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文档简介
高二数学期中模拟试卷(新高考版基础卷1)考试范围:人教A版2019选择性必修第一册(全册)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习)若直线的斜率为1,则直线的倾斜角为(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】设直线的倾斜角为,因为直线的斜率为1,所以,由,所以.故选:B.2.(2023秋·陕西榆林·高二校考阶段练习)已知是坐标原点,空间向量,,,若线段的中点为,则(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】由题意,则,所以,所以,故选:C.3.(2023秋·河南濮阳·高二濮阳一高校考阶段练习)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知的顶点,,,若直线:与的欧拉线平行,则实数的值为(
)A. B. C. D.3【答案】C【详解】由的顶点,知,的重心为,即,因为,所以三角形为直角三角形,所以外心为斜边中点,即,所以可得的欧拉线方程,即,因为与平行,所以,解得.故选:C.
4.(2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习)已知方程表示的焦点在y轴的双曲线,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】方程可化为:,由方程表示的焦点在y轴的双曲线,得,解得.故选:C.5.(2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习)已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】因为空间向量,,所以向量在向量上的投影向量为:,故选:C6.(2023春·福建龙岩·高二校联考期中)如图,在直三棱柱中,,,直线与平面所成角的正弦值为,则异面直线与所成角的余弦值为(
)
A. B. C. D.【答案】D【详解】取的中点,连接,则,以为坐标原点,,所在直线分别为,轴,过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.
设,则,易知平面,则直线与平面所成的角为,所以,解得,则,.则,,,,所以,,则,故异面直线与所成角的余弦值为.故选:D.7.(2023秋·宁夏银川·高二银川二中校考阶段练习)点在曲线上,则的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】如图,曲线为圆的上半圆,圆心,半径为2,,表示点到直线距离的5倍,点到直线的距离,即直线与圆相离,点到直线的距离,最小值为,最大值为,则的取值范围为.故选:B8.(2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试)设分别为椭圆的左右焦点,M为椭圆上一点,直线分别交椭圆于点A,B,若,则椭圆离心率为(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】如下图所示:
易知,不妨设,,易知,由可得,即同理由可得;将两点代入椭圆方程可得;即,又,整理得解得,所以离心率;故选:D二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.(2023秋·全国·高二随堂练习)已知两平行直线分别过点,它们分别绕旋转,但始终保持平行,则之间的距离的取值可能为(
)A.1 B.2C.3 D.4【答案】ABCD【详解】当与PQ垂直时,它们之间的距离d最大,此时,所以之间的距离,之间的距离的取值可能为1,2,3,4.故选:ABCD10.(2023秋·高二课时练习)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为8,离心率为,则此椭圆的标准方程是(
)A. B.C. D.【答案】AB【详解】因为,所以,所以.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是或.故选:AB11.(2023秋·山西·高二校联考开学考试)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发,先去河边饮马,再返回军营,怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流,,其方程分别为,,点,,则下列说法正确的是(
)A.将军从出发,先去河流饮马,再返回的最短路程是7B.将军从出发,先去河流饮马,再返回的最短路程是7C.将军从出发,先去河流饮马,再去河流饮马,最后返回的最短路程是D.将军从出发,先去河流饮马,再去河流饮马,最后返回的最短路程是【答案】AC【详解】由关于,的对称点分别为,而,
从出发,先去河流饮马,再返回的最短路程是,A对;从出发,先去河流饮马,再返回的最短路程是,B错;由关于,的对称点分别为,
从出发,先去河流饮马,再去河流饮马,最后返回的最短路程,C对;从出发,先去河流饮马,再去河流饮马,最后返回的最短路程是,D错.故选:AC12.(2023秋·湖南湘西·高二校联考阶段练习)如图,在棱长为1的正方体中,是棱上的动点,则下列说法正确的是(
)
A.存在点,使得B.存在点,使得C.对于任意点Q,Q到的距离的取值范围为D.对于任意点,都是钝角三角形【答案】BC【详解】由题知,在正方体中,是棱上的动点,建立以为原点,分别以,,的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系.
所以,,,设,其中,所以,,当,即,所以,显然方程组无解,所以不存在使得,即不存在点,使得,故A项错误;当时,解得,故B项正确;因为,其中,所以点到的距离为,故C项正确;因为,,其中,所以,所以三角形为直角三角形或钝角三角形,故D项错误.故选:BC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分.)13.(2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考开学考试)已知空间向量,且,则等于.【答案】2【详解】因为,则,解得.故答案为:2.14.(2023春·陕西榆林·高二统考期末)已知为双曲线上两点,且线段的中点坐标为,则直线的斜率为.【答案】/2.25【详解】设,则两式相减得,由线段的中点坐标为,即,.故答案为:15.(2023秋·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习)已知圆,直线,当圆被直线截得的弦长最短时,直线的方程为.【答案】【详解】由题意,直线的方程化为,由得∴直线过定点,显然点在圆内,要使直线被圆截得弦长最短,只需与圆心的连线垂直于直线,,解得,代入到直线的方程并化简得.故答案为:.16.(2023·吉林白山·统考模拟预测)已知是双曲线上一点,、分别是双曲线的左、右焦点,的周长为,则,的面积为.【答案】【详解】在双曲线中,,,则,根据对称性,不妨设点在双曲线的右支上,则.因为,的周长为,所以,所以,.在中,,则,所以,的面积为.故答案为:;.四、解答题(本题共6小题,共70分,其中第17题10分,其它每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(2023春·江苏扬州·高二统考期中)已知.(1)若,求的值.(2)若,且,求的值.【答案】(1);(2).【详解】(1),.,,解得(2)由,得,∴
,由,有,即,,解得18.(2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中)已知的三个顶点,,,求:(1)边上的高所在直线的方程;(2)的垂直平分线所在直线的方程.【答案】(1);(2).【详解】(1)由斜率公式易知,直线的斜率.又直线过点,代入点斜式得直线的方程为:.(2),.又线段的中点为,所在直线的方程为,整理得所求的直线方程为:.19.(2023春·内蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中学校考期中)已知椭圆中,,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于、两点,求.【答案】(1)(2)【详解】(1)由题知,,即,又,解得,所以椭圆方程为.(2)设,,联立直线与椭圆方程得,整理得,则,,.所民认.20.(2023秋·全国·高二期中)如图,已知四棱锥的底面是菱形,对角线,交于点,,,,底面,设点满足.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求点到平面的距离.【答案】(1)(2)【详解】(1)解:因为平面是菱形,所以,又因为底面,且面,所以,,所以,,两两垂直,以为坐标原点,以,,所在的直线分别为轴、轴和轴,建立空间直角坐标系,如图所示:因为,,,则所以,又因为,所以,设平面的法向量,则,取,可得,所以,设直线与平面所成角为,所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.(2)解:由(1)中的空间直角坐标系,可得,可得,所以与平面所成角的正弦值为,则到平面的距离.
21.(2023春·上海·高二期中)已知直线,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的上方.(1)求圆C的方程;(2)过点的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在点N,使得x轴平分?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】(1)设圆心,由题可得圆心到直线的距离,解得或(舍去),所以圆的方程为;(2)当直线轴,则轴必平分,此时可以为轴上任一点,当直线与轴不垂直时,设直线方程为,设,由,可得,经检验,所以,若轴平分,则,即,整理得,即,解得,综上,存在点,使得x轴平分.22.(2023春·四川自贡·高二校考期中)在平面直角坐标系中,过椭圆M:的右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)
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