2023年高考数学一轮复习习题：第十一章选考部分

第H-一章DlSHlYlZHANG

11选考部分

第1节坐标系与参数方程

第1课时坐标系

考纲要求1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情

况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直

角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

.知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

Iy=痴(2>0),

设点P(X,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换0：,；的作用下，点

Iy="如>o)

P(x,y)对应到点P(X',y),称夕为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.

2.极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点。(极点)，自极点O引一条射线0x(极轴)；

再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆皿方向)，这样就

建立了一个极坐标系.

M(p.θ)

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点。与点M的距离IoM叫做点M的极径，记为p.

②极角：以极轴OX为始边，射线OM为终边的角∕xθM叫做点M的极角，记为。.

③极坐标：有序数对S，。)叫做点M的极坐标，记作“S，9)∙

3.极坐标与直角坐标的互化

点M直角坐标y)极坐标S，。)

x=pcosθ,y

互化公式O2=x2+V2,tanO=((x≠O)

y="Sinθ

4.常见曲线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆0=r(0W<9V2兀)

θ((√0))~ʌ-/兀兀、

圆心为S0）,半径为r的圆ρ=2rcos々一］WeV/

圆心为（r,芍，半径为r的圆

0=2rsin—夕(OWOVTC)

O*

①6=aS∈R)或

0=π+cz(p≡R)

过极点，倾斜角为α的直线-V

②。=刈2。)和

θ=π+a(p^O)

(π兀、

过点30）,与极轴垂直的直线PCOS5V夕<5,

O-(",0)X

过点（“，软，与极轴平行的直线

〃Sine=α(OVKVττ)

o↑X

•——常用结论与微点提醒

1.极坐标的四要素：（1）极点；（2）极轴；（3）长度单位；（4）角度单位和它的正方向，四者缺

一不可.

2.由极径的意义知"'O,当极角，的取值范围是［0,2π）时，平面上的点（除去极点）与极坐标

S，⑨SWo）建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径2=0,极角可取任意角.

3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式PCOs，=x,"sin，

=y,p2=∕+y,但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以P等.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误（在括号内打“J”或“X”）

（1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对

应关系.（）

（2）若点P的直角坐标为（1,-√3）,则点P的一个极坐标是（2,-∣）.（）

（3）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.（）

（4）极坐标方程6=πS>0）表示的曲线是一条直线.（）

答案（1）×（2）√（3）√（4）×

解析（1）一般认为0NO,当，∈[0,2兀）时，平面上的点（除去极点）才与极坐标建立一一对应

关系；（4）极坐标方程0=τr（p20）表示的曲线是一条射线.

〉教材衍化

2.若以直角坐标系的原点为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=l—

MoWXWI）的极坐标方程为（）

1π

A.P=7Γ"i•7），OWeW77

rCoS。十Slne2

1兀

b∙P=COSe+sin'底吟

兀

C."=cos9+Sin仇OWOW]

π

D.P=COS夕+sin仇O≤0≤^

答案A

解析Vy=l-χ（O≤x≤l）,

/.psinΘ=1—pcos0（O≤pcos0≤1）,

.∙.p=--rɪ-∕θ≤0≤?）.

Lsin6+cos队2）

3.在极坐标系中，圆〃=-2sin。的圆心的极坐标是（）

A.（l,§B.（1,一§

C.（1,0）D.（1,π）

答案B

解析由p=-2sin。得p2=-22Sin0,化成直角坐标方程为/+y2=—2y,即/+（），+1）2

=1,圆心坐标为（0,—1）,其对应的极坐标为（1,一号.

＞考题体验

4.（2021.北京四中周测）在极坐标系中，已知点/（2,则过点P且平行于极轴的直线方

程是（）

A."SinO=IB.psin8=小

C.pcosθ=1D.pcosθ=yβ

答案A

解析先将极坐标化成直角坐标表示，《2,目转化为直角坐标为X=PCOSe=2cos5=小，

y=psin0=2sin季=1,SP（√3,1）,过点（小，1）且平行于X轴的直线为y=l,再化为极坐标

为psinθ=1.

