猜题01 直线与方程（易错必刷53题11种题型专项训练）（解析版）

猜题01直线与方程（易错必刷53题11种题型专项训练）题型一：斜率与倾斜角的关系题型二：直线与线段的相交关系求斜率范围题型三：直线方程的求法及应用题型四：两直线的平行与垂直题型五：两直线的交点题型六：两点距离、点到直线的距离、平行直线的距离问题题型七：线段和差最值问题题型八：直线与坐标轴围成的面积问题题型九：点线对称、线点对称、线线对称问题题型十：坐标法的应用题型十一：距离新定义题型一：斜率与倾斜角的关系1．（2023·黑龙江鸡西·高二校考期末）直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，所以该直线的斜率为：.设直线倾斜角为，则，且，所以.故选：C2．（2023·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（

）A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°B．经过两点的直线的倾斜角为锐角C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应【答案】D【解析】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为，故A错误；B：过点A、B的直线的斜率为，即(为直线的倾斜角)，则为钝角，故B错误；C：当直线的倾斜角为时，该直线的斜率不存在，故C错误；D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.故选：D.3．（2023·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，如图所示：由此可得.故选：A.4．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）已知直线上有点，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】因为直线上有点，所以，解得，又，所以l的倾斜角为2．故选：D．题型二：直线与线段的相交关系求斜率范围5．（2023·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图所示，，因为为的边上一动点，所以直线斜率的变化范围是.故选：D.6．（2023·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题知，直线的倾斜角为，则，，，且直线与连接点，的线段总有公共点，如下图所示，则，即，.故选：B7．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】设直线与线段交于点，其中，所以，.故选：A.8．（2023·福建南平·高一统考期末）已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】即，又因为，所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则，所以直线斜率故选：A题型三：直线方程的求法及应用9．（2023·陕西西安·高二统考期末）已知的三个顶点是．(1)求边的垂直平分线的方程；(2)求边的中线所在直线的方程．【解析】（1）∵，∴边的垂直平分线的斜率．又边的中点坐标为，∴边的垂直平分线的方程为，即．（2）∵边的中线所在直线过点和，∴边的中线所在直线的方程为，即．10．（2023·山东聊城·高二统考期末）已知的边所在直线的方程分别为，，点在边上．(1)若为直角三角形，求边所在直线的方程；(2)若为的中点，求边所在直线的方程．【解析】（1）由的边所在直线的方程分别为，,可知角不是直角，若角是直角，由点在边上，得边所在直线的方程为；若角是直角，由边所在直线的方程为，得边所在直线的斜率为，又点在边上，所以边所在直线的方程为，即．（2）由题意可设，由为的中点，得，将点的坐标代入边所在直线的方程，得，所以，解得，所以，得边所在直线的斜率为，所以边所在直线的方程为，即．11．（2023·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线过点．(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)若直线的一个方向向量为，求直线的方程．【解析】（1）因为直线与直线垂直，故设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为.（2）因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又直线过点，所以直线方程为，整理得.12．（2023·重庆·高二校联考阶段练习）在中，已知点，，．(1)求BC边上中线的方程．(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．【解析】（1）BC中点，即，故BC边上中线的方程为，即；（2）直线过B点且x轴上截距是y轴上截距的2倍，i.若直线过原点，则直线方程为，即；ii.若直线不过原点，设y轴上截距为m，则直线方程为，代入B点解得，故直线方程为，即；故该直线的一般式方程为或.题型四：两直线的平行与垂直13．（2023·辽宁锦州·高二校联考期末）直线，若，则；若，则.【答案】或【解析】因为，所以，解得或，因为，所以，解得，经检验符合题意，所以.故答案为：或；.14．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期末）已知直线与平行，则实数的值为.【答案】或【解析】因为直线与平行，所以，解得或.故答案为：或.15．（2023·河南三门峡·高二统考期末）已知直线与平行，则实数．【答案】0或【解析】因为直线与平行，所以，解得或，经检验，此时两直线平行.故答案为：0或16．（2023·上海虹口·高二统考期末）若直线：.与直线：互相垂直，则实数的值为.【答案】/【解析】直线与直线垂直，，解得．故答案为：．题型五：两直线的交点17．（2023·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为．【答案】2【解析】直线过定点，过定点，当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而；当时，易求得，此时，综上可知，．故答案为：218．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）直线，当m变动时，所有直线都通过定点.