数学人教A版必修2课时作业4-2-1直线与圆的位置关系

课时作业27直线与圆的位置关系——基础巩固类——1．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2x＋4y－11＝0的位置关系是(D)A．相离 B．相切C．相交过圆心 D．相交不过圆心解析：圆心(1，－2)到直线4x－3y－2＝0的距离d＝eq\f(|4×1－3×－2－2|,\r(42＋－32))＝eq\f(8,5)，圆的半径r＝4.所以d<r.又圆心(1，－2)不在直线4x－3y－2＝0上，故选D.2．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为(A)A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．(－3,3)C．(－eq\r(2)，eq\r(2)) D．(－2,2)解析：由圆与直线没有公共点，可知圆心到直线的距离大于半径长，即eq\f(2,\r(k2＋1))>1，解得－eq\r(3)<k<eq\r(3)，即k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))．3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为(B)A．－2 B．－4C．－6 D．－8解析：由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝eq\r(2－a).圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由r2＝d2＋(eq\f(4,2))2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.4．若圆C的半径长为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(A)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：由题意可设圆心坐标为(a，b)，且a>0，b>0.因为圆的半径长为1及圆与x轴相切，所以b＝1，又圆与直线4x－3y＝0相切，则有eq\f(|4a－3×1|,\r(42＋－32))＝1，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)．故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.5．由直线y＝x＋1上的一点向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(C)A．1 B．2eq\r(2)C.eq\r(7) D．3解析：方法1：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，圆的半径长为r＝1，故切线长的最小值为eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7).方法2：易知P(m，m＋1)在直线y＝x＋1上，由切线长公式得|PC|＝eq\r(m2－6m＋m＋12＋8)＝eq\r(2m－12＋7)，由m∈R可得|PC|min＝eq\r(7).6．圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝8到直线l：x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点的个数是(C)A．1B．2C．3D．4解析：圆的半径为2eq\r(2)，圆心C(－1,2)到直线l的距离为d＝eq\f(|－1＋2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，如图所示，圆上有3个点到直线l的距离等于eq\r(2).7．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则|AB|＝2eq\r(3).解析：圆心到直线的距离为d＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5)，所以|AB|＝2eq\r(8－5)＝2eq\r(3).8．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于点A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6.解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，圆心C(－1，2)，半径r＝3.∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d＝eq\f(\r(2),2)×3＝eq\f(3\r(2),2)，即d＝eq\f(|－1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(|a－3|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，即|a－3|＝3，解得a＝0或a＝6.9．已知圆C的圆心与点(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.解析：设点(－2,1)关于直线y＝x＋1的对称点C的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,2)＝\f(x－2,2)＋1，,\f(y－1,x＋2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))即圆心C(0，－1)．又圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离为eq\f(|3×0＋4×－1－11|,\r(32＋42))＝3，从而圆的半径长为eq\r(\f(6,2)2＋32)＝3eq\r(2).故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.10．实数a(a>0)取什么值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆(x－a)2＋(y＋1)2＝a(1)相离；(2)相切；(3)相交．解：圆(x－a)2＋(y＋1)2＝a的圆心为(a，－1)，半径为eq\r(a)，则圆心(a，－1)到直线x＋y－2a＋1＝0的距离为d＝eq\f(|a－1－2a＋1|,\r(2))＝eq\f(a,\r(2))，(1)当eq\f(a,\r(2))>eq\r(a)，即a>2时，直线和圆相离；(2)当eq\f(a,\r(2))＝eq\r(a)，即a＝2时，直线和圆相切；(3)当eq\f(a,\r(2))<eq\r(a)，即0<a<2时，直线和圆相交．11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq\r(7)，求圆C的方程．解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝eq\f(|15－－5|,\r(22＋12))＝4eq\r(5)，∴r＝2eq\r(5)，∴eq\f(|2a＋b＋15|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b＋15|＝10，eq\f(|2a＋b－5|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b－5|＝10，又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴eq\f(b－1,a－2)＝eq\f(1,2)，③由①②③解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m，m∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.——能力提升类——12．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(A)A.eq\f(4,5)π B.eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))π D.eq\f(5,4)π解析：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝eq\f(4,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，r＝eq\f(2\r(5),5).故圆C的面积的最小值为S＝πr2＝eq\f(4,5)π.13．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的范围是(A)A．(4,6) B．(4,6]C．[4,6) D．[4,6]解析：由圆的标准方程得圆心坐标为(3，－5)，则圆心到直线4x－3y＝2的距离为eq\f(|4×3－3×－5－2|,\r(32＋42))＝eq\f(25,5)＝5，若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则需满足|5－r|<1，解得4<r<6，故选A.14．已知直线l：y＝x＋b，曲线C：y＝eq\r(1－x2)，它们有两个公共点，则b的取值范围是[1，eq\r(2))．解析：方程y＝x＋b表示斜率为1的平行直线系；方程y＝eq\r(1－x2)表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示．当l通过A(－1,0)，B(0,1)时，l与C有两交点，此时b＝1，记为l1；当l与半圆相切时，此时b＝eq\r(2)，切线记为l2；当l夹在l1与l2之间时，l和C有两个不同的公共点．因此1≤b<eq\r(2).15．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a(1)证明不论a取何实数，曲线C必过定点；(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．解：(1)证明：曲线C的方程可变形为(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－20＝0，,－4x＋2y＋20＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))点(4，－2)满足C的方程，故曲线C过定点(4，－2)．(2)证明：配方得(x－2a)2＋(y