《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》教案、导学案与同步练习VIP

《第二章一元二次函数、方程和不等式》《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》教案【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。【教学目标与核心素养】课程目标1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。2.使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3.渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集xxRax2+bx+c<0(a>0)的解集x∅∅2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解的算法.(1)解ax2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x（2）9（3）-【答案】（1）x|x<2,或x>3（2解题方法（解不等式）(1)解ax2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）x+2x（2）3x（3）-（4）x【答案】（1）x|x<-2,或x>3（3）x|x≠2（4题型二一元二次不等式恒成立问题例2(1).如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．(2).已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）A． B．C．或 D．或【答案】（1）（2）A【解析】（1）由韦达定理得，，代入不等式，得，，消去得，解该不等式得，因此，不等式的解集为，故答案为：.（2）当时，不等式为恒成立，符合题意；当时，若不等式对任意恒成立，则，解得；当时，不等式不能对任意恒成立。综上，的取值范围是.解题方法（一元二次不等式恒成立问题）1、恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方，从而确定∆的取值范围，进而求参数.（若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.跟踪训练二1．已知不等式的解集为或，则实数____.2.对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．【答案】1、62、-【解析】1、由题意可知，3为方程的两根，则，即.故答案为：62、①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意②当，即时，不等式恒成立则需：，解得：-3综上所述：-题型三一元二次不等式的实际应用问题例3一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：y=-若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？【答案】见解析【解析】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得-2x移项整理，得x2对于方程x2-110x+3000=0，∆=100>0，方程有两个实数根x1画出二次函数y=x2-110x+3000{x|50<x<60}.因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益.解题方法（一元二次不等式实际应用问题）（1）根据题意列出相应的一元二次函数；（2）由题意列出相应一元二次不等式；（3）求出解集；（4）结合实际情况写出最终结果.跟踪训练三1.用可围成32m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4m时猪舍面积最大，最大值为.【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为xm，则另一边长为，总面积，，当时，．答：当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4m时猪舍面积最大，最大值为.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本55页习题2.3【教学反思】本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》导学案【学习目标】1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。2.使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题． 3.渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。【重点与难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．【学习过程】一、预习导入阅读课本50-52页，填写。1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解的算法.(1)解ax2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.【小试牛刀】1.不等式的解集为（）A．或 B．或C． D．2.不等式的解集是（）A． B．C． D．3.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（）A．或 B．或C． D．【自主探究】题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x（2）9（3）-跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）x+2（2）3x（3）-（4）x题型二一元二次不等式恒成立问题例2(1).如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．(2).已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）A． B． C．或 D．或跟踪训练二1．已知不等式的解集为或，则实数__________.2.对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．题型三一元二次不等式的实际应用问题例3一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？跟踪训练三1.用可围成32m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？【课堂检测】1．不等式的解集是A．x|x≤-C．x|x≤-2．已知集合，，则有（）A． B． C． D．3．若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围（）A．或 B．C． D．4．不等式的解集是_________________5．关于的不等式的解集是，求实数的取值范围是_______.6．已知．（1）若，解不等式；（2）若，解不等式．7．已知不等式的解集为.(Ⅰ)若，求集合；(Ⅱ)若集合是集合的子集，求实数a的取值范围.答案小试牛刀1-3．DBC自主探究例1【答案】（1）x|x<2,或x>3（2跟踪训练一【答案】（1）x|x<-（3）x|x≠2例2【答案】（1）（2）A【解析】（1）由韦达定理得，，代入不等式，得，，消去得，解该不等式得，因此，不等式的解集为，故答案为：.（2）当时，不等式为恒成立，符合题意；当时，若不等式对任意恒成立，则，解得；当时，不等式不能对任意恒成立。综上，的取值范围是..跟踪训练二【答案】1、62、-【解析】1、由题意可知，3为方程的两根，则，即.故答案为：62、①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意②当，即时，不等式恒成立则需：，解得：-3综上所述：-例3【答案】见解析【解析】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得-2移项整理，得

x对于方程

x2-110x+3000=0，∆=100>0画出二次函数y=

