高斯求积公式

高斯求积公式引言求积公式高斯求积公式的系数和余项举例

引言n+1个节点的插值求积公式的代数精确度不低于n求积公式,能不能在区间[a,b]上适中选择n个节点x1,x2,……,xn,使插值求积公式的代数精度高于n？答案是肯定的，适中选择节点，可使公式的精度最高到达2n+1，这就是所要介绍的高斯求积公式。为考虑一般性,设求积公式为注意此时的代数精度最高为2n-1〔一〕定理：求积公式的代数精度最高不超2n-1次。证明：分别取f(x)=1,x，x2，...xn时代入公式，并让其成为等式得A1+A2+……+An=∫ab1dx.=b-ax1A1+x2A2+……+xnAn=∫abxdx.=〔b2-a2)/2......x1rA1+x2rA2+……+xnrAn=∫abxrdxr=(br+1-ar+1)/(r+1)上式共有r个等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数,即r=2n,这样求出的解容许的求积公式的代数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.[如果事先已选定[a，b]中求积节点xk如下ax1…xnb,上式成为n个未知数A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n时方程组有唯一解]事实上,取2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2代入求积公式,有左=右==0左右,故不成立等式,定理得证.定义:使求积公式到达最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1d2n-1

定理:假设f(2n)(x)在[a,b]上连续，那么高斯求积公式的余项为其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的.Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk,Guass系数Ak都有表可以查询.常用的高斯求积公式1.Gauss-Legendre求积公式

(1)

其中高斯点为Legendre多项式的零点

Ln(x)=对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为[-1,1]。

nxk(n)Ak(n)Rn1022-0.57735031+0.57735031

3-0.77459675/9=0.5555556+0.77459675/9=0.555555608/9=0.88888894-0.86113630.3478548-0.33998100.6521452+0.33998100.6521452+0.86113630.34785485-0.90617990.2369269-0.53846930.478628700.5688889+0.53846930.4786287+0.90617990.2369269Gauss-

Legendre

点及系数表例题利用高斯求积公式计算［解］令x=1/2(1+t),那么用高斯-Legendre求积公式计算.取n=5

积分精确值为I=ln2=0.69314718…由此可见，高斯公式精确度是很高的2.Gauss-Chebyshev求积公式

(2)

其中高斯点为Chebyshev多项式Tn(x)的零点

Tn(x)=cos(narccos(x))3.Gauss-Laguerre求积公式

(3)

4.Gauss-Hermite求积公式(4)例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较令I=各种做法比较如下：一、Newton-Cotes公式当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354当n=2时,即用Simpson公式,I=0.9461359当n=3时,I=0.9461090当n=4时,I=0.9460830当n=5时,I=0.9460831二:用复化梯形公式令h=1/8=0.125三：用复化抛物线令h=1/8=0.125四、

Romberg公式KTn

SnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831五、Gauss公式令x=(t+1)/2,用2个节点的Gauss公式用3个节点的Gauss公式

=0.9460831

比较此例题的精确值为0.9460831...由例题的各种算法可知：对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有6位有效数字。用复合梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。总结1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，