5.在直角坐标系x。)，中，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线

C的极坐标方程为0=2Sin仇则曲线C的直角坐标方程为.

答案x2+Cv-l)2=l

解析由〃=2sin8,得p2=2,sin0,所以曲线。的直角坐标方程为好+产―2,=。，即d+

UT)2=1.

6.(2018•北京卷)在极坐标系中,直线PCoS6+psin8=4(q>0)与圆〃=2COS。相切，则〃=

答案∣+√2

解析直线的方程为x+y-α=O,圆的方程为(X—l)2+y2=ι,所以圆心(1,0),半径r=l,

由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即ɪɪ浸=1，又。>0,所以a=l+√E∙

考点分层突破f考点聚焦・题型剖析

考点一平面直角坐标系中的伸缩变换师生共研

【例1】(1)曲线C:N+y2=1经过伸缩变换，—'得到曲线C',则曲线C'的方

Iy=y

程为.

fxf=2x,

(2)曲线C经过伸缩变换，后所得曲线的方程为x'2+y，2=1,则曲线C的方程

σ=3y

为.

χ'2

答案(l)h+y'2=1(2)4Λ2+9∕=1

解析(1)因为，一`

Iy=y，

所以，F

j=y'，

χ'2

代入曲线C的方程得U：~+y,2=L

W=2X9

⑵根据题意，曲线C经过伸缩变换，后所得曲线的方程为/2+y2=1,贝∣](2χ)2

口=3y

+(3y)2=l,即4/+9)2=1,所以曲线C的方程为4炉+9丁2=1.

x,=ZX(A>0),

感悟升华L平面上的曲线y=∕U)在变换小，的作用下的变换方程的求法

Iy=MM>0)

是将I,代入y=∕(x),得整理之后得到y'=h(x'),即为所求变换

b,=⅛r

之后的方程.

2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；

二是明确变换前的点P(X,y)与变换后的点P'(x',y')的坐标关系，用方程思想求解.

【训练1】(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换依］；,一：：则点A(},一2)经

过变换后所得的点4'的坐标为.

⑵双曲线C:x2-⅛=l经过伸缩变换φ-.,后所得曲线C的焦点坐标为

“I2y=y

答案(1)(1,-D(2)(-5,0),(5,0)

X

x'=3x,-3x，

解析(1)设A'(x',y'),由伸缩变换Q∙J,`得到＜,1由于点A的坐标

I2y=yU=P

为—2),于是x'=3×∣=1,y'=∣×(-2)=—1,所以点的坐标为(1‘-1).

f1,,

(2)设曲线C'上任意一点P(X',y'),将3代入炉一抬=1,得丁一M=

OH-y。4

Iy=2y，

X'2y'2

1,化简得于一七-=1,即为曲线C'的方程，知C'仍是双曲线，其焦点坐标分别为

(-5,0),(5,0).

考点二极坐标与直角坐标的互化自主演练

I.将直角坐标方程与极坐标方程互化：

(l)γ2=4x;

(2)∕+X2-2Λ-1=0；

-C兀

(3)。=押∈R);

(4)pcos2,=1；

(5)p2cos29=4；

(6)2=2-COS6

解(1)将X=PCOSay=psin。代入y2=4χ,得SSin9)2=4"CoS。.化简得〃Sin2j=4cos6.

⑵将X=PCOS8,y=psinθ代入y2+x2-2x~1=0,得SSin0)2÷(pcos0)2—2pcosΘ­1=0,

化简得P2-2ρcos8-1=0.

(3)当x≠0时，由于tan。=%故tang=?=/,化简得y二小X(X≠0);

当X=O时，y=0.显然(0,0)在上，故。=1S∈R)的直角坐标方程为

(4)因为PCOS弓=1,所以p∙----广一=L而2+pcos9=2,所以化简得y2=一

4(χ-1).

(5)因为p2cos26=4,所以p2cos¼-p2sin20=4,即x2-γ2=4.

