第04讲 4.3.1等比数列的概念（解析版）

第04讲4.3.1等比数列的概念课程标准学习目标①理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念。②能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题.。能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题知识点01：等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()符号语言（或者）(为常数，，)知识点02：等比中项如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.【即学即练1】（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）在等比数列中，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，∴．故选：D知识点03：等比数列的通项公式一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比．知识点04：等比数列的单调性已知等比数列的首项为，公比为1、当或时，等比数列为递增数列；2、当或时，等比数列为递减数列；3、当时，等比数列为常数列（）4、当时，等比数列为摆动数列.【即学即练2】（2023春·高二课时练习）已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】A【详解】当公比且时，，，此时，，不递增，充分性不成立，当等比数列为递增数列时，，显然必要性成立.综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件.故选：A知识点05：等比数列的判断（证明）1、定义：（或者）（可判断，可证明）2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）知识点06：等比数列常用性质设数列是等比数列，是其前项和．（1）(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().(4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．【即学即练3】（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）在等比数列中，若，则的公比（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【详解】是等比数列，依题意，，所以.故选：B题型01等比数列通项公式的应用【典例1】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，且，则.【答案】【详解】①，当时，，解得，当时，②，①-②得，，即，所以，是首项为-1，公比是2的等比数列，故.故答案为：【典例2】（2023春·北京东城·高二统考期末）已知数列的首项，且，那么；数列的通项公式为.【答案】4【详解】由题意数列的首项，且，那么；由此可知，故，则数列为首项是，公比为2的等比数列，故，首项也适合该式，故答案为：4；【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是公比为q的等比数列．(1)若，，求的通项公式；(2)若，，，求n．【答案】(1)(2)9【详解】（1）由等比数列的通项公式可知，，两式相除得，即．所以．因此，这个数列的通项公式是．（2）因为，，所以．又，因此，即．【变式1】（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，当时，，因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，，故选：C.【变式2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知各项均为正数的等比数列满足，且，则【答案】【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，又，所以，解得，即，所以.故答案为:.【变式3】（2023秋·高二课时练习）在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）等比数列中，，，则.（2）等比数列中，，，，由，可得.（3）等比数列中，，，由，可得.（4）等比数列中，，，由，可得.题型02等比中项【典例1】（2023秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则（

）A． B． C．或 D．【答案】A【详解】由于，是方程的两根，所以，由于，所以为正数，所以．所以．故选：A.【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．(1)求45和80的等比中项；(2)已知两个数和的等比中项是2k，求k．【答案】(1)(2)或【详解】（1）设为45和80的等比中项，则，所以.所以45和80的等比中项为（2）两个数和的等比中项是，所以，，，解得或，此时，，满足题意，所以或.【变式1】（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知等差数列的公差不为0，若，，成等比数列，则这个等比数列的公比是（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【详解】等差数列,设公差为d，因为，，成等比数列，故，又因为公差不为0，，所以，则这个等比数列的公比是.故选：B【变式2】（2023春·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得所以，故，且，故选：D题型03等比数列的判断与证明【典例1】（2023·全国·高二专题练习）如果数列是等比数列，那么（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】C【详解】对于C，设等比数列的公比为，则，所以为非零常数，则数列是等比数列，故C正确；对于ABD，取，则，数列是等比数列，则，，，故，，，所以，则数列不是等比数列，故A错误.而，，，显然，所以数列不是等比数列，故B错误.而，，，则，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：C.【典例2】（2023·高二课时练习）函数（为常数，且），数列是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列是等比数列．【答案】证明见解析【详解】数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，，可得，，且k>0，k≠1，所以，∴数列是等比数列.【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，求的通项公式．【答案】【详解】解：由可得：，因为，所以，所以是以1为首项3为公比的等比数列，所以，所以．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，．(1)求证：是等比数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明详见解析；(2).【详解】（1）依题意，数列中，，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得：数列是首项为，公比为的等比数列，所以.【变式2】（2023春·高二课时练习）已知数列中，，.证明：数列是等比数列；【答案】证明见解析【详解】证明：因为，，所以，所以，，又，所以为首项是4，公比为2的等比数列.题型04等比数列性质的应用【典例1】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，（

）A．24 B．32 C．36 D．40【答案】C【详解】因为是正项等比数列，，所以，则，所以.故选：C.【典例2】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在正项等比数列中，，则的最小值是（