【答案】【解析】将直线方程化为.解，可得，所以，当m变动时，所有直线都通过定点.故答案为：.19．（2023·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）经过直线与直线的交点且在轴上截距为6的直线方程是．【答案】【解析】联立直线与直线的方程，解得，即交点坐标为.由直线在轴上截距为6，即直线过点，斜率，所以直线的方程为，化为一般式方程可得.故答案为：.20．（2023·江苏连云港·高二期末）已知点，直线，且点在直线上，，则点的坐标是．【答案】【解析】由题知，点，直线，且点在直线上，，所以，设，所以由题意可得：，解得：，所以点的坐标为，故答案为：21．（2023·江苏淮安·高二统考期末）若三条直线，，交于一点，则实数值为．【答案】【解析】联立，解得，即直线与直线的交点为，所以直线过点，即，解得，故答案为：.22．（2023·高一单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即交点为.因为交点在第一象限，所以.故选：A题型六：两点距离、点到直线的距离、平行直线的距离问题23．（2023·辽宁·高二校联考期末）已知函数的图象与函数和函数的图象分别交于两点，若，则．【答案】4【解析】因为，所以函数的图象恒在函数上方，设，，则，，由可得，又因为所在直线的斜率为，所以，因为，所以，即，解得，因为，所以，代入函数，可得．故答案为：24．（2023·上海青浦·高二统考期末）点到直线的距离为．【答案】【解析】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故答案为：.25．（2023·江西抚州·高二统考期末）若直线：与：平行，则与之间的距离为．【答案】【解析】因为直线：与：平行，所以，解得，所以直线：与：平行，所以与之间的距离为.故答案为：.26．（2023·江苏连云港·高二期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是．【答案】【解析】设线段的中点为,因为点到与的距离相等,故，解得,则点．直线的方程为,即．故答案为：27．（2023·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知点，到直线的距离相等，则实数的值为【答案】或【解析】因为点，到直线的距离相等，所以，解得或，故答案为：或28．（2023·广西防城港·高二统考期末）两平行直线与之间的距离是.【答案】【解析】因为，所以有，所以直线的方程为：，化简为：，因此这两条平行直线之间的距离为：，故答案为：题型七：线段和差最值问题29．（2023·上海徐汇·统考一模）已知正实数满足，则的取最小值.【答案】【解析】设直线，点在直线上，且在第一象限，设点，所以，如图所示，点A关于直线对称的点设为，则有解得，所以，由图可知，当在直线时，最小，最小值为，即的最小值为，故答案为：.30．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为.【答案】/【解析】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有，连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，因此的最小值，即的最小值，而，所以的最小值为=故答案为：31．（2023·内蒙古赤峰·高二统考期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为．【答案】【解析】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：.故答案为：.32．（2023·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）若，则的最小值是.【答案】【解析】，表示点到点和点的距离之和，关于轴的对称点为，在轴上任取一点，则（当且仅当为线段与轴交点时取等号），的最小值为.故答案为：.33．（2023·江苏淮安·高二统考期末）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为．【答案】【解析】动直线过定点，即，动直线过定点，即，对于动直线与动直线，因为，所以动直线与动直线相互垂直，所以点轨迹为以AB为直径的圆，，，当且仅当时取等号，的最大值为故答案为：.34．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，，圆：，M，N分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为.【答案】6【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为1，在圆中，圆心，半径为3，是直线上的动点，连接，，则的最小值为，的最小值为，则的最小为.设圆心关于直线的对称点为，连接，，则解得故，∴，∴的最小值为.故答案为：6.35．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是．【答案】.【解析】由直线分别交轴和于点，可得，如图所示，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，又由，即，则，当且仅当三点共线时，等号成立，即的最大值为，即的最大值为.故答案为：.题型八：直线与坐标轴围成的面积问题36．（2023·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．(1)在轴、轴上的截距互为相反数；(2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．【解析】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，②当直线不经过原点时，设直线的方程为在直线上，，，即．综上所述直线的方程为或（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得，故，故，当且仅当，即时等号成立，故此时面积最小为,故直线方程为，即37．（2023·湖北武汉·高二统考期末）已知直线方程为．(1)若直线的倾斜角为，求的值；(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．【解析】（1）由题意可得.（2）在直线的方程中，令可得，即点，令可得，即点，由已知可得，解得，所以，，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.38．