x2-110x{x|50<x<60}.因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益.跟踪训练三1.【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4m时猪舍面积最大，最大值为.【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为xm，则另一边长为，总面积，，当时，．答：当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4m时猪舍面积最大，最大值为.当堂检测 1-3．BAC4．5．k6．【答案】(1)或．(2)【解析】（1）当，不等式即，即，解得，或，故不等式的解集为或．（2）若，不等式为，即，∵，∴当时，，不等式的解集为；当时，，不等式即，它的解集为；当时，，不等式的解集为．7.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)a|【解析】(Ⅰ)当时，由，得解得所以(Ⅱ)因为可得，又因为集合是集合的子集，所以可得，(当时不符合题意，舍去)所以综上所述.《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》同步练习一（第1课时）巩固基础1．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7}B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}C．{x|x≤－2或x>3}D．{x|x<－2或x≥3}2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为 ()A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解()A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}4．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>3)))) B．{x|－1<x<3}C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()6．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有________个元素．7．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．8．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.9．解不等式：x2－3|x|＋2≤0.综合应用10．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)(x－eq\f(1,t))>0的解集是 ()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,t)<x<t)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,t)或x<t))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,t)或x>t)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|t<x<\f(1,t)))11．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x<0，))则不等式f(x)>f(1)的解集是 ()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)12．不等式x2－px－q<0的解集是{x|2<x<3}，则不等式qx2－px－1>0的解是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x>－\f(1,3)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<\f(1,2)))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2或x>3))))13．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．14．方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．15．若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a＝________，m＝________.16．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)≤x≤2))，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．17．解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.【参考答案】1.A解析∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或3<x≤7}．2.D解析由题意知，－eq\f(b,a)＝1，eq\f(c,a)＝－2，∴b＝－a，c＝－2a，又∵a<0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.3.D解析由方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，知函数y＝ax2＋bx＋c的零点为2，－1，又∵a<0，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，∴不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1≤x≤2}．4.A解析由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．B解析因为不等式的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，排除C、D；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.6.6解析由(x－1)2<3x＋7，解得－1<x<6，即A＝{x|－1<x<6}，则A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，故A∩Z共有6个元素．7.{x|－3≤x<－2或0<x≤1}解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3≤0，,x2＋2x>0，))∴－3≤x<－2或0<x≤1.8.解方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以(1)当a<－1时，原不等式解集为{x|a<x<－1}；(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a>－1时，原不等式解集为{x|－1<x<a}．9.解原不等式等价于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.当x≥0时，1≤x≤2；当x<0时，－2≤x≤－1.∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．10.D解析∵0<t<1，∴eq\f(1,t)>1，∴eq\f(1,t)>t.∴(t－x)(x－eq\f(1,t))>0⇔(x－t)(x－eq\f(1,t))<0⇔t<x<eq\f(1,t).11.A解析f(1)＝12－4×1＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0.所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．12.B[解析]易知方程x2－px－q＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝p，,2×3＝－q，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝5，,q＝－6，))不等式qx2－px－1>0为－6x2－5x－1>0，解得－eq\f(1,2)<x<－eq\f(1,3).13.k≤2或k≥4解析x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.14.{m|m≥9}解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m≥0，,x1＋x2＝3－m<0，,x1x2＝m>0，))∴m≥9.15.－3－3解析可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＝\f(6,a),1×m＝a))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,m＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,m＝2))(舍去)．16.解由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)≤x≤2))，知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－eq\f(1,3)，2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋2＝－\f(b,a),－\f(1,3)×2＝\f(c,a)))，∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a.所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<3)).17.解(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝eq\f(2,a)，x2＝2.