02平面向量（培优提升题）-江苏省 高一下学期期末数学专题练习（苏教版）

试卷第=page66页，共=sectionpages66页试卷第=page11页，共=sectionpages66页02平面向量（培优提升题）-江苏省高一下学期期末数学专题练习（苏教版）一、单选题1．（2023下·江苏盐城·高一统考期末）已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（

）A． B．C． D．2．（2023下·江苏徐州·高一统考期末）已知向量，的夹角为，若，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．（2023下·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）在中，，点M满足，若，则BC的值为（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023下·江苏扬州·高一统考期末）已知向量与的夹角为，，，则（

）.A． B． C．或 D．以上都不对5．（2023下·江苏苏州·高一统考期末）如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（

）

A． B．C． D．6．（2023下·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）

A． B． C． D．二、多选题7．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）如图，已知正六边形的边长为1，记，则（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量为8．（2023下·江苏镇江·高一统考期末）如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（

）

A． B．若为线段的中点，则C． D．的最小值为69．（2023下·江苏连云港·高一统考期末）设点是的外心，且（，），则下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若是正三角形，则D．若，，，则四边形的面积是1710．（2023下·江苏徐州·高一统考期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，，，设点，，，是线段BC的五等分点，则（

）

A．B．C．D．的最小值为11．（2023下·江苏苏州·高一统考期末）已知向量，，下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．当时，与的夹角为锐角D．若，则与的夹角的余弦值为12．（2023下·江苏南通·高一期末）下列命题为真命题的有（

）A．已知非零向量，，，若，，则B．若四边形ABCD中有，则四边形ABCD为平行四边形C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为三、填空题13．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）向量，且，则．14．（2023下·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为．

15．（2023下·江苏泰州·高一统考期末）已知的垂心为点，面积为15，且，则；若，则.16．（2023下·江苏常州·高一统考期末）已知平面向量，满足，与的夹角为，记，则的取值范围为．17．（2023下·江苏连云港·高一统考期末）已知矩形，，，沿对角线将折起，若二面角的大小为，则，两点之间的距离为.18．（2023下·江苏连云港·高一校考期末）如图，在任意四边形中，，分别为，的中点，，，边与所成角为，则线段的长度是

四、解答题19．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）已知中，是边（含端点）上的动点．

(1)若点为与的交点，请用表示；(2)若点使得，求的取值范围．20．（2023下·江苏宿迁·高一统考期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知平面向量，都是单位向量，．(1)求与的夹角；(2)若，求在上的投影向量的坐标．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．21．（2023下·江苏扬州·高一统考期末）已知向量，，.(1)若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由.(2)若，且，求与的夹角大小.22．（2023下·江苏常州·高一校联考期末）如图，在中，，，，，.

(1)求的长；(2)求的值．23．（2023下·江苏常州·高一统考期末）如图所示，在中，，，，．

(1)用表示；(2)求的值．24．（2023下·江苏南京·高一统考期末）已知向量，的夹角为，且，．(1)求．(2)（其中），当取最小值时，求与的夹角的大小．25．（2023下·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，，，，.

(1)求的值；(2)求与夹角的余弦值.答案第=page1616页，共=sectionpages1616页答案第=page1717页，共=sectionpages1717页参考答案：1．D【分析】利用的图形关系并依据平面向量基本定理即可利用向量表示向量.【详解】中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则

故选：D2．A【分析】由得，根据投影向量的定义求解.【详解】由得，即，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A3．C【分析】取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得.【详解】

取中点O，连接，，即，M为BC边上靠近C的四等分点，，，，，又，，.故选：C.4．B【分析】由向量模的坐标运算及数量积的运算律可得，再由数量积的定义求解即可.【详解】因为，所以，又，所以，因为向量与的夹角为，所以，所以.故选：B5．B【分析】利用表示，结合平面向量基本定理确定其表达式.【详解】设，，所以，又，所以，因为，所以，所以，解得，所以，故选：B.6．D【分析】建立平面直角坐标系，因为点在上，则，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】建立如图所示平面直角坐标系．

已知，，，得，，，，，，，，，因为点在上，则，又，且、不共线，可得，且，解得．，．故选：D．7．BCD【分析】连接交于，利用向量加法判断A；利用数量积定义及运算律计算判断B；利用数量积定义计算判断C；求出投影向量判断D作答.【详解】正六边形的边长为1，对于A，连接交于，则为正三角形，且为的中点，，

而，则，，所以，A不正确；对于B，，，，B正确；对于C，，则有，因此，C正确；对于D，，，，向量在方向上的投影向量为，D正确.故选：BCD8．AC【分析】对于选项A，过作的垂直，再根据条件即可求出，从而判断出选项A的正误；对于选项BCD，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD分析判断即可得出结果.【详解】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，，所以，故选项A正确；建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，选项B，因为为线段的中点，则，，，所以，由，得到，所以，故选项B错误；设，则，，选项C，由，得到，解得，故选项C正确；选项D，，，所以，令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误；

