必修4：正弦函数、余弦函数的图像与性质

§正弦函数、余弦函数的图像【三维目标】1.要求学生了解用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，2.学会用诱导公式，平移正弦曲线获得余弦函数图象．3.通过分析掌握五点法画正〔余〕弦函数图象．4.培养学生利用类比的思想方法研究正弦、余弦问题；培养学生的动手操作能力．【预习要点】〔1〕正弦函数、余弦函数的解析式各是什么？__________________________。〔2〕我们在必修一学习了指数函数、对数函数以及幂函数，请同学们思考并答复：如何绘制函数的图像？_____________________________________________________________________________________________【学习内容】〔一〕用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象〔几何法〕：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否那么所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．〔1〕函数y=sinx的图象第一步：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线〔等价于“列表”〕.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，那么正弦线的终点就是正弦函数图象上的点〔等价于“描点”〕.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．探究1：你能由y=sinx，x∈[0，2π]的图像得到y=sinx，x∈R的图象吗？说明理由。_____________________________________________________________________________________。〔2〕余弦函数y=cosx的图象探究2：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为根底，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？____________________________________________________________________________________。正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．探究3：根据正余弦函数图像的特点，我们在精确度不高的情况下，如何更快地做出正余弦曲线？___________________________________________________________________________________。〔二〕．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图〔五点法〕：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：_______________________________。余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是_________________________________________。〔三〕例题例1、画出以下函数的简图(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π].探究4：如何利用y=sinx，的图象，通过图形变换〔平移、对称等〕来得到〔1〕y＝1＋sinx,的图象；〔2〕y=sin(x-π/3)的图象？小结：_____________________________________________________________________________。探究5：如何利用y=cosx，的图象，通过图形变换〔平移、对称等〕来得到y＝-cosx，的图象？探究6：如何利用,的图像得到,和,的图像？例2、分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足以下条件的x的集合：〔2〕【课堂练习】画出函数，的简图。利用函数的图象求满足条件的x的集合：【课堂小结】_____________________________________________。§正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1.结合正弦函数、余弦函数图像理解正、余弦函数的性质.2.会运用正、余弦函数的图像及性质解决相关问题.【预习要点】〔1〕正弦函数、余弦函数的图像是怎样的，请在“学习内容”模块表格中做出正、余弦函数的图像？〔2〕对于函数，如果存在，使得当取时，都有。那么函数就叫做周期函数就叫做这个函数的周期。写出以下函数的一个周期①②③〔3〕〔=1\*ROMANI〕什么是最小正周期？〔=2\*ROMANII〕正弦函数和余弦函数的周期和最小正周期：周期最小正周期y=sinxy=cosx〔4〕什么是函数的单调性，奇偶性？怎样判断一个函数的奇偶性？【学习内容】〔一〕比拟正余弦函数的性质：函数名图像定义域值域奇偶性对称轴对称中心最值位置最最大值：最最小值：最最大值：最最小值：周期性增区间减区间〔二〕例题例1求以下函数的定义域(1)(2)(3)例2求以下函数值域(1)(2)(3)(4)提高题：〔1〕函数的定义域为,值域为.求的值.〔2〕求函数的最大值例3(1)函数图象的对称轴是____;对称中心是____(2)函数图象的对称轴是_____;对称中心是__.(3)函数图象的对称轴是__;对称中心是__.例4求使以下函数取得最大值的自变量()的集合,并说出最大值是什么?〔1〕〔2〕〔3〕例5判断以下函数奇偶性〔1〕(2)提高题：(1),且,求.(2)假设为奇函数,且当时,,求当时,的解析式.例6试确定以下函数的单调递增区间〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕例7不通过求值,比拟以下各式的大小:(1),(2),(3),(4),,例8、假设函数的定义域为,对于任意，都有。证明：函数是周期为的函数。【课后练习】1.以下四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是〔〕.A.B.C.D.2.函数图象的一条对称轴方程为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.结合图像，方程sinx=x的解的个数为___________。4.函数值的大小顺序是.5.函数的定义域是6.函数的单调增区间为7、函数的图象大致是8.(1)求的最小正周期(2)求的最值及相应的值(3)求的单调区间〔〕9.函数,且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点〔1,2〕.〔1〕求(2)求的单增区间〔=2\*ROMAN3〕计算.§正切函数的性质与图像【学习目标及重难点】学习目标:〔1〕理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的根本性质．〔2〕在探究正切函数根本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．〔3〕在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．教学重点：正切函数的性质。教学难点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；【温故知新】画出以下各角的正切线：【问题探究】探究一、正切函数的解析式及其定义域正切函数的解析式：_________________;其定义域为_________________。探究二、正切函数的值域通过观察任意角的正切线的变化情况，你能得出的值域吗？探究三、正切函数的周期性根据_______________,我们可以得出函数的一个周期为。思考：是函数的最小正周期吗？为什么？探究四、正切函数的奇偶性根据_______________,我们可以得出函数是___函数。探究五、正切函数的单调性根据正切线的变化规律，正切函数在上为_________，由于正切函数的最小正周期为，所以正切函数的单调增区间为_______________________。探究六、根据对正切函数性质的了解，作出在一个周期上的图像。1、根据正切函数的周期性，我们可以先画出一个适宜的、长度为的区间上的图像，选择哪一个呢？选择区间；简单说明选择的理由．〔2〕借助于正切线，描点，然后用光滑的曲线顺次连接，得到函数在上的图像．〔3〕根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数的图像．探究七：认真观察正切函数的图像，发现有何特征？1、正切函数的图像是被相互平行的直线___________所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的．2、对每一个，在开区间内，函数单调递增．3、正切函数的图像关于原点对称,问：还有其他的对称中心吗？其对称中心的坐标是_____________。【典例精讲】求函数的定义域和对称中心。例2、不通过求值，比拟以下各组中两个正切函数值的大小：〔1〕与；〔2〕与．例3、函数y=tanx，〔1〕假设,求y的取值范围；〔2〕假设,求y的取值范围．例4、函数求的定义域和周期；〔2〕求函数的对称中心〔3〕求函数的单调