（2023·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)时，求直线l的方程．(2)当的面积最小时，求直线l的方程．【解析】（1）作，则.由三角形相似，，可求得，，∴方程为，即；（2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，，∵l过点，∴，解得，∴的面积，化简，得.①∴，解得或（舍去）.∴S的最小值为4，将代入①式，得，解得，∴.∴直线l的方程为.39．（2023·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）设直线l的方程为(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为.当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:.综上所述，直线的方程为或.（2）,∵不经过第二象限,∴,解得.∴实数的取值范围是.（3）令,解得,解得;令,解得,解得或.综上有.∴,当且仅当时取等号.∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即题型九：点线对称、线点对称、线线对称问题40．（2023·广东佛山·高二统考期中）点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，故点关于直线对称的点的坐标为，故选：B41．（2023·安徽·高二校联考期中）如图，已知某光线从点射出，经过直线上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线上的点C后再次反射，该反射光线经过点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】设点关于的对称点为，则有，解得，所以，.又点关于的对称点为，根据光的反射原理，可知点与点，均在直线上，所以．故选：D.42．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点和，线段中点为点,折线即为线段的中垂线，则，，所以，直线的斜率为，则折线斜率为2，所以折线方程为：，由题知与关于折线对称，则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，所以化简得，解得，所以.故选：A43．（2023·高二课时练习）关于原点对称的直线是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于直线，将换为，换为得到，即，所以直线关于原点对称的直线是.故选：C44．（2023·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【解析】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B．45．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为，在上取一点，设它关于直线的对称点为，则有，整理得，解得，即，由，，可得所求直线方程为，即，故选：C.46．（2023·全国·高二期中）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】设关于轴对称的直线上的任意一点，则关于轴的对称点在直线上，故，即即为所求．故选：A．题型十：坐标法的应用47．（2023·全国·高二课堂例题）建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．【解析】设是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴，过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立直角坐标系．设，，则．直线AB的方程为，即．直线BC的方程为，即．设底边AC上任意一点为，则点P到直线AB的距离为，点P到直线BC的距离为，点A到直线BC的距离为．所以．因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．48．（2023·浙江绍兴·高二统考期末）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.(1)若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?(2)若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.【解析】（1）根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，当时，则轮船返港的直线为，因为没有触礁危险，所以原点到的距离，解得.（2）根据题意可得，，点C在直线上，故点C，设轮船返港的直线是，则，所以.当且仅当时取到最小值.49．（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知直线，直线和．(1)求证：直线恒过定点；(2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为，，若恰为的中点，求．【解析】（1）由题，可化为，由于，令，可得，所以，解得，即直线恒过定点．所以直线恒过定点.（2）由（1）知，不妨设，由题意可知，恰为的中点，所以，因为，分别在直线和直线上，所以，解得，所以，将代入直线方程，解得．所以的值为.50．（2023·高二课时练习）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：(1)外心的坐标；(2)重心的坐标；(3)垂心的坐标．【解析】（1）中点为且，垂直平分线方程为：，即，由得：，即外心.（2）设，则重心，将代入欧拉线得：，即…①；由得：…②；由①②得：或（与重合，不合题意），，重心.（3）由（2）知：；由（1）知：，边的高所在直线方程为：，即；由得：，垂心.题型十一：距离新定义51．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（

）（参考数据：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948【答案】B【解析】设，由题意可得：，即，可知表示正方形，其中，即点在正方形的边上运动，因为，由图可知：