《4.5.1函数的零点与方程的解》同步练习及答案（共四套）

《4.5.1函数的零点与方程的解》分层同步练习（一）基础巩固1.函数y=4x-2的零点是()(A)2 (B)(-2,0) (C)（,0） (D)2.下列图象表示的函数中没有零点的是()3.函数f(x)=lnx+x2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a的取值范围是()(A)(-e2,0) (B)(-e2,1)(C)(1,e) (D)(1,e2)4.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为()(A)[14,12] (B)[18,14](C)[0,15.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是()(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)27.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是.

8.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.能力提升9.如果关于x的方程2x+1-a=0有实数根,则a的取值范围是()(A)[2,+∞) (B)(-1,2](C)(-2,1] (D)(0,+∞)10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=x-12(A)5 (B)6 (C)7 (D)811.已知函数f(x)=|x|,x12.已知函数f(x)=((1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.素养达成13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是.

【答案解析】基础巩固1.函数y=4x-2的零点是()(A)2 (B)(-2,0) (C)（,0） (D)【答案】D【解析】令y=4x-2=0,得x=.所以函数y=4x-2的零点为.故选D.2.下列图象表示的函数中没有零点的是()【答案】A【解析】因为B,C,D项函数的图象均与x轴有交点,所以函数均有零点,A项的图象与x轴没有交点,故函数没有零点,故选A.3.函数f(x)=lnx+x2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a的取值范围是()(A)(-e2,0) (B)(-e2,1)(C)(1,e) (D)(1,e2)【答案】A【解析】因为f(x)在其定义域内是增函数,且f(x)有唯一的零点在(1,e)内,所以f(1)=a<4.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为()(A)[14,12] (B)[18,14](C)[0,1【答案】A【解析】因为f(14)=π4+log214<0,f(12)=π所以f(14)·f(12)<0,故函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为[145.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】C【解析】由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞).由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-lnx=0的根.令y1=|x-2|,y2=lnx(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.6.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是()(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2【答案】B【解析】由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x1,x2满足x1+x2=-2aa7.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是.

【答案】2【解析】因为a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图所示,所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.即方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两个解.8.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.【答案】m的取值范围是(-1913【解析】令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.依题意得m>0即m>0,26m即m的取值范围是(-1913能力提升9.如果关于x的方程2x+1-a=0有实数根,则a的取值范围是()(A)[2,+∞) (B)(-1,2](C)(-2,1] (D)(0,+∞)【答案】D【解析】由方程2x+1-a=0变形为a=2x+1,因为2x+1>0,所以a>0.10.已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=x-12(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【答案】B【解析】法一由x-12=0,解得x=14,所以f(因为f(2-x)=f(x),所以f(14)=f(2-14)=f(因为f(x)是奇函数,f(-14)=-f（1所以f(x)在(-2,2]上零点为-74,-14,0,14法二依题意,作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象可知,f(x)的图象在(-2,2]内与x轴的交点有6个.所以f(x)在(-2,2]上的零点有6个.11.已知函数f(x)=|x若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.

【答案】(3,+∞)【解析】作出f(x)的大致图象(图略).当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则4m-m2<m,即m2-3m>0.又m>0,解得m>3.12.已知函数f(x)=((1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.【答案】(1)[-1,1](2)a的取值范围是(-∞,0).【解析】(1)若a=0,则f(x)=-当x∈[0,1]时,f(x)=-x2是减函数.所以-1≤f(x)≤0;当x∈(1,4]时,f(x)=x-1是增函数.所以0<f(x)≤1.于是当x∈[0,4]时,f(x)的值域为[-1,1].(2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a或x=2a.由x+a-1=0解得x=(1-a)2.因为f(x)恰有三个零点,所以a≤1,所以实数a的取值范围是(-∞,0).素养达成13.已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b有四个零点,求实数b的取值范围是.

