1.1 空间向量及运算（精讲）（原卷版）

1.1空间向量及运算（精讲）考点一空间向量概念辨析【例1-1】（2023湖南）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量满足，则；④若空间向量满足，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．1【例1-2】（2023·黑龙江哈尔滨）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中①+与1+1是一对相反向量；②-1与-1是一对相反向量；③1+1+1+1与+++是一对相反向量；④-与1-1是一对相反向量．正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【一隅三反】1.（2023·山东济南）下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同2．（2023·山东潍坊）（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（

）A．单位向量有8个B．与相等的向量有3个C．与的相反向量有4个D．向量共面3．（2022·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______.①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②是向量的必要非充分条件；③向量、相等的充要条件是④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.考点二空间向量的线性运算【例2-1】（2023·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·高二单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A．B．C．D．2．（2023北京）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（

）．A． B．C． D．3．（2023春·广东广州）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.(1)；(2)；(3).考点三空间向量的共线共面问题【例3-1】（2023·山东）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．【例3-2】（2023云南）下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．【例3-3】（2023春·江苏宿迁）已知向量，不共线，，，，则（

）A．与共线 B．与共线C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面【一隅三反】1．（2023·江苏）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是()A． B．C． D．2．（2023春·辽宁鞍山）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·甘肃）下面关于空间向量的说法正确的是（

）A．若向量平行，则所在直线平行B．若向量所在直线是异面直线，则不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面4．（2023春·上海闵行）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面考点四数量积【例4-1】（2023·北京通州）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点.(1)求；(2)求；(3)求的长.【一隅三反】1．（2023黑龙江）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且.(1)用，，表示；(2)若，求；(3)若，求证：平面.2．（2023·福建）如图，正四面体的高的中点为，的中点为.（1）