《4.5.3函数模型的应用》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数第五节函数的应用（二）《4.5.3函数模型的应用》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》的第五章的4.5.3函数模型的应用。函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养1.能建立函数模型解决实际问题．2.了解拟合函数模型并解决实际问题．3.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．a.数学抽象：由实际问题建立函数模型；b.逻辑推理：选择合适的函数模型；c.数学运算：运用函数模型解决实际问题；d.直观想象：运用函数图像分析问题；e.数学建模：由实际问题建立函模型；f.数据分析：通过数据分析对应的函数模型；【教学重难点】教学重点：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．教学难点：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．【教学过程】教学过程设计意图（一）创设问题情境1．常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模拟y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.建立函数模型解决问题的基本过程（二）问题探究我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？典例解析例3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1978年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthas，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按上表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0解：（1）设1951～1959年我国各年的人口增长率分别为r1,r2可得1951年的人口增长率r1同理可得，r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197，r6≈0.0223，r于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为:r=(r1+r2+…r根据表中的数据画出散点图，并画出函数y=55196e0.0221t（t∈的图象由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从２０世纪７０年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．例4.2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？分析：因为死亡生物机体内碳１４的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y=kax（k∈R，且k≠０；a＞０，且解：设样本中碳１４的初始量为k，衰减率为p（0＜p＜1），经过x年后，残余量为y．根据问题的实际意义，可选择如下模型：y=k(1-p)x（k∈R，且k≠０；０＜p＜１；x≥０）．由碳１４的半衰期为5730年，得k(1-p)5730=12由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2％可知，即0.552k=k(573012)x因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．归纳总结[规律方法]已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值典例解析例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题中涉及哪些数量关系？投资天数、回报金额如何用函数描述这些数量关系？分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N方案二可以用函数y＝10x(x∈N方案三可以用函数y=0.4×进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况三种方案每天回报表方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第１天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第１～３天，方案一最多；在第４天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第５～８天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三。假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天，你认为这样的交易对你有利吗？解答如下：公司30天内为你的总投资为:30万元你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229=10737418.23≈1074(万元)上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异例6.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？①例6涉及了哪几类函数模型？一次函数，对数型函数，指数函数。②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间［10，1000］上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过５万元，即最大值不大于５；第二，奖金不超过利润的２５％，即Y≤0.25X．不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助信息技术画出函数y＝５，y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象．观察图象发现，在区间［10，1000］上，模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y＝５的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y＝５的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．先计算哪个模型的奖金总数不超过５万元．对于模型y＝0.25x，它在区间［10，1000］上单调递增，而且当x＝２０时，y＝５，因此，当x＞２０时，y＞５，所以该模型不符合要求；对于模型,y=1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足1.002因此当x＞x0对于模型y=log7x+1，它在区间［10，1000］上单调递增，而且当x＝1000时，y=log71000+1≈4.55＜５，所以它符合奖金总数不超过５万元的要求．再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25％，即当x∈［10，1000］时，是否有y≤0.25x，即y=log7x+1≤0.25x成立．令f(x)＝y=log7x+1-0.25x，x∈［10，1000］,利用信息技术画出它的图象由图象可知函数f(x)在区间［10，1000］上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜０，即y=log7x+1＜0.25x．所以，当x∈［10，1000］时，y≤0.25x，说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25％．综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求．[规律方法]自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.通过对常见函数模型的回顾，提出新的问题，提出运用函数模型分析解决实际问题，培养和发展数据分析、数学建模和数学抽象、直观想象的核心素养。通过对具体问题的分析建模，解模的过程，发展学生数学建模、数据分析、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对具体问题的分析建模，解模的过程，发展学生数学建模、数据分析、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；三、当堂达标一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数【答案】A[由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝0.9576eq\s\up12(eq\f(x,100))B．y＝(0.9576)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9576,100)))xD．y＝1－0.0424eq\s\up12(eq\f(x,100))【答案】A[由题意可知y＝(95.76%)eq\s\up12(eq\f(x,100))，即y＝0.9576eq\s\up12(eq\f(x,100)).]