(6)因为p=τ~.一R所以22一〃COSθ=1,

因此2#/+炉-X=[,化简得3x2+4y2-2%—1=0.

2.(1)若点P的极坐标为(3,一；)，求点P的直角坐标；

(2)求直线6=*"∈R)和圆?=2的交点的极坐标.

Λ=pcos0,

解由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它们之间可以互化，贝Il或

y=psιn/

22

ρ=y∣x+y9

tan

IX

八、场_.3√2-3√2

(T)P_3,θ—_甲故X—PCOSe_29y——2,

从而点P的直角坐标为(羊，一啜).

(2)显然(2,W是一个交点，由于圆和直线都关于原点对称，所以另一个交点是(2,空).

感悟升华1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；X=PCoSθ,y=

PSinθ,p2=x2+y2,tan6=*xz≠0).

2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意p,。的取值范围及其影响；要善于对方

程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.

考点三求曲线的极坐标方程师生共研

【例2】(2019•全国Il卷)在极坐标系中，0为极点，点MS。，%)So>O)在曲线C：0=4sin

。上，直线/过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

TT

⑴当夕0=]时，求Po及/的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

解(1)因为MS。，%)在曲线C上，

当为=W时，po=4sin^=2√3.

由已知得IoPI=KMlCOS§=2.

设QS,。)为/上除P外的任意一点.

在RtaOPQ中，pcos(。一：)=IoPI=2.

经检验，点、2,在曲线PCoS(6一5)=2上，

所以，/的极坐标方程为PCoS(O一号=2.

⑵设P(p,0),在RtZXOAP中，|。Pl=IoAlCoS6=4COSθ,即p=4cosθ.

因为「在线段OM上，且APLoM,

TTTT

所以。的取值范围是由，I.

ππ

所以，P点轨迹的极坐标方程为p=4cosaee[],2-

感悟升华求曲线的极坐标方程的步骤

(1)建立适当的极坐标系，设Rp,8)是曲线上任意一点.

(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径P和极角。之间的关系式.

(3)羽■列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.

【训练2]在极坐标系中，已知直线/的极坐标方程为PSinb+习=1,圆C的圆心是

《1，穿，半径为1.求：

(1)圆C的极坐标方程；

(2)直线/被圆C所截得的弦长.

解⑴设0为极点，Oo为圆C的直径，A(p,6)为圆C上的一个动点，贝1]NAO£>=；-6

TT

或NA。。=。一不

IOAl=I8|COS(Aa或IoAI=IoZ)ICOS(O一胃,

所以圆C的极坐标方程为p=2cos(e-：).

(2)由PSir1(。+：)=1,得乎0(Sin0+cosθ)=∖,

因为X=PCoSθ,y=psinθ,

所以直线/的直角坐标方程为x+y—√5=0,

又圆心C的直角坐标为RF,W)满足直线/的方程，

所以直线/过圆C的圆心，

故直线/被圆C所截得的弦长为直径2.

考点四极坐标方程的应用师生共研

【例3】(2021.郑州质检)已知曲线G：Λ2+(y—3)2=9,A是曲线G上的动点，以坐标原

点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点。为中心，将点A绕点。逆时针

旋转90。得到点8,设点B的轨迹方程为曲线C2.

⑴求曲线C∣,C2的极坐标方程；

Sir_

(2)射线e=wS>O)与曲线G,Q分别交于P,Q两点，定点M(—4,0),求aMPQ的面积.

解(1)曲线G：χ2+(γ-3)2=9,即/+y2—6y=0.

从而p2=6"sinθ.

所以曲线G的极坐标方程为p=6sinθ.

设B(p,仍，则。一D，

则有p=6sin(<9-&=_6cos8.

所以曲线C2的极坐标方程为P=-6cos0.

STrSTr

(2)M到射线e=χ^S>O)的距离为d=4sin%^=2,

射线6=3%>>0)与曲线Cl的交点P(Pp,引，

其中，pp=6sin^=3,

射线9=票S>0)与曲线C2的交点Q(P°，引，

其中，PQ=-6cosy=3√3,

则IPQI=以-Pd=3√5-3,

则SAMPQ=T∣PQ∣"=3小一3.