故选：AC.9．ACD【分析】分别根据平面向量三点共线定理及三角形外心的性质判断即可求解.【详解】对选项A：因为，则，，三点共线，且点是的外心，所以，所以为中点，所以是以为直角顶点的直角三角形，故A正确；对选项B：因为，则，，三点共线，易知是以为直角顶点的直角三角形，且为的中点，则，，故B错；对选项C：因为是正三角形，则也是的重心，故，则，故C对；对选项D：因为，故在外，又，所以，又，，则，故D对.故选：ACD.10．BCD【分析】对于A：根据平面向量基本定理直接用表示；对于B：用表示后计算验证即可；对于C：设的中点为，根据向量加法运算转化为即可；对于D：设，将问题转化为求的最小值解决.【详解】对于A：，故A错误；对于B：同上可得因为在等腰直角三角形ABC中，，所以，所以，，所以，故B正确；对于C：设的中点为，则所以，故C正确；

对于D：设的中点为，为线段上一点，设，则，

则，，所以，作点关于的对称点，则四边形为边长为1的正方形，故，当三点共线时取等号，所以的最小值为，故D正确.故选：BCD.11．ABD【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，利用特例说明C，由数量积的坐标表示计算B、D.【详解】因为，，对于A：若，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：当时，此时，所以与共线同向，故C错误；对于D：若时，则，，，所以，即与的夹角的余弦值为，故D正确；故选：ABD12．ABD【分析】由平面向量基本定理结合投影向量的运算逐一判断即可．【详解】对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，故A正确；对于选项B，四边形ABCD中有，由平行四边形判定定理可得，四边形ABCD为平行四边形，故B正确；对于选项C，，，则，即，则，不能作为平面向量的一组基底，故C错误；对于选项D，向量，，则，，故向量在向量上的投影向量为，故D正确.故选：ABD.13．/0.8【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得，再建立平面直角坐标系，利用坐标求解夹角的余弦作答.【详解】由，得，即，而，则，即，以的方向分别为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，则，于是，有，所以.故答案为：14．【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，，由于,所以，故，故的取值范围为，故答案为：

15．3025【分析】利用向量的运算表示出，利用数量积运算可得答案；先利用面积及第一空结果求出，对平方可求模长.【详解】如图，

是的边上的高，则；设，因为，面积为15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因为，所以；故答案为：30

25.16．【分析】设，，，依题意可得，，又，可得、、三点共线，求出到直线的距离，即可求出的取值范围，即可得解.【详解】因为平面向量，满足，与的夹角为，设，，，则，所以，，，、、三点共线，又到直线的距离，，即的取值范围为.故答案为：17．【分析】过分别作由题意可求得由二面角的大小为，得到再利用可求得结果.【详解】过分别作

则二面角的大小为,,,则,即两点间的距离为.故答案为：.18．【分析】根据向量加法的几何意义便可得到：，从而①②便可得出，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为，，分别是四边形的边，的中点，，，①②得，，又，，边与所成角为，，，线段的长度为．故答案为：19．(1)；(2).【分析】（1）由已知得，再由A、O、P三点共线，令，由得，然后由C、O、Q三点共线，求出作答.（2）由（1）中信息，设，则，再由垂直关系的向量表示及数量积的运算律，求出，借助函数的单调求解作答.【详解】（1）因为，则，又A、O、P三点共线，有，，又，即有，而C、O、Q三点共线，于是，解得，所以.（2）由（1）知，，而，设，则，由，得，即，整理得，即，于是，显然函数在上单调递增，因此，所以的取值范围.20．(1)(2)或【分析】（1）选①：根据数量积运算展开求得，然后可得夹角；选②：将条件平方展开可得，然后可得夹角；选③：根据垂直的向量表示展开可得，然后可得夹角；（2）根据（1）中结论和单位向量定义列方程求得，然后由可得.【详解】（1）选①：由知，又，所以，得，

则，又，则．选②：由知，又，所以有，得，

则，又，则.选③：由知，又，所以有，得，

则，又，则．（2）设，由（1）可知，解得或，所以或，即或．21．(1)证明见解析(2).【分析】（1）利用向量共线的坐标运算及基底的概念即可判断；（2）利用向量垂直的坐标运算求解x，然后再利用数量积的夹角坐标公式计算即可.【详解】（1）当时，，，因为，所以向量，不共线，所以，能构成平面的一组基底；（2）因为，，所以，又，且，所以，所以，此时，，则，又因为，所以，即向量与的夹角为.22．(1)(2)4【分析】（1）由向量的线性运算，即可由模长公式求解长度，（2）由数量积的运算律，即可求解.【详解】（1），，,，，，.；（2），23．(1)(2)13【分析】（1）由向量的线性运算求解即可；（2）分别由，向量表示，由向量的数量积运算求解即可.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以；（2），即的值为13．24．(1)(2)【分析】（1）根据向量的模长公式结合数量积的运算律求解即可.（2）根据向量的