若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()【答案】B[由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.]4．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.【答案】2500[∵每生产一单位产品，成本增加10万元，∴单位产品数Q时的总成本为2000＋10Q万元．∵K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，∴利润L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500，∴Q＝300时，利润L(Q)的最大值是2500万元．]5．已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．【答案】(1)①汽车由A地到B地行驶th所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．综上，s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60t0≤t≤2.5，,1502.5＜t≤3.5，,325－50t3.5＜t≤6.5，))它的图象如图(1)所示．(1)(2)(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(600≤t≤2.5，,02.5＜t≤3.5，,－503.5＜t≤6.5，))它的图象如图(2)所示．通过练习巩固本节所学知识，巩固对函数模型的运用，增强学生的数学建模、直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；《4.5.3函数模型的应用》导学案【学习目标】1.会利用已知函数模型解决实际问题．2.能建立函数模型解决实际问题．3.了解拟合函数模型并解决实际问题．4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．【重点难点】重点：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．难点:利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．【知识梳理】1．常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模拟y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.建立函数模型解决问题的基本过程【学习过程】我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？典例解析例3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1978年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthas，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝０时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按上表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从２０世纪７０年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．例4.2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题中涉及哪些数量关系？投资天数、回报金额如何用函数描述这些数量关系？假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天，你认为这样的交易对你有利吗？解答如下：公司30天内为你的总投资为:30万元你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229=10737418.23≈1074(万元)上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异例6.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？①例6涉及了哪几类函数模型？一次函数，对数型函数，指数函数。②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?【达标检测】一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝0.9576eq\s\up12(eq\f(x,100))B．y＝(0.9576)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9576,100)))xD．y＝1－0.0424eq\s\up12(eq\f(x,100))若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()4．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.5．已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．参考答案：学习过程例3.分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和年平均增长率r解：（1）设1951～1959年我国各年的人口增长率分别为r1,r2，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200同理可得，r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为:r=(r1+r2+…r9y=55196e0.0221t，t∈N根据表中的数据画出散点图，并画出函数y=55196e0.0221t（t∈N的图象由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．例4.分析：因为死亡生物机体内碳１４的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y=kax（k∈R，且k≠０；a＞０，且a解：设样本中碳１４的初始量为k，衰减率为p（０＜p＜１），经过x年后，残余量为y．根据问题的实际意义，可选择如下模型：y=k(1-p)x（k∈R，且k≠０；０＜p＜１；x由碳１４的半衰期为5730年，得k(1-p)5730于是1-P=57301由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2％可知，即0.552k=k解得x=log573012因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．例5.分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N方案二可以用函数y＝10x(x∈N方案三可以用函数y=0.4×进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况三种方案每天回报表方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第１天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第１～３天，方案一最多；在第４天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第５～８天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三。例6.分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间［10，1000］上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过５万元，即最大值不大于５；第二，奖金不超过利润的２５％，即Y≤0.25X．不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助信息技术画出函数y＝５，y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象．观察图象发现，在区间［10，1000］上，模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y＝５的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y＝５的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．先计算哪个模型的奖金总数不超过５万元．对于模型y＝0.25x，它在区间［10，1000］上单调递增，而且当x＝２０时，y＝５，因此，当x＞２０时，y＞５，所以该模型不符合要求；对于模型,y=1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足1.002x0＝５，由于它在区间［10因此当x＞x0时，y对于模型y=log7x+1，它在区间［10，1000］上单调递增，而且当x＝1000时，y=log71000+1≈4.55＜５，所以它符合奖金总数不超过５万元的要求．