感悟升华1.若把直角坐标化为极坐标求极角，时，应注意判断点P所在的象限(即角J的

终边的位置)，以便正确地求出角。.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉

的问题.

2.在极坐标系中，如果Pl(P1,Θ↑),P2(p2,O2),那么两点间的距离公式∣P∣B∣=

∖ρτ+ρi—2〃∣p2c0s(仇—仇).

两种特殊情况：⑴当仇=9+2也,k∈Z时，F∣P2∣=H-P2∣;

（2）当仇=&+兀+2E,Λ∈Z,∣PιP2∣=hι+P2∣.

3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化

为直角坐标方程，然后求解.

x=2÷rcosφ,

【训练3】（2021.南昌模拟）在平面直角坐标系中，曲线Cl的参数方程为

y=rsinφ

（r>0,8为参数），以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G经过点

2

曲线C2的极坐标方程为p（2+cos26）=6.

（1）求曲线G的极坐标方程;

⑵若入仇，a-》α+∣）是曲线C2上两点，求j1.1

IOAFTlo©的值.

解（1）将Cl的参数方程化为普通方程得,

（X—2）2+3?2=/2,

由X=PeOSθ,y=psinθ得G的极坐标方程为p2-4pcos0÷4-r2=0,

将点、2小，§代入G中得，

12—8√3cos5+4—产=0,解得r2=4,

代入G的极坐标方程整理可得〃=4CoSθ,

/.Ci的极坐标方程为p=4cosθ.

π

（2）将点A∣"ι,a—B（P2,α+?代入曲线C2的极坐标方程得,

3,

汨2÷cos

），2+COS（2a+专）］=p12—cos（2a冶）

P'

1111.1

-∖0AΓ∖0B^pVpi

2+cos÷2-cos

=2

6ɪɜ'

课后巩固作业，分层训练・提升能力

1.（2020・江苏卷）在极坐标系中，已知点AQ∣,§在直线/：PeoS6=2上，点B&2,2在圆

C：p=4sin。上（其中O≤0<2π）.

⑴求"2的值；

(2)求出直线/与圆C的公共点的极坐标.

兀71

解(1)由〃]8SQ=2,得pι=4;p2=4sin5=2,

又(0,0(即(0,朋也在圆C上，因此"2=2或0.

pcos9=2,

⑵由得4sinOcos。=2,所以sin20=1.

p=4sinθ,

因为p20,0W0<2τc,所以6=；,p=2√2.

所以公共点的极坐标为

2.在极坐标系中，已知两点A(3,β(√2,。直线/的方程为psin(呜)=3.

⑴求A,B两点间的距离;

⑵求点B到直线/的距离.

解(1)设极点为。.在AOAB中，A3

由余弦定理，得

(2)因为直线/的方程为PSinM+习=3,

所以直线/过点(3卷倾斜角为当

又B(√L

所以点B到直线/的距离为

(3√2-√2)×sin(y-^)-2.

%—2—t—12,

3.(2020・全国川卷)在直角坐标系XOy中，曲线C的参数方程为，，“为参数且

y-2~3t+t-

r≠l),C与坐标轴交于A,B两点.

⑴求HBI；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线A3的极坐标方程.

解(1)因为f≠l,由2—f—∕2=0得，=—2,所以C与y轴的交点为(0,12)；

由2—3/+於=0得f=2,所以C与X轴的交点为(-4,0).故IABl=4√而.

(2)由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为5+右=1,将x="cos&y="sin9代入，得直

线AB的极坐标方程为3pcos(9-psin0+12=0.

4.(2021•贵州模拟)如图，在以。为极点，OX轴为极轴的极坐标系中，曲线Ci,C2,C3的

(1)若C∣,C2相交于异于极点的点M，求点M的极坐标S>0,O≤0<2π);

(2)若直线/：J=αSGR)与G，C3分别相交于异于极点的A,8两点，求IABl的最大值.

