3)采用复化两点高斯公式将区间[1,3]四等分，得则I≈f(-0.5773503)+f(0.5773作变换则作变换则I≈f(-0.5773503)+f(0.5773则I≈f(-0.5773503)+f(0.5773因此，有13.用三点公式和积分公式求在x=1.0,1.1,和处的导数值，并估计误差。f(x)的值由下表给出：X由带余项的三点求导公式可知又又故误差分别为利用数值积分求导，由梯形求积公式得从而有故又且解方程组可得第5章数值分析课后习题全解第5章：解线性方程组的直接方法1.证明：由消元公式及A的对称性得2.证明：(1)因A对称正定，故(2)由A的对称性及消元公式得也对称.又显然L非其异，从而对任意的x≠0,有(由A的正定性故LALr正定.3.证明由矩阵乘法简单运算即得证.4.解设有分解由公式素.故有从而有故,,,5.解(1)设U为上三角阵故因故当U为下三角阵时(2)除法次数为n,乘法次数为故总的乘法次数为n+n(n-1)/2=n(n+1)/2.(3)设U为上三角阵，U-I=S,侧S也是上三角阵.由得23m126.证明(1)因A是对称正定阵，故存在唯一的分解A=LL,其中L是具有正对角元素的下三角阵.从而A-1=(LD)-1=(L)-1L-1=(L-1)T故A-1是对称矩阵.又L-1非奇异，故对任意的x≠0,有L-1x≠0,故xTA-1X=xT(L1)rL1x=(L1x)故A-1是对称正定矩阵，即A-1也对称正定.(2)由A对称正盯，故A的所有顺序主子式均不为零，从而A有唯一的又由分解的唯一性即得从而有又由A的对称正定性知故8.解设有分解,,由公式其中b,a,C素，则有由,分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元,,:,.,,,,得由得由,由得故故,与第三行交换，则可以分解，且分解唯一。B中，,但它仍可以分解为其中!为一任意常数，且U奇异，故分解且分解不唯一，对C,△≠0,i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。故12.证明(1)有定义知(2)由范数定义，有(2)对任意实数c,有(3)因A正定，故有分解A=LE,则故对任意向量x和y,总有故,即故证明设λ≠0,则故20.证明xrArAx=(Ax)r(Ax)>0第六章课后习题解答1.解：(a)因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。(b)雅可比法的迭代格式为T(17)(4.0000186,2.9999915,2.0高斯=塞德尔法的迭代格式为5f(8)(4.0000186,2.9999915二2:解(a)雅可比法的迭代矩阵高斯高斯塞德每法途敌高斯一塞确(b)雅可比法的迭二二必要条件：必要条件：k故对任意的有|Ax-Ax!!IA-A)AxKAx(k)O二kkA对习题(a),A对称，又1)0,0.840,|A|0.2900,颉正定，但其雅可比迭代法不收敛5.解答见例6-4 △二△ K123000012345678<(A)’(A)’μdet-1<a2<0,det(A)(1a)z(12a)十>0J0JJ=fnJ=f0a0与所述迭代格式相减有nxx*G(xk)x*)又GPJnP0因此，至多迭代次即可收敛到方程组的解SOR法的迭代矩轧(DwL)1((1w)DwU)十≤用反证法设L有一个特征值满足|11,则有从而有det{(D-ul):(DwL)1(1w)Dw}0λ≤≠二λ二A的有根区间.又.根据二分法的误差估计式知要求误差小于，只需,解得k+l>5.322果见表7-7.,故至少应二分6次.具体计算结表7-7k“bkX01212+2+3一4一5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：(1),迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根解取*=1.5的邻域[,]来考察.(1)当,故迭代公式上整体收敛.在[,]上整体收敛.由于(2)的L叫小，故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字，只需即表7-8kk142536由于,故可取x*≈x=1.466表7-9k“bkXXX02345678900001+十此时具有三位有效数字.,迭代计算结果如表7-10所示.表7-10kXkkXk123456此时,故x*≈x6精确到三位小数.4、给定函数f(x),设对一切xf'(x)存在且0<m≤f'(x)≤M,证明对于范围,故5、用斯蒂芬森迭代法计算第2题中(2)的近似根，精确到10-s解记第2题中(2)的迭代函,(3)的迭代函数为,利用迭代式，计算结果见表7-11.表7-11k加速9(x)的结果×kk001122334φ(x*)=x*,φ'(x*)=0,φ"(x*)=0.于是由x*=x*-p(x*)f(x*)-q(x*)fz(x*)=φ”(x*)=-2p'(x*)f'(x*)-p(x*)f"(x*)得故取即迭代至少三阶收敛.7、用下列方法求f(x)=x₃-3x-1=0在*=2附近的根.根的准确值x*=1.87938524…,要求计算结果准确到四位有效数字(1)用牛顿法；f(1)<0,f(2)>0,f(x)=3x2-3=3(xz-I)≥0,f”(x)=6x>0Vxf(1)<0,f(2)>0,f(x)=3x2-3=3(xz-I)≥0,f”(x)=6x>0Vx∈[1,2]计算得,利用弦截法,故取表7-13-13,因记,容易算得f(4)=2.842…>0,f(4.6)=-4.26…<0,因的有限区间.对于二分法，计算结果见表7-12.表7-12k“bkkf(x)的符号023456789十+十++一一+若用牛顿迭代法求解，由于,故取x=4.6,迭代计算结果如表7-13所示.kkXk142536的牛顿公式证明对一切且序列是递减的.,且,且故*≤,即.根据单调原理知，有极限.易证起极限为√a.对利用例7-9的结论知，a的根.证明见例7-1011、用牛顿迭代法和求重根的牛顿迭代法和(书中式，)计算方程的解用牛顿法迭代公式为,迭代到用求重根的迭代公式，迭代迭代公式为取则.四次迭代达到上面^20的结果.取,得.结果与公式的相同.的迭代公式，并讨论其收敛性.,根据例7-9的结论知，牛顿序列收敛到Va.当单增趋于时，之后迭代也收敛.13、应用牛顿法于方程