①当0<a<1时，eq\f(2,a)>2，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,a)，或x<2))))；②当a＝1时，eq\f(2,a)＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；③当a>1时，eq\f(2,a)<2，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，或x<\f(2,a))))).(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝eq\f(2,a)，x2＝2，则eq\f(2,a)<2，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<2)))).综上，a<0时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<2))))；a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；0<a≤1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,a)，或x<2))))；当a>1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，或x<\f(2,a)))))2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）巩固基础1．不等式eq\f(x＋5,x－12)≥2的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤\f(1,2)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x<1或1<x≤3))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3且x≠1))))2．不等式eq\f(4x＋2,3x－1)>0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x>\f(1,3)或x<－\f(1,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))－\f(1,2)<x<\f(1,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x>\f(1,3)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x<－\f(1,2)))3．不等式eq\f(2－x,x＋1)<1的解集是()A．{x|x>1}B．{x|－1<x<2}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x<－1或x>\f(1,2)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))－1<x<\f(1,2)))4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是()A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4}C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4}5．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为 ()A．1 B．－1C．－3 D．36．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．15≤x≤30B．12≤x≤25C．10≤x≤30D．20≤x≤307．若关于x的不等式eq\f(x－a,x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.8.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．9．解下列分式不等式：(1)eq\f(x＋1,2x－3)≤1；(2)eq\f(2x＋1,1－x)<0.当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?综合应用11．不等式eq\f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集为()A．{x|x≠－2} B．RC．∅ D．{x|x<－2或x>2}12．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(－2,2) B．(－2,2]C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)13．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<1或x>214．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________.15．已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．16．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________．17．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．18．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．【参考答案】D解析∵原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5≥2x－12，,x≠1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－5x－3≤0，,x≠1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3，,x≠1，))即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3且x≠1)))).2.A解析eq\f(4x＋2,3x－1)>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>eq\f(1,3)或x<－eq\f(1,2)，此不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x>\f(1,3)或x<－\f(1,2))).3.C解析原不等式等价于eq\f(2－x,x＋1)－1<0⇔eq\f(1－2x,x＋1)<0⇔(x＋1)·(1－2x)<0⇔(2x－1)(x＋1)>0，解得x<－1或x>eq\f(1,2).4.D解析a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0<a≤4}，综上得{a|0≤a≤4}.5.C解析由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.C解析设矩形的另一边长为ym，则由三角形相似知，eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.7.4解析eq\f(x－a,x＋1)>0⇔(x＋1)(x－a)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，∴a＝4.8.－2<m<2解析由题意知，不等式x2＋mx＋1>0对应的函数的图象在x轴的上方，所以Δ＝(m)2－4×1×1<0，所以－2<m<2.9.解(1)∵eq\f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq\f(x＋1,2x－3)－1≤0，∴eq\f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq\f(x－4,x－\f(3,2))≥0.此不等式等价于(x－4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq\f(3,2)≠0，解得x<eq\f(3,2)或x≥4.∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)或x≥4)))).(2)由eq\f(2x＋1,1－x)<0得eq\f(x＋\f(1,2),x－1)>0，此不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(x－1)>0，解得x<－eq\f(1,2)或x>1，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x>1)))).10.解①当a2－1＝0时，a＝1或－1.若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0即x<eq\f(1,2)，不合题意，舍去．②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,Δ＝[－a－1]2＋4a2－1<0.))解得－eq\f(3,5)<a<1.