解(1)曲线G,C2的方程分别为p=4sinθ,

p=4sin^+v),相交于点M,

'p=4sin仇

所以「49+及

由于∕)>O,O≤6^2π,

所以O=季，ρ=2,故点从2,看).

(2)设43，α),B(p2,α),∖A,B∖=∖p∖­pι∖=4sina—4sin(a-引=4小卜in(a+*)∣W4√5,

所以IABI的最大值为4√3.

5.在直角坐标系Xo)，中，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Cl

的极坐标方程为PCoS6=4.

⑴设点M为曲线Cl上的动点，点P在线段OM上，且QMHoPl=16,求点P的轨迹Cz的

直角坐标方程；

⑵设点A的极坐标为(2,多，点8在曲线C?上，求AOAB面积的最大值.

解(1)设点P的极坐标为S，J)S>O),M的极坐标为Si，J)3>0)∙

4

由题设知IOPl=p,IoMl=Pl=嬴/.

由IoM∙∣0P∣=16得C2的极坐标方程为p=4cosθ(p>O).

因此C2的直角坐标方程为(x—2)2+∙Y2=4(X≠0).

(2)设点8的极坐标为SB,a)(pβ>O).

由题设知IOAl=2,∕>s=4cosa,

于是AOAB的面积S=∣∣(9A∣∙pβ∙sinZA0B

=4cos«•Isin^a-ɜJ∣

=21in(2a-§-乎I≤2+√3.

当。=一盍时，S取得最大值2+小.

所以aOAB面积的最大值为2+√l

x=2cosQ,

6.(2020•玉溪二模)已知曲线C：∖(α为参数)，设曲线C经过伸缩变换

y=2sιna

(x,=χ

\,1f得到曲线C',以直角坐标中的原点O为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极

Iy=2>,

坐标系.

(1)求曲线C'的极坐标方程；

(2)若A,B是曲线C'上的两个动点，且OALOB,求IO4F+∣OB∣2的最小值.

[x=2CoSa,

解(1)曲线C：3为参数)，转换为普通方程为/+炉=4,曲线C经过伸缩

Iy=2sιna

'x'—x,.

r)

变换V,1得到曲线C'：⅛+∕=l,极坐标方程为〃=/I=

y=^y4qi+3sm~0

(2)设AS1，例，β(p2,6+9，

44

所以QAF+∣03F=P?+P归京彘+正■病^

8+12(siM6+cos2、)____________20_________

=(1+3sin20(l+3cos2^)=(l+3sin20(l+3cos2/9)

_____________20_________________20___16

9=9与于

1+3(sin20÷cos20)+τsin2204+τsin220

当sin26=±l时，IOAF+1。BF取得最小值3

第2课时参数方程

考纲要求1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的

参数方程.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(X,y)都是某个变数t的函数

χ-J(t),

并且对于，的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(X,y)都在这条曲线上,

ly=g(f)

那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数X,y的变数t叫做参变数，简称参

数.

2.参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程,如果知道变数X,y中的一个与参数/的关系，例

χ=∕W，

如X=/⑺，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(f),那么,就是

3=g(f)

曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使X,y的取值范围保持一致.

3.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹普通方程参数方程

厂优=%=Ai)+/cosa,

直线..Q为参数)

tan«(x-ɪo)二=yo÷∕sma

X=rcosθ,

圆Λ2+y2=r2(。为参数)

y=rs↑nUn

ZTZZ

ɔJI7一x=acoss，

椭圆,.”为参数)

y=⅛sιnφ

l(α>∕7>0)

•——常用结论与微点提醒

⅛

I.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量X和y取值范围的扩大或缩小，必须根据

参数的取值范围，确定函数yω和g(r)的值域，即X和y的取值范围.

2.直线的参数方程中，参数f的系数的平方和为1时，f才有几何意义且几何意义为：用是

直线上任一点M(x,y)到Mo(XO，州)的距离.

