专题-知识资料能量法-lecture

材料力学能量法专题：

1.功能原理——W=U物理意义：弹性体在变形的过程中，外力所做的功全部转化为储存于弹性体内部的变形能。

2.能量法——从能量的角度出发，利用功能原理来求解弹性体变形的方法。基本概念：目录§1杆件变形能的计算.轴向拉压变形能的计算：

N

=常量轴向拉压变形注：加载过程中真实结构应变能的积蓄！2．

二.扭转变形能的计算：1．

2．

三．弯曲变形能的计算：

2．

1.

§2莫尔定理——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具一．莫尔定理：：在原始载荷P1、P2、P3作用下，x截面弯矩：克隆结构在预加单位载荷作用下，x截面的弯矩其中：一般结构线弹性结构——虚功远理原受力结构克隆结构1—虚功原理1作为克隆结构的虚位移)(xM0作为克隆结构的虚变形将原结构位移作为克隆结构的虚位移，原结构变形作为克隆结构的虚变形，则单位载荷所做虚功等于结构虚应变能：线弹性结构计算转角的莫尔定理莫尔定理—又称单位力法适用范围—线性弹性结构原受力结构克隆结构1例：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为。梁上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的挠度及端面B的转角

§3图乘法在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：

对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分。

直杆的M0(x)图必定是直线或折线二次抛物线例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。解：例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。解：例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。解：由广义虎克定律有：已知线性问题的应变能密度：εσ线性问题1、应变能余能§4卡氏定理结构应变能结构余能εσ非线性问题——应变能密度(单位体积应变能)——余能密度(单位体积余能)1、应变能余能§4卡氏定理一般情形下的结构应变能和结构余能:(ComplementaryEnergy)

(StrainEnergy)

——弹性体内的应变能式中——弹性体内的余能;2、余能原理卡氏定理卡氏第一定理变形能卡氏第二定理对于线弹性结构，变形能对任一外力的偏导数等于作用点沿

方向的位移。(Castigliano'sfirsttheorem)

(Castigliano'ssecondtheorem)

(可用于非线性材料)余能原理(Crotti-Engesser

theorem)

(余能卡氏第二定理*，可用于非线性材料)例1由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆，用铰连接如图a所示。已知三杆的横截面面积均为A，材料的应力一应变关系为=K

1/n，且n>1；并知1、2两杆的杆长为l。试用余能定理计算各杆的内力。

解：（1）选基本静定系统如图b。FBDCA132aa(a)BA(b)DC132XFaa

余能原理的应用（2）变形协调条件:

D=0（3）求力-位移关系:用余能原理由图b的平衡得各杆轴力：BA(b)DC132XFaa余能密度为：总余能为（4）求解未知力横力弯曲梁：变形能：

卡氏第二定理的应用结构变形是内力的作用效果2.平面曲杆（截面高度远小于轴线曲率半径）变形能：

3.桁架：变形能：

图乘法函数积分例2图示桁架，在节点B承受载荷F作用。试用卡氏第二定理计算该节点的铅垂位移

B。各杆各截面的拉压刚度均为EA。

（1）各杆的轴力和导数解：ABCDFaaa（2）卡氏第二定理求位移例3用卡氏第二定理求B点的挠度。EI为常数。ABCFllFx2x1解：（1）弯矩方程及导数（2）卡氏第二定理求挠度用叠加法算得：例3(续)讨论…图乘法——可以用叠加法验证…讨论…求图示受力结构的B截面挠度。？例4试作图示结构的弯矩图。（1）基本静定系

（2）变形协调条件：ΔBx=0（3）求力-位移关系：

解：qaaABCx2x1XqFAyFAxFBy解得：

(↑)(→)(←)(↑)49ql2/512qa2/16弯矩图例5图a所示两端固定半圆环在对称截面处受集中力F作用。环轴线的半径为R，弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对圆环变形的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。

FR(a)解：（1）基本静定系统如图bjF2X11X2X3XX3X2（b）（2）变形协调条件F2（3）力与位移关系：其中：（4）求解补充方程：补充方程用能量法解超静定系统的步骤：（1）选取基本静定系；（2）建立变形协调条件；（3）求力-位移关系：应用能量原理（余能原理、卡氏第二定理）计算基本