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文档简介

第5章

三角函数5.5.2

简单的三角恒等变换两角差的余弦公式【尝试】尝试用和(差)角公式、二倍角公式两个工具进行三角恒等变换（1）试用cosα表示，,

解：在倍角公式中，用α代替2α，用代替α，得

所以

在倍角公式中，用α代替2α，用代替α，得

所以

作商，得

两角差的余弦公式【半角公式】刚才的结果还可以表示为：

以上三个公式称为半角公式，符号由α所在象限决定【记忆方法】半角公式带根号，是正是负看半角；

1加或者减余弦，根号分母都是2.【问题】与之间有什么关系？

【解答】

两角差的余弦公式【万能公式】万能公式是半角的正切与一倍角之间的互换公式：有了万能公式，只需要知道一个角的正切，就可以求出二倍角的正弦余弦正切值.

不同的三角函数不仅有结构形式的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以在进行三角恒等变换时，首先要寻找各个式子里的角的关系，再来选取适当的公式，这是三角恒等变换的特点.(也就是要背)【例1】求证：【证明】(1)因为

(1)+(2)得

即

(2)由(1)有

设，则有

代入①中，有

换元法【例2】已知，且，求和的值.【解】∵，∴

∴

∴

【例3】已知一个等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的底角的正切.【解】设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有

由题意知，

所以

所以【例4】求下列函数的周期、最大值和最小值.【解】辅助角公式

即周期为2π,最大值为2,最小值为-2.

令，则，所以

即，周期为2π，最大值为5，最小值为-5

积化和差公式与和差化积公式①积化和差公式

积化和差公式与和差化积公式②和差化积公式

【题】化简：①三角函数式的化简

【解】∵，∴

又∵，且

∴原式=

∵，∴，所以，原式=

常见题型汇总【题】已知α为钝角，β为锐角，且，，求的值.②三角函数式的求值【解】因为α为钝角，β为锐角，，，所以

所以

因为,所以，即

所以

常见题型汇总【题】已知,求证:③三角函数式的证明【解】由题意有

；②2-①2，得

常见题型汇总【题】已知在△ABC中，,求证：△ABC是直角三角形④在三角形中的应用【证明】由题意有，∴常见题型汇总

利用和差化积公式，得

又∵，∴

∵，∴，两边平方，得

即，∴

∴，即或.A或者B有一个为直角

∴△ABC是直角三角形5.5三角恒等变换第五章三角函数《5.5.2简单的三角恒等变换》导学案16第一阶段课前自学质疑1718

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