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

x=flj),

(1)参数方程中的χ,y都是参数，的函数.()

3=g⑺

X=Xo+fcosa,

(2)过MOaO，州)，倾斜角为α的直线I的参数方程为，Q为参数).参数，的

)=泗十/Sma

几何意义表示：直线/上以定点MO为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段疝区的数

量•()

X=2CoS仇

(3)方程八(。为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.()

y=l+ι2sm0

∣x=2cos6

(4)已知椭圆的参数方程。为参数)，点M在椭圆上，对应参数Z=以π点。为原

[y=4sint3

点，则直线OM的斜率为√i()

答案⑴√(2)√(3)√(4)×

解析(4)当，=鼻时，点M的坐标为(2COS$4sin1),即M(l,2∙∖∕5),二OM的斜率α=2小.

〉教材衍化

IX=-1÷cosθ,

2.曲线一."S为参数)的对称中心()

Iy=2+sinθ

A.在直线y=2x上B.在直线y=—2x上

C.在直线y=x—1上D.在直线y=x+l上

答案B

X=­1+cosθ,cosθ-x+1,

解析由得

.y=2+sinθsinθ-y-2.

所以(x+1)2+6—2)2=1.曲线是以(一1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(一1,2),

在直线y=-2x上.

x=3cosφ,

3.在平面直角坐标系xθy中，若直线/：{t为参数)过椭圆C：

.y=2sin(P

为参数)的右顶点，则常数a的值是.

答案3

解析直线/的普通方程为x—y—α=0,椭圆C的普通方程为看+9=1,所以椭圆C的右

顶点坐标为(3,0),若直线/过点(3,0),则3—〃=0,所以。=3.

►•考题体验

X—1+3f,

4.(2019•北京卷)已知直线/的参数方程为Q为参数)，则点(1,0)到直线/的距

[y=2+ι4f

离是()

6

ABD.

∙5-55

答案D

解析由题意可知直线/的普通方程为4χ-3γ+2=0,则点（1,0）到直线/的距离d=

∣4X1—3X0+2∣=∙∣.故选D.

√42+(-3)2

X=Zcosa,

5.已知直线/的参数方程是。为参数），若/与圆N+j2—4x+3=0交于A,B

Iy=ISIna

两点，且HBI=小，则直线/的斜率为.

”:案+亚^

口不^15

x=fcosα,

解析由彳。为参数），得y=xtanα,

j=%sιna

设k=Ianα,得直线的方程为y=⅛‰

由/+产―4X+3=0,得（x—2）2+y2=l,圆心为（2,0）,半径为1,

・•・圆心到直线y="的距离为

[x=2÷2cosθ,

6.（2019•天津卷）设直线αχ-y+2=0和圆

[y=l+2sinθ

（。为参数）相切，则实数Q=.

3

答案4

解析圆的参数方程消去仇得（X—2）2+0—1）2=4.

圆心（2,1）,半径r=2.

又直线Or—y+2=0与圆相切.

∣2t∕-l+2∣3

d==2,解得

yja2-∖^1

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一参数方程与普通方程的互化自主演练

I.下列参数方程与方程γ2=x表示同一曲线的是（）

x=tfX=Sin2/,

A.B.

y=t2J=Sint

1—cos2t

x=t,

X1+cos2f

C.D.1

j=√7ιj=tant

答案D

解析对于A,消去，后所得方程为炉=),,不符合V=心对于B,消去/后所得方程为V

=χ,但要求0≤%≤l,也不符合V=x；对于C,消去/得方程为V=R,且要求yeo,x

也不符合2对于;1—c匕o一s2彳/=部ɔein-f2符合.故选

∈R,y=x;D,X==tan2f=y,V=XD.

1Icos/rI

2.把下列参数方程化为普通方程.

X=1+J,

⑴,（f为参数）;

y=5

X=Sinθ,

（2>“（。为参数，0∈[O,2π））.

J=COS化

解(1)由已知得，=2x—2,代入y=5+坐，中得y=5+乎(2χ-2).

