2.2 基本不等式（六大题型7个方向）（原卷版）

2．2基本不等式【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用题型二：利用基本不等式比较大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值1、直接法求最值2、常规凑配法求最值3、消参法求最值4、换元求最值5、“1”的代换求最值6、法7、条件等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【知识点梳理】知识点一：基本不等式1、对公式及的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．2、由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：．知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，．所以，（当且仅当时取等号“=”）．知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．易证，那么，即．这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．知识点诠释：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．知识点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值．5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案．【典型例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1．（2023·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．例2．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（

）A．如果，且，那么B．对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立C．对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立D．当，时，例3．（2023·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（

）①已知，则成立；②已知且，则成立；③已知，则的最小值为2；④已知，，则成立．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1．（2023·全国·高一专题练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（

）A．若，则B．若，则由知，的最小值为1C．若，则D．若，则变式2．（2023·高一课时练习）给出下面三个推导过程：①∵a、b为正实数，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正确的推导为（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③【方法技巧与总结】应用基本不等式时的三个关注点（1）一正数：指式子中的a，b均为正数．（2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．（3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值．题型二：利用基本不等式比较大小例4．（2023·高一课时练习）下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．例5．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．例6．（2023·陕西宝鸡·高二校考期中）已知a，，，，则（

）A． B．C． D．变式3．（2023·全国·高一专题练习）若x，y满，则（

）A． B． C． D．变式4．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．变式5．（2023·山东青岛·高一校考阶段练习）若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．变式6．（2023·全国·高三专题练习）如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（

）A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P【方法技巧与总结】利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．题型三：利用基本不等式证明不等式例7．（2023·全国·高一专题练习）已知，，试比较与的大小；例8．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，且．求证：．例9．（2023·全国·高一专题练习）设，，均为正数，且，证明：(1)；(2).变式7．（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，求证：.变式8．（2023·全国·高一专题练习）若正数a，b，c满足.(1)求的最大值；(2)求证：.变式9．（2023·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明：(1)；(2)．变式10．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，求证：.变式11．（2023·陕西西安·高二西安中学校考期中）均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：.(1)证明不等式.(2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（个数的平方平均数为）【方法技巧与总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题（1）注意基本不等式成立的条件；（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．题型四：利用基本不等式求最值1、直接法求最值例10．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考开学考试）已知，且，则的最大值是.例11．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知a、b大于0，，则的最大值是．例12．（2023·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知，若，则的最大值为．变式12．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则的取值范围是.变式13．（2023·北京顺义·高二北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知正数，满足，若恒成立，写出一个满足条件的值.变式14．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数a，b满足则ab的最大值为.变式15．（2023·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最小值是．变式16．（2023·辽宁大连·高三大连市第二十高级中学校考开学考试）已知，则的最小值为．变式17．（2023·广东佛山·高一统考期中）若，则的最小值为；2、常规凑配法求最值变式18．（2023·高一课时练习）（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值．变式19．（2023·辽宁营口·高一校考阶段练习）求解下列各题：（1）求的最大值；（2）求的最小值.变式20．（2023·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）.变式21．（2023·全国·高一专题练习）（1）若，且，求的最小值；（2）若，求的最大值．变式22．（2023·河南漯河·高一漯河四高校考阶段练习）（1）求不等式解集：；（2）设，求函数的最小值．变式23．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16变式24．（2023·河北张家口·高三统考开学考试）已知，，且，则的最小值为．3、消参法求最值变式25．（2023·江苏·高一专题练习）若，，且，则的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16变式26．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式27．（2023·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为.变式28．（2023·天津和平·高二统考期末）已知，则的最小值是．变式29．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的最小值为.4、换元求最值变式30．（2023·全国·高一专题练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是.变式31．（2023·全国·高一专题练习）已知正数、满足，则的最小值为.变式32．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为．变式33．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值是.变式34．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）设，为正实数，若，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1变式35．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．75、“1”的代换求最值变式36．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数，满足，则的最小值为.变式37．（2023·陕西渭南·高二白水县白水中学校考阶段练习）已知，且，则的最小值为.变式38．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知且，则的最小值是．变式39．（2023·福建泉州·高一统考期中）已知两个正实数x，y满足，则的最小值是．变式40．（2023·天津滨海新·高一校考期中）已知，且，则的最小值为．变式41．（2023·山东济南·高二济南外国语学校校考开学考试）已知若正数、满足，则的最小值为．变式42．（2023·四川·校联考一模）已知正数x，y满足，则的最小值是.变式43．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知，且满足，则的最小值为.变式44．（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为.变式45．（2023·全国·高一专题练习）已知，其中，，，则的最小值为．变式46．（2023·全国·高一专题练习）若，则的最小值是．6、法变式47．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式48．（2023·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（

）A． B． C． D．7、条件等式求最值变式49．（2023·江苏盐城·高一校联考期中）已知，，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值．变式50．（2023·浙江台州·高一校联考期中）（1）已知，，求的取值范围；（2）已知正数x，y满足.（i）求的最大值；（ii）求的最小值.变式51．（2023·河北石家庄·高一校考期中）（1）已知求的最大值（2）已知求的最大值（3）已知，且，求的最小值变式52．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知为正实数，且.(1)求的最大值；(2)是否存在，使得的值为？并说明理由.变式53．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，且，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值.变式54．（2023·江西九江·统考一模）已知均为正实数，且.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【方法技巧与总结】利用基本不等式求代数式的最值（1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．题型五：利用基本不等式求解恒成立问题例13．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．9例14．（2023·全国·高一专题练习）若对，，有恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．例15．（2023·全国·高一专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式55．（2023·全国·高一专题练习）若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（

）A． B．2 C． D．1变式56．（2023·全国·高一专题练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式57．（2023·全国·高一专题练习）已知，若恒成立，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．24 D．25变式58．（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．9 B．12 C．16 D．25变式59．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．变式60．（2023·全国·高一专题练习）若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值题型六：基本不等式在实际问题中的应用例16．（2023·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．(1)请根据基本不等式，证明：；(2)请利用（1）的结论，证明：；(3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?例17．（2023·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）（1）已知正实数a，b，c满足，求的最小值；（2）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?例18．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考开学考试）近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，决定为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供（万元）的专项补贴．某制衣有限公司在收到莆田市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时某制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．(1)求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；(2)莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益（万元）最大？变式61．（2023·高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．变式62．（2023·高一课时练习）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.

(1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式；(2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值．变式63．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）（1）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积．（2）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，求所用篱笆的最短值．变式64．（2023·全国·高一专题练习）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长．(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式；(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短?【方法技巧与总结】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值．（4）正确写出答案．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值是（）A． B．2 C．4 D．32．（2023·高一课时练习）设，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值是（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高一专题练习）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克5．（2023·全国·高一专题练习）已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（20