【答案】(-4,-3).【解析】令f(x)-x+b=0,所以b=x-|x(x+3)|,作出y=x-|x(x+3)|的图象,要使函数y=f(x)-x+b有四个零点,则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4<b<-3.《4.5.1函数的零点与方程的解》同步练习（二）[合格基础练]一、选择题1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()A．2 B．－2C．±2 D．3C[因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.]2．函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间是()A．(1，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))B[由f(x)＝2x－eq\f(1,x)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2eq\s\up5(\f(1,2))－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(1)<0.∴零点所在区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).]3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为()A.eq\f(1,2)，0 B．－2,0C.eq\f(1,2) D．0D[当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2)，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点()A．至多有一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．一个也没有C[若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]5．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(b，c)和(c，＋∞)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内C[∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．]二、填空题6．函数f(x)＝eq\f(x－1lnx,x－3)的零点是________．1[令f(x)＝0，即eq\f(x－1lnx,x－3)＝0，即x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.]7．设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.2[令f(x)＝lnx＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，∵f(2)＝ln2＋2－4<0，f(3)＝ln3－1>0，∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]8．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝________.图(1)图(2)10[由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10.]三、解答题9．判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．[解]法一(图象法)：函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．10．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．[解]①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意；②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴x＝eq\f(1,2a)>0，所以f(x)必有一个负实根，符合题意；③当a<0时，x＝eq\f(1,2a)<0，f(0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq\f(1,4)，此时f(x)＝－eq\f(1,4)x2－x－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))2＝0，所以x＝－2，符合题意．综上所述，a的取值范围是a≥0或a＝－eq\f(1,4).[等级过关练]1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和eq\f(1,6) B．1和－eq\f(1,6)C.eq\f(1,2)和eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)和eq\r(3)B[∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝6，))∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为1和－eq\f(1,6)，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)C[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]3．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．(0,4)[由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]4．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．a＜b＜c[画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]5．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．[解](1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞).《4.5.1函数的零点与方程的解》同步练习（三）一、选择题1．函数的零点所在区间为()A．（0，1） B．（1，2）C．（2，3） D．（3，4）2．函数的零点个数是（）A． B． C． D．3．（2019·全国高一课时练）函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则()A.k＝0 B.k>0C.0≤k<1 D.k<04．已知函数f（x）、g（x）：x0123f（x）2031x0123g（x）2103则函数y=f（g（x）的零点是A.0 B.1 C.2 D.35．设函数与的图象的交点为，则所在的区间为()A. B.C. D.6．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是()A．和 B．和C．和 D．和二、填空题7．已知函数的图象是连续不断的曲线，有如下的与的对应值表：那么，函数在区间上的零点至少有8．设是方程的解，且，则________.9．已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是__________.10．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是三、解答题11．函数在R上无零点，求实数a的取值范围．12．对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.(1)若有两个不动点为，求函数的零点；(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．【答案解析】一、选择题1．函数的零点所在区间为()A．（0，1） B．（1，2）C．（2，3） D．（3，4）【答案】B【解析】由函数f（x）＝x3+x–5可得f（1）＝1+1–5＝–3<0，f（2）＝8+2–5＝5>0，故有f（1）f（2）<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点所在区间为（1，2），故选B．2．函数的零点个数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函数有意义，则x2﹣4≥0，即x2≥4，x≥2或x≤﹣2．由f（x）＝0得x2﹣4＝0或x2﹣1＝0（不成立舍去）．即x＝2或x＝﹣2，∴函数的零点个数为2个．3．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则()A.k＝0 B.k>0C.0≤k<1 D.k<0【答案】B【解析】令，变为，画出和的图像如下图所示，由图可知可以取任何的正数，故选B.4．已知函数f（x）、g（x）：x0123f（x）2031x0123g（x）2103则函数y=f（g（x）的零点是A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】由题意，函数的零点，令，可得，解得，选B．5．设函数与的图象的交点为，则所在的区间为()A. B.C. D.【答案】C【解析】令，则，故的零点在内，因此两函数图象交点在内，故选C.6．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是()A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】因为函数的两个零点是2和3，所以的两根为2和3，因此有，所以，于是或，所以函数的零点是和;二、填空题7．已知函数的图象是连续不断的曲线，有如下的与的对应值表：那么，函数在区间上的零点至少有【答案】3【解析】观察对应值表可知，fx=x，fx=x，fx=x，fx=x，8．设是方程的解，且，则________.【答案】【解析】令，且在上递增，，在内有解，，故答案为.9．已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由函数图象与轴只有一个交点在区间上，所以当时和当时函数值异号，得，即，解得或;10．（已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是【答案】[–1，+∞）【解析】：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，三、解答题11．函数在R上无零点，求实数a的取值范围．【答案】（–4，0]【解析】（1）当a＝0时，f（x）＝–1，符合题意；（2）若a≠0，则f（x）为二次函数，∴＝a2+4a<0，解得–4<a<0．故a的范围是（–4，0]．12．对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点，已知.(1)若有两个不动点为，求函数的零点；(2)若时，函数没有不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由题意知：f(x)＝x，即x2＋(b－1)x＋c＝0有两根，分别为－3,2.所以，所以，从而f(x)＝x2＋2x－6，由f(x)＝0得x1＝－1－，x2＝－1＋.故f(x)的零点为－1±.(2)若c＝，则f(x)＝x2＋bx＋，又f(x)无不动点，即方程＋bx＋＝x无解，所以即－2b＋1<0，所以b>.故b的取值范围是b>.《4.5.1函数的零点与方程的解》同步练习（四）一．选择题1．函数的零点个数是()A．0B．1C．2D．32．函数的零点所在的一个区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)3．下列函数不存在零点的是()A．B．C．D．4．函数在区间内有零点，则()A．B．C．在区间内，存在使D．以上说法都不正确5．若函数有一个零点是2，那么函数的零点是()A．B．C．D．6．函数的零点所在区间为()A．B．C．D．7．根据表格中数据，可以断定方程的一个根所在的区间()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(