平面向量应用举例(教学案)及平面向量学案

第1页共1页2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。二、教案目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。三、教案重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。五、教案方法1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。2.学案导学：见后面的学案3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。七、课时安排：1课时八、教案过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为重心,则++=（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。）（三）合作探究、精讲点拨。探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行中，设＝,＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：．分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到，，我们计算和．证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2．得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．同理|a|2-2a·b+|b|2．①+②得2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（1）证明A、O、E三点共线；（2）用表示向量。例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．解：设a，b，则a+b．由与共线，因此。存在实数m，使得=m(a+b)．又由与共线因此存在实数n，使得=n=n(b-a)．由=n，得m(a+b)=a+n(b-a)．整理得a＋b＝0．由于向量a、b不共线，所以有，解得．所以．同理．于是．所以AR＝RT＝TC．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些问题是为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F1|=|F2|，由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=．通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）解：=(km/h)，所以，(min)．答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1min．本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系侯，本例就容易解决了。变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s。(2)计算s在方向上的投影。九、板书设计§2.5平面向量应用举例例⒈用向量法解平面几何例2变式训练问题的“三步曲”例3.例4变式训练十、教案反思本小节主要是例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教案中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.十一、学案设计（见下页）2.5平面向量应用举例课前预习学案预习目标预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。预习内容阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？3．例3中，⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习内容1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解读几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.二、学习过程探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）举出几个具有线性运算的几何实例．例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：．试用几何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？建立平面几何与向量的联系，通过向量运算，研究几何元素之间的关系，把运算结果“翻译”成几何关系。变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（1）证明A、O、E三点共线；（2）用表示向量。例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些力的问题是怎么回事？例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s。(2)计算s在方向上的投影。反思总结结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。当堂检测1.已知，求边长c。2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。3.在平面上的三个力作用于一点且处于平衡状态，的夹角为，求：（1）的大小；（2）与夹角的大小。课后练习与提高选择题1.给出下面四个结论：若线段AC=AB+BC，则向量；若向量，则线段AC=AB+BC；若向量与共线，则线段AC=AB+BC。若向量与反向共线，则.其中正确的结论有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为（）A.10B.C.D.123.在中，若=0，则为(）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定二、填空题4.已知两边的向量，则BC边上的中线向量用、表示为5.已知，则、、两两夹角是第一课时课程目标学习脉络1.了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量．2．理解向量、相等向量、共线向量、零向量的概念及向量的表示.1．向量的概念(1)向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：把那些只有大小，没有方向的量，称为数量．(3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点．以A为起点、B为终点的有向线段记作(如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定了．思考1两个向量可以比较大小吗？提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．2．向量的表示法(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的长度(或称模)，如向量的长度记作||.(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量．书写时，可写成带箭头的小写字母，，，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为.特别提醒(1)向量的书写要规范，如向量a不能写成a；(2)向量的起点、终点要搞清，如与的起点与终点正好相反．3．有关概念思考2单位向量都相等吗？提示：不一定，单位向量的模相等，都等于1，但方向不一定相同．思考3表示相等向量的有向线段一定重合吗？提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上．思考4共线向量与相等向量有什么关系？提示：相等向量一定共线，而共线向量不一定相等．特别提醒(1)零向量表示为0，而不是数字0；零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量是共线向量．(2)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线．第二课时课程目标学习脉络1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．3．掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算.1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量．2．向量加法的三角形法则如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．3．向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．思考1向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别与联系是什么？提示：(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示，＝＋(平行四边形法则)．又∵＝，∴＝＋(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同．思考2向量加法的三角形法则能否推广用来求多个向量的和？提示：能．向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于从折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则的实质是三角形法则的连续应用．4．向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考3零向量与其他向量的加法运算是怎样规定的？提示：对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a.思考4||a|－|b||，|a＋b|，|a|＋|b|之间的大小关系是怎样的？提示：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，||a|－|b||＝|a＋b|.第三课时课程目标学习脉络1.理解相反向量的意义；知道向量减法的定义．2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量.1．