综上a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，1)).11.A解析∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．12.B解析∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.当m＝2时，4>0，x∈R；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2<m<2.此时，x∈R.综上所述，－2<m≤2.B解析设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝x2－3x＋2>0,g－1＝x2－5x＋6>0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1或x>2,x<2或x>3))⇔x<1或x>3.14.－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)解析根据定义得(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).15.a<9解析∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立，∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立．令y＝－2x2＋9x.∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝eq\f(9,4)，∴ymin＝9，∴a<9.∴a的取值范围为a<9.16.(0,1]解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m≥0,x1＋x2＝3－m＞0,x1x2＝m＞0))，解得0＜m≤1.17.解设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝2m＋1<0,f－1＝2>0,f1＝4m＋2<0,f2＝6m＋5>0))解得－eq\f(5,6)<m<－eq\f(1,2).解(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至eq\f(k,x－0.4)＋a，电力部门的收益为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,x－0.4)＋a))(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．(2)依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.2a,x－0.4)＋a))x－0.3≥[a×0.8－0.3]1＋20%，,0.55≤x≤0.75.))整理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1.1x＋0.3≥0，,0.55≤x≤0.75.))解此不等式，得0.60≤x≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.《§2．3．1二次函数与一元二次方程、不等式》同步练习二（第一课时）一．选择题1．不等式的解集为()A．B．C．D．2．不等式的解集为()A．B．C．D．3．不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[−1,4] B．(−∞,−2]∪[5,＋∞)C．(−∞,−1]∪[4,＋∞) D．[−2,5]4．若不等式的解集为，则()A．－28 B．－26C．28 D．265．不等式，对一切恒成立，则a的取值范围是()A． B．C． D．6．关于x的不等式的解集为，且，则A． B．C． D．二．填空题7．不等式的解集为________．8．若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为________．9．若关于x的不等式ax－b>0的解集为(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)>0的解集为________．10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________．三．解答题11．若关于x的一元二次不等式的解集为，求关于x的不等式的解集．12．已知抛物线．(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．【参考答案】1．不等式的解集为()A．B．C．D．答案：D2．不等式的解集为()A．B．C．D．答案：D3．不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[−1,4] B．(−∞,−2]∪[5,＋∞)C．(−∞,−1]∪[4,＋∞) D．[−2,5]答案：A4．若不等式的解集为，则()A．－28 B．－26C．28 D．26答案：C5．不等式，对一切恒成立，则a的取值范围是()A． B．C． D．答案：B6．关于x的不等式的解集为，且，则A． B．C． D．答案：A二．填空题7．不等式的解集为________．答案：{－1}8．若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为_______．答案：29．若关于x的不等式ax－b>0的解集为(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)>0的解集为________．答案：(－1,2)10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________．答案：(−4,0)三．解答题11．若关于x的一元二次不等式的解集为，求关于x的不等式的解集．答案：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(1,3)＋\f(1,2)＝－\f(b,a)，,\f(1,3)×\f(1,2)＝\f(c,a)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b＝－\f(5,6)a>0，,c＝\f(1,6)a<0，))代入不等式cx2－bx＋a>0中得eq\f(1,6)ax2＋eq\f(5,6)ax＋a>0(a<0)．即eq\f(1,6)x2＋eq\f(5,6)x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}．12．已知抛物线．(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．答案：(1)根据题意，m≠1且Δ>0，由Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，所以m∈R，且m≠1，m≠0．(2)在m≠0且m≠1的条件下，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(m－2,1－m)，,x1·x2＝\f(1,1－m)，))因为eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝m－2，所以eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))＝(eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2))2－eq\f(2,x1x2)＝(m－2)2＋2(m－1)≤2．得m2－2m≤0，所以0≤m≤2所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}．§2．3．2二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）一．选择题1．不等式的解集是()A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2]C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2]2．设，则关于x的不等式的解集是()A．{x|x<－n或x>m}B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n}D．{x|－m<x<n}3．不等式的解集为()A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)B．(－∞，3)∪(4，＋∞)C．(－4，－3)D．(3,4)4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（）A． B．且C． D．且5．不等式ax2＋2ax＋4≥0对一切x的值恒成立，则a的取值范围是（）A． B．C． D．6．关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式−cx2＋2x−a>0的解集为（）A． B．C． D．7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为()A．12元 B．16元C．12元到16元之间 D．10元到14元之间8．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（）A．