第09讲 双曲线【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（沪教版2020选修第一册）（原卷版）

第09讲双曲线【学习目标】1．掌握双曲线的定义和焦距顶点、渐近线的概念2．掌握双曲线的标准方程3．掌握直线和双曲线相关问题的解题方法【基础知识】一．双曲线的定义【定义】双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．【标准方程】①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．【性质】这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．【实例解析】例1：双曲线﹣＝1的渐近线方程为解：由﹣＝0可得y＝±2x，即双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±2x．故答案为：y＝±2x．这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线过点P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求双曲线方程为﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．【考点点评】这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．二．双曲线的标准方程【知识点的认识】双曲线标准方程的两种形式：（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a＞0，b＞0）中心在原点，焦点在x轴上（a＞0，b＞0）中心在原点，焦点在y轴上图形顶点（a，0）和（﹣a，0）（0，a）和（0，﹣a）对称轴x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b焦点在实轴上x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b焦点在实轴上焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2离心率e＝（e＞1）e＝（e＞1）渐近线即y＝±x即y＝±x准线x＝±y＝±三．双曲线的性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝0±＝0【考点剖析】一．双曲线的定义（共2小题）1．（2022春•长宁区校级期末）若将方程||＝6化简为的形式，则a2﹣b2＝．2．（2020秋•浦东新区校级月考）如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是．二．双曲线的标准方程（共2小题）3．（2021秋•崇明区期末）若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022春•黄浦区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．三．双曲线的性质（共15小题）5．（2022秋•浦东新区校级期中）若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率是．6．（2022春•长宁区校级期末）过P（0，2）且与双曲线2x2﹣y2＝1有且只有一个公共点的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条7．（2022春•黄浦区校级期中）（1）已知双曲线经过点（1，1），其渐近线方程为，求此双曲线的方程；（2）已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1，P2的坐标分别为和，求该双曲线的方程．8．（2022秋•虹口区期中）已知双曲线Γ1：﹣＝1（a1＞0，b1＞0）与Γ2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）有共同的渐近线，则它们一定有相等的（）A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率9．（2022秋•虹口区校级月考）已知双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．10．（2022•宝山区校级开学）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A． B． C． D．11．（2022秋•普陀区期中）已知双曲线满足条件：（1）焦点为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）离心率为，求得双曲线的方程为f（x，y）＝0．若去掉条件（2），另加一个条件求得的双曲线的方程仍然为f（x，y）＝0．则下列四个条件中，符合添加的条件可以为.（填序号）①双曲线上的任意一点P都满足：|PF1|﹣|PF2|＝6；②双曲线的虚轴长为4；③双曲线的一个顶点与抛物线y2＝6x的焦点重合；④双曲线的渐近线的方程为：4x±3y＝0．12．（2022春•徐汇区期末）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为．13．（2022春•徐汇区期末）已知双曲线经过点（1，1），其渐近线方程为，则该双曲线的方程为．14．（2022春•浦东新区校级期末）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为．15．（2022秋•崇明区期末）已知椭圆Γ1与双曲线Γ2的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点F1、F2，P是Γ1与Γ2在第一象限的交点，当时，双曲线Γ1的离心率等于．16．（2022秋•松江区期末）已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为．17．（2022春•青浦区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，F为双曲线的一个焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直，若l与C有且仅有一个交点，则C的离心率为．18．（2022春•杨浦区校级期中）已知点A（4，0）到等轴双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）上的点的最短距离为，求此双曲线的标准方程．19．（2022春•宝山区校级期中）（1）团队在O点西侧、东侧10千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|﹣|PB|＝10千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求P点坐标以及右焦点到渐近线的距离；（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝16千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）．

【过关检测】一、单选题1．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（

）A．0 B． C．1 D．22．（2022·上海市行知中学高二期末）已知方程表示的曲线为.则以下四个判断中错误选项为（

）A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则B．当或时，曲线表示双曲线C．当时，曲线表示椭圆D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则3．（2022·上海市建平中学高二期中）已知双曲线的渐近线为，则其对应的双曲线方程（）①；②；③；④.A．①错③对 B．①对②错 C．①对③错 D．③对④错4．（2022·上海市吴淞中学高二期末）设点为坐标原点，点在双曲线上运动，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．以上都不对二、填空题5．（2022·上海市控江中学高二期末）经过两点，的双曲线的标准方程为______．6．（2022·上海市建平中学高二期中）已知双曲线的焦距为6，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为______.7．（2022·上海市向明中学高二期末）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，则_____．8．（2022·上海市崇明中学高二期中）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.9．（2022·上海·复旦附中高二期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则e₁e₂的取值范围是_____.10．（2022·上海·华师大二附中高二期中）已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为__________.11．（2022·上海·闵行中学高二期中）直线与曲线的公共点的个数是___________.12．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为___________.13．（2022·上海·闵行中学高二期中）已知定圆，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有___________.14．（2022·上海松江·高二期末）已知二次曲线的方程：.当、为正整数，且时存在两条曲线、，其交点与点满足，则________.15．（2022·上海松江·高二期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为________.16．（2022·上海市金山中学高二期末）已知、为双曲线的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，且，若直线的倾斜角为，则的离心率为____．17．（2022·上海市行知中学高二期末）设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线离心率的3倍为___________.18．（2022·上海·复旦附中高二期中）过双曲线的左焦点作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P，O为坐标原点，若则双曲线的离心率为_______.三、解答题19．（2022·上海市大同中学高二期末）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，､两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度.(1)以为原点，以方向为轴正方向，且以米为单位，建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点，求点的轨迹方程；(2)若游戏设定：机器鼠在距离直线不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20．（2022·上海市建平中学高二期中）已知曲线C的方程为，其中m为实数且）(1)试讨论曲线C的形状；(2)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，离心率是，求椭圆的焦距.21．（2022·上海市建平中学高二期中）某市轨道交通s号线的线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求轨道交通s号线的线路示意图所在曲线的方程：(2)规划部门在设计s号线线路的一个站点G时，考虑到景点Q为客流量巨大的热门景点，为了最大程度便