再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25％，即当x∈［10，1000］时，是否有y≤0.25x，即y=log7x+1≤0.25x成立．令f(x)＝y=log7x+1-0.25x，x∈［10，1000］,利用信息技术画出它的图象由图象可知函数f(x)在区间［10，1000］上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜０，即y=log7x+1＜0.25x．所以，当x∈［10，1000］时，y≤0.25x，说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25％．综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求．三、达标检测1.【答案】A[由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]2．【答案】A[由题意可知y＝(95.76%)eq\s\up12(eq\f(x,100))，即y＝0.9576eq\s\up12(eq\f(x,100)).]3.【答案】B[由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.]4．【答案】2500[∵每生产一单位产品，成本增加10万元，∴单位产品数Q时的总成本为2000＋10Q万元．∵K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，∴利润L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500，∴Q＝300时，利润L(Q)的最大值是2500万元．]5．【答案】(1)①汽车由A地到B地行驶th所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．综上，s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60t0≤t≤2.5，,1502.5＜t≤3.5，,325－50t3.5＜t≤6.5，))它的图象如图(1)所示．(1)(2)(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(600≤t≤2.5，,02.5＜t≤3.5，,－503.5＜t≤6.5，))它的图象如图(2)所示．《4.5.3函数模型的应用》同步练习一基础巩固1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()(A)一次函数 (B)二次函数(C)指数型函数 (D)对数型函数2.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:①这个指数函数的底数是2;②第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;④浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是()(A)① (B)①② (C)②③④ (D)①②④3.2011年12月,某人的工资纳税额是245元,若不考虑其他因素,则他该月工资收入为()级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过1500元321500～4500元10注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500元(起征点)后的余额.(A)7000元 (B)7500元 (C)6600元 (D)5950元4.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率P与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系P=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验数据,根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为()(A)3.50分钟 (B)3.75分钟(C)4.00分钟 (D)4.25分钟5.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01(A)y=2x-2 (B)y=(x2-1)(C)y=log2x (D)y=lox6.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为km/h时,汽车的耗油量最少.

7.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg2≈0.30,lg3≈0.48).

8.如图所示,已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4m,CD=6m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=xm,PN=ym,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.能力提升9.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只10.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有()A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-3011.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元,它们与投入的资金x万元的关系是Q1=x,Q2=.今年有3万元资金投入使用,则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润?素养达成12.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.4.5.3函数模型的应用答案解析基础巩固1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()(A)一次函数 (B)二次函数(C)指数型函数 (D)对数型函数【答案】D【解析】由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.2.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:①这个指数函数的底数是2;②第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;④浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是()(A)① (B)①② (C)②③④ (D)①②④【答案】B【解析】图象单调递增,底数大于1,又过点(2,4),所以a2=4,所以a=2(a>0),故①对;令t=5,得y=25=32>30,故②对;若浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过的时间是1.5个月,则有12=23.5,因为23.5=82≠12,故③错;由指数型函数模型的图象上升特征可知④错.故选B.3.2011年12月,某人的工资纳税额是245元,若不考虑其他因素,则他该月工资收入为()级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过1500元321500～4500元10注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500元(起征点)后的余额.(A)7000元 (B)7500元 (C)6600元 (D)5950元【答案】A【解析】设此人该月工资收入为x元.1500×3%=45元.(x-3500-1500)×10%=245-45,得x=7000元.4.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率P与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系P=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验数据,根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为()(A)3.50分钟 (B)3.75分钟(C)4.00分钟 (D)4.25分钟【答案】B【解析】依题意有0.7=9a+3b+c,所以P=-0.2t2+1.5t-2=-15(t-154)2+1316即最佳加工时间为3.75分钟.5.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01(A)y=2x-2 (B)y=12(x2(C)y=log2x (D)y=log1【答案】B【解析】由题意可得表中数据y随x的变化趋势.函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大越来越快.因为A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D中函数是减函数,所以排除A,C,D;所以B中函数y=12(x26.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为km/h时,汽车的耗油量最少.