相反向量定义如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量，有a＋(－a)＝0②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0③零向量的相反向量仍是零向量特别提醒(1)相反向量要从向量的“长度”与“方向”两个方面去理解；(2)相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量．2．向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量作法在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝.如图所示几何意义如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量思考1若＝a，＝b，则，如何用a，b表示？提示：＝－＝b－a，＝－＝a－b.思考2若a与b是两个不共线的向量，则|a＋b|和|a－b|的几何意义是什么？提示：如图所示，设＝a，＝b，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝a＋b，＝a－b.∵四边形OACB是平行四边形，∴|a＋b|＝||，|a－b|＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．思考3向量加法与减法的几何表示的区别？提示：向量的减法是加法的逆运算，求a＋b时，是将b的起点放在向量a的终点，然后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量；求a－b时，是把这两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．第四课时课程目标学习脉络1.理解向量数乘的定义及几何意义．2．掌握向量数乘的运算律，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量共线.1．向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向相同λ＝0λa＝0λ<0λa的方向与a的方向相反思考1向量数乘与原向量有什么样的关系？提示：向量数乘与原向量是共线向量．思考2向量数乘λa的几何意义是什么？提示：(1)当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长了|λ|倍．(2)当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短了|λ|倍．思考3向量的大小与方向如何？提示：向量的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量是向量a方向上的单位向量．2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的“合并同类项”．3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.思考4共线向量定理中为何要限制a≠0?提示：共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立．并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在．特别提醒(1)如果非零向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.(2)共线向量定理可以分为两个定理：判定定理：如果存在一个实数λ满足b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.4．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.第五课时课程目标学习脉络1.了解平面基底的含义，并能判断基底．2．理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内的任一向量．3．掌握两个向量夹角的定义以及两个向量垂直的定义.平面向量基本定理思考1设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中可能有零向量吗？平面向量的基底唯一吗？提示：平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线即可，且基底不同时，实数λ1，λ2的值也不相同．思考2向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？提示：向量的夹角α的范围为0°≤α≤180°，两条直线的夹角β的范围是0°≤β≤90°.第六课时课程目标学习脉络1.理解平面向量的坐标的概念；2．会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标．(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．思考1由向量的坐标定义知，当且仅当两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)满足什么条件时相等？提示：两向量相等当且仅当它们的坐标相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.3．向量与坐标的关系设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．思考2点的坐标与向量坐标的区别与联系是什么？提示：(1)区别：①表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．②意义不同，点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)．(2)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．第七课时课程目标学习脉络1.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算．2．能借助向量的坐标，用已知向量表示其他向量.平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝(λx1，λy1)向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)思考如何区别a－b的坐标运算与的坐标运算？提示：a－b的坐标是对应的坐标相减，的坐标为终点坐标减去始点坐标．第八课时课程目标学习脉络1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能用向量的坐标表示判定向量是否共线．证明三点共线.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．思考1如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．思考2已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a和向量b共线条件的表示方法有哪些？提示：在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，当b≠0时，a和b共线条件的表示方法有以下三种形式：(1)当b≠0时，a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，＝，即两个向量的对应坐标成比例．这种形式是较容易记忆的向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．第九课时课程目标学习脉络1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义．3．掌握平面向量数量积的性质及运算律．4．会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题.1．平面向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角记法记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为0投影|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积思考1向量的数量积的运算结果是向量还是实数？如果是向量，如何确定大小和方向？如果是实数，如何确定它的符号？提示：向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之积．当a，b为非零向量时，由a·b＝|a||b|cosθ，a·b的符号由a与b的夹角θ的余弦值来确定．当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0，当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.思考2根据投影的定义，如何利用两向量的数量积求向量a在向量b上的投影？提示：根据向量数量积的定义可知，向量a在向量b上的投影为|a|cosθ，又a·b＝|a||b|cosθ，所以cosθ＝，所以向量a在向量b上的投影为|a|cosθ＝|a|×＝.2．运算律交换律a·b＝b·a结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c思考3平面向量数量积运算适合乘法结合律吗？提示：数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．3．向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，a与b的夹角为θ.垂直a⊥b⇔a·b＝0共线同向a·b＝|a||b|a·a＝a2＝|a|2，|a|＝反向a·b＝－|a||b|绝对值|a·b|≤|a||b|符号a·b>0θ∈a·b＝0θ＝a·b<0θ∈夹角公式cosθ＝思考4当两向量的数量积为零时，这两个向量垂直吗？提示：不一定垂直．当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直．第十课时课程目标学习脉络1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系.平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：坐标表示数量积a·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝或|a|2＝x＋y设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则||＝垂直a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0夹角cosθ＝＝