）A．12 B．18 C．24 D．36【答案】C【详解】在正项等比数列中，，所以，当且仅当即时，等号成立，即的最小值是24.故选：C.【典例3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程的两个根，则.【答案】5【详解】因为与是方程的两个根，所以，因为为正项等比数列，所以，所以，故答案为：5.【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵数列是等差数列，且，∴，可得，则.∵数列是等比数列，∴，又由题意，∴，∴，∴，∴.故选：D．【变式2】（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知在等比数列中，，是方程的两个实数根，则．【答案】【详解】∵，是方程的两个实数根，∴，，故，，根据等比数列的性质有：且，故．故答案为：【变式3】（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）正项等比数列中，，则的值是．【答案】8【详解】因为正项等比数列中，，所以，故答案为：8题型05构造等比数列求通项公式（构造法求通项）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，，则数列的通项公式为.【答案】/【详解】由得，又故是以公比为2的等比数列，且首项为，因此，故,故答案为：【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式；【答案】【详解】∵，∴，∴.又∵，故是以2为首项，2为公比的等比数列,∴，则．【典例3】（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在数列中，，(1)证明：数列是等比数列；(2)若，，求数列的前n项和Sn．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：由得.因为，所以，所以所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得，∴，.∴【变式1】（2023秋·福建福州·高二校联考期末）已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式.【答案】证明过程见详解，.【详解】因为，所以，又，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，则，所以【变式2】（2023春·高二课时练习）数列满足.(1)若，求证：为等比数列；(2)求的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由于，所以，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得，所以.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.(1)写出该数列的前项；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)，，，，(2)【详解】（1），，，，.（2）由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，.题型06等比数列在传统文化中的应用1．（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】第一种挖掉的三角形边长为，共个，面积为；第二种挖掉的三角形边长为，共个，面积为，第三种挖掉的三角形边长为，共个，面积为，故被挖去的三角形面积之和是.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（

）

A．2 B． C． D．3【答案】C【详解】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的，因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以为首项，为公比的等比数列，所以当进行三次操作后的曲线长度为.故选：C3．（2023·北京·高三专题练习）“十二平均律”

是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．【答案】D【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.4．（2023秋·福建三明·高三统考期末）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为3，则第4个图形的周长为.

【答案】【详解】由题意，当时，第1个图中的三角形的边长为，三角形的周长为；当时，第2个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，其“雪花曲线”周长为；当时，第3个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，其“雪花曲线”周长为；当时，第4个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，其“雪花曲线”周长为.故答案为：.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）设是等比数列，且，，则（

）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】C【详解】在等比数列中，设公比为，∵，，∴，∴，故选：C.2．（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）在等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，解得：.故选：C.3．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）数列1，1，1，…，1，…必为（

）A．等差数列，但不是等比数列 B．等比数列，但不是等差数列C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列【答案】C【详解】数列1，1，1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列.故选：C.4．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，，则（

）A． B． C．27 D．【答案】D【详解】设的公比为，则，，．因为，所以，因为，所以，所以．因为的各项均为正数，所以．因为，所以．故选：D5．（2023秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知数列满足，若，则（

）A． B． C．12 D．36【答案】D【详解】由可知数列是公比为的等比数列，所以，解得：.故选：D.6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，成等比数列，所以，又，所以，显然，所以，即，所以，又，所以.故选：B7．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形；同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5次分形后图形长度为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，，则一次分形长度为，二次分形长度为，，次分形后线段的长度为，故5次分形后长度为，故选：C.8．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）正项等比数列中，，若，则的最小值等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】设的公比为，则，因为，所以，解得或（舍去），，故，即，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值等于故选：D二、多选题9．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）已知数列的首项为4，且满足，则（

）A．为等差数列 B．为递增数列C．为等比数列 D．的前项和【答案】BCD【详解】由可得，所以数列为等比数列，且公比为2，故A错误，C正确，，由于均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以为递增数列，B正确，，设的前项和为，则，D正确，故选：BCD10．（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）下列命题中，正确的有（

）A．数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件B．数列的通项为，若为单调递增数列，则C．等比数列中，，是方程的两根，则D．等差数列，的前n项和为分别为，，若，则【答案】AD【详解】A：因为当时，显然数列不可能是等比数列，但是是公比为2的等比数列一定有成立，因此选项A正确；B：因为为单调递增数列，所以有，因为函数是减函数，所以，因此选项B不正确；C：因为在等比数列中，设公比为，，是方程的两根，所以有，于是有，而，所以，因此选项C不正确；D：因为等差数列，的前n项和为分别为，，所以由，因此选项D正确，故选：AD三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则通项公式.【答案】【详解】，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，因此，故答案为：12．（2023春·江西·高二统考期末）记等比数列的前n项和为，且，则.【答案】【详解】当时，；当时，，由数列是等比数列，则，则，解得.故答案为：.四、解答题13．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）数列的满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和．【答案】(1)(2)1473【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，即．（2）由得，，因为，所以中要去掉数列的项有5项，所以．14．（2023秋·江苏·高二专题练习）设各项都是正数的数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求数列的通项公式．【答案】(1)(2)【详解】（1）已知，得，两式作差，得，即．又数列的各项都是正数，所以，所以，显然数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；（2）由（1）得，故，而，故是首项为，公比为3的等比数列，所以，故.B能力提升1．（2023秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）0.618是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约为（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】第一个黄金三角形的底为，由得腰长，记第个黄金三角形的底边长为，当时，第个黄金三角形的底边长为，腰长为，而第个黄金三角形的底边长为第个黄金三角形的腰长，则，因此，各个黄金三角形的底边长依次排成一列得数列，是首项为2，公比为的等比数列，第个黄金三角形的底边长，腰长为，周长为，所以第2023个黄金三角形的周长大约为.故选：D2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）符号表示不超过实数的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，则，且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，所以，，①由可得，且，所以，数列为常数列，且，②由①②可得，因为，，则，所以，，所以，，所以，，所以，，因此，.故选：B.3．（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已如公比不为1的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设等比数列的公比为，因为，