【答案】35【解析】Q=0.0025v2-0.175v+4.27=0.0025(v2-70v)+4.27=0.0025[(v-35)2-352]+4.27=0.0025(v-35)2+1.2075.故v=35km/h时,耗油量最少.7.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg2≈0.30,lg3≈0.48).

【答案】2【解析】设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有nlg34=n(lg3-2lg2)≤lg2将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n≥32,故至少要经过2小时才能开车8.如图所示,已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4m,CD=6m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=xm,PN=ym,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.【答案】（1）y=-12x+10,定义域为[4,8].（2）当MP=8m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48m2【解析】(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,则PQ=8-y,EQ=x-4.在△EDF中,EQPQ∴x-48-y=42(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x10-x2=-1又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.所以当MP=8m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48m2.能力提升9.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只【答案】A【解析】将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.10.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1000+5x+110x2,Q=a+xb,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有(A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30【答案】A【解析】设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=xa+=1b-110x2+(a-5)x-1000,由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.∴-a-解得a=4511.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元,它们与投入的资金x万元的关系是Q1=15x,Q2=35x.今年有3万元资金投入使用【答案】为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1.05万元.【解析】设对甲种商品投资x万元,则对乙种商品投资(3-x)万元,总利润为y万元,则Q1=15x,Q2=3所以y=15x+353-x令t=3-x(0≤t≤3),则x=3-t所以y=15(3-t2)+35t=-15t-322+当t=32时,ymax=2120=1.05(这时x=34=0.75(万元所以3-x=2.25(万元).由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1.05万元.素养达成12.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【答案】（1）y=14.4x（2）甲户用水量为7.5(吨);付费17.70(元);乙户用水量为4.5(吨),付费8.70(元).【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;当甲的用水量超过4吨时,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4,且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.所以y=14.4x(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增;当x∈[0,45]时,y≤f(4当x∈（45,43]时,y≤f(当x∈(43所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨);付费S甲=4×1.8+3.5×3=17.70(元);乙户用水量为3x=4.5(吨),付费S乙=4×1.8+0.5×3=8.70(元).《4.5.3函数模型的应用》同步练习二一、选择题1．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A．90万元 B．120万元C．120.25万元 D．60万元2．“红豆生南国，春来发几枝？”下图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数模型拟合最好？()A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t23．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合其中表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是()A．3.71 B．4.24C．4.77 D．7.954．在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)＝为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是()A．7 B．8C．9 D．105．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15 B．40C．25 D．1306．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是()(1)这几年生活水平逐年得到提高；(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A．1 B．2C．3 D．4二、填空题7．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系。已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元。若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是_____________；8．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下5个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝＋1.74请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．9．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为____________元．(用数字作答)10．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．三、解答题11．有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲中心健身活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元，试求f(x)和g(x)；(2)问：选择哪家比较合算？为什么？12．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越强），表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：．（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？4.5.3函数模型的应用答案解析一、选择题1．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A．90万元 B．120万元C．120.25万元 D．60万元【答案】B【解析】设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元2．“红豆生南国，春来发几枝？”下图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数模型拟合最好？()A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2【答案】A【解析】根据已知所给的散点图，观察到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数模拟较好，故选A.3．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合其中表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是()A．3.71 B．4.24C．4.77 D．7.95【答案】C【解析】,故选C.4．在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)＝为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是()A．7 B．8C．9 D．10【答案】D【解析】当时，函数为一次函数，单调递增，当时取得最大值，即.当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为，由于为整数，故当时取得最大值，即，故选.5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15 B．40C．25 D．130【答案】C【解析】由题意，当时，；当时，；当时，；故选C6．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是()(1)这几年生活水平逐年得到提高；(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】由图可知，生活费收入指数与生活价格指数在同一个时间点上的差值越来越大，说明生活水平逐年得到提高，故（1）正确；从折线段的倾斜程度，可知生活费收入指数增长最快的一年是2013年，故（