1 高二数学选择性必修第一册期中模拟试卷（新高考题型基础卷1）解析版

高二数学期中模拟试卷（新高考版基础卷1）考试范围：人教A版2019选择性必修第一册（全册）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）若直线的斜率为1，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为1，所以，由，所以.故选：B.2．（2023秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，则，所以，所以，故选：C.3．（2023秋·河南濮阳·高二濮阳一高校考阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【详解】由的顶点,知,的重心为，即,因为,所以三角形为直角三角形,所以外心为斜边中点,即,所以可得的欧拉线方程,即,因为与平行,所以,解得.故选：C.

4．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】方程可化为：，由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，解得.故选：C.5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为空间向量，，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：C6．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】取的中点，连接，则，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系．

设，则，易知平面，则直线与平面所成的角为，所以，解得，则，．则，，，，所以，，则，故异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．7．（2023秋·宁夏银川·高二银川二中校考阶段练习）点在曲线上，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，，表示点到直线距离的5倍，点到直线的距离，即直线与圆相离，点到直线的距离，最小值为，最大值为，则的取值范围为.故选：B8．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）设分别为椭圆的左右焦点，M为椭圆上一点，直线分别交椭圆于点A，B，若，则椭圆离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如下图所示：

易知，不妨设，，易知，由可得，即同理由可得；将两点代入椭圆方程可得；即，又，整理得解得，所以离心率；故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知两平行直线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间的距离的取值可能为（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】ABCD【详解】当与PQ垂直时，它们之间的距离d最大，此时，所以之间的距离，之间的距离的取值可能为1,2,3,4.故选：ABCD10．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】因为，所以，所以．因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是或．故选：AB11．（2023秋·山西·高二校联考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（

）A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是【答案】AC【详解】由关于，的对称点分别为，而，

从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对；从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错；由关于，的对称点分别为，

从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对；从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错.故选：AC12．（2023秋·湖南湘西·高二校联考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．存在点，使得B．存在点，使得C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D．对于任意点，都是钝角三角形【答案】BC【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点，建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．

所以，，，设，其中，所以，，当，即，所以，显然方程组无解，所以不存在使得，即不存在点，使得，故A项错误；当时，解得，故B项正确；因为，其中，所以点到的距离为，故C项正确；因为，，其中，所以，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故D项错误．故选：BC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考开学考试）已知空间向量，且，则等于．【答案】2【详解】因为，则，解得.故答案为：2.14．（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为.【答案】/2.25【详解】设，则两式相减得，由线段的中点坐标为，即，.故答案为：15．（2023秋·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为.【答案】【详解】由题意，直线的方程化为，由得∴直线过定点，显然点在圆内，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，，解得，代入到直线的方程并化简得.故答案为：.16．（2023·吉林白山·统考模拟预测）已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则，的面积为．【答案】【详解】在双曲线中，，，则，根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．因为，的周长为，所以，所以，．在中，，则，所以，的面积为．故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）已知．(1)若，求的值．(2)若，且，求的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1），．，，解得（2）由，得，∴

，由，有，即，，解得18．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）已知的三个顶点，，，求：(1)边上的高所在直线的方程；(2)的垂直平分线所在直线的方程．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由斜率公式易知，直线的斜率．又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．（2），．又线段的中点为，所在直线的方程为，整理得所求的直线方程为：．19．（2023春·内蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中学校考期中）已知椭圆中，，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于、两点，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题知，，即，又，解得，所以椭圆方程为.（2）设，，联立直线与椭圆方程得，整理得，则，，.所民认.20．（2023秋·全国·高二期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为平面是菱形，所以，又因为底面，且面，所以，，所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为，，，则所以，又因为，所以，设平面的法向量，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得，可得，所以与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离.

21．（2023春·上海·高二期中）已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方．(1)求圆C的方程；(2)过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）设圆心，由题可得圆心到直线的距离，解得或（舍去），所以圆的方程为；（2）当直线轴，则轴必平分，此时可以为轴上任一点，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，设，由，可得，经检验，所以，若轴平分，则，即，整理得，即，解得，综上，存在点，使得x轴平分.22．（2023春·四川自贡·高二校考期中）在平面直角坐标系中，过椭圆M：的右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)