即它的普通方程为√5x—y+5—√5=0∙

(2)因为sin20+cos20=1,所以x2+y=1,即y=1-χ2.

又因为ISin0∣≤1,所以其普通方程为y=l—x2(∣x∣≤l)∙

3.将下列参数方程化成普通方程.

X=P-1>

（1›,.（f为参数）;

y=t2+∖1

X=COSθ,

为参数，，

（2）'6θe5

,y=sinθ

解(1)消去参数f,得y=x+2,由于户》0,所以普通方程为y=χ+2(χ>-i),表示一条射

线.

(2)消去参数θ,得/+y2=l,由于J∈ɪ,兀，所以x∈[-1,0],yeLOJJ,所以普通方程

为/+y2=1(-IWxWO,OWyWl),表示圆的四分之一.

感悟升华1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去

法、加减消去法、恒等式(三南的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.

2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方

程直接写出.

考点二参数方程的应用师生共研

X=3COSθ,

【例1】在直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为C(6为参数)，直线/

j=sιnθ

[x=a+4t,

的参数方程为Q为参数).

Iy=I

(1)若4=-1,求C与/的交点坐标；

(2)若C上的点到/距离的最大值为4万，求α

解(I)Q=-I时，直线/的普通方程为x+4y-3=0.

曲线C的标准方程是看+)2=1,

x+4y—3=0,

联立方程1χ2x=3

解得•

y+y2=ɪ，J=O

(2)直线I的普通方程是x+4y-4-a=0.

设曲线。上点P(3cos0,sinθ),

Ll丁】叱f∣3CoSo+4Sine—4—α∣∣5Sin(O+勿)-4—∙α∣

则P到/距离d=--------而-----I=J_----l,

3

其中tan0=]

又点C到直线/距离的最大值为M万，

所以∣5sin(6+o)-4-3的最大值为17.

若则一5—4—a=—17,,4=8.

若”0,则5—4—a=17,・•・〃=-16.

综上，实数。的值为。=-16或α=8.

x=λ∕5cosα,

【例2】(2021∙河南省八市重点高中联考)在直角坐标系JVoy中，曲线G：J

j=2÷∖5sina

(。为参数).以原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：p2=4.cos夕一

3.

(1)求G的普通方程和C2的直角坐标方程；

⑵若曲线G与C2交于A,B两点，A,3的中点为点尸(0,-1),求IPM∙∣AB∣的值.

解(1)曲线α的普通方程为/+(γ-2)2=5.

由p2=A2+)2,PCOSe=X,得曲线。2的直角坐标方程为X2+J2-4X+3=0.

(2)将两圆的方程x2+(y-2)2=5与x2+y2-4x+3=0作差，得直线AB的方程为χ-y-l=

0.

点P(0,—1)在直线AB上，设直线AB的参数方程为«为参数),

代入/+>2—4x+3=0化简得产一3Λ∕2Z+4=0,显然/>0,所以f】+，2=3，^,∕∣∕2=4.

因为点M对应的参数为中=平，

所以IPMMBI="苧∙∣rl-f2∣

—3^^×∙∖J(fι+⅛)2—4Z√2—3^^×^∖∣18—4X4=3.

感悟升华1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，

尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值

条件求解.

X=ʃθ-∣-/cosQf,

2.过定点Po(XO,州)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为,,«为参数),

J=)'o+fsina

一[x=xo+αr,

r的几何意义是POP的数量，即I力表示PO到尸的距离，f有正负之分.对于形如

[y=yo+bt

(f为参数)，当“2+∕≠l时，应先化为标准形式后才能利用f的几何意义解题.

X=COSθ,

【训练1】(2021•南昌摸底测试)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(。为

.y=cos2θ

x=t,

参数)，直线/的参数方程为«为参数）.

j=-5+2l√2r/

(1)求曲线C和直线/的普通方程；

(2)设RQ分别是直线/和曲线C上的动点，求∣P0∣的最小值.

解⑴因为y=cos26=2cos2。-1,X=COS仇

所以曲线C:y=2Λ2—1(-lWx≤l)