2023-2024届新高考一轮复习湘教版 8-5 椭圆及其性质 学案

第五节椭圆及其性质

【课标标准】1./解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际

问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.

必备知识•夯实双基

知识梳理

1.椭圆的定义

平面内与两个定点F1,巳的距离的和等于（大于IHF2∣）的点的轨迹叫做椭圆.这

两个定点叫做椭圆的,两焦点间的距离叫做椭圆的.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程三十£=1(α>∕x>O)

-aJz+bz1(0>⅛>0)a”b4

图形hIBX

4电OcjΛ∏rβ,[O2

范围

对称性对称轴：________，对称中心：________

Al___________，Al___________，

Az___________，A2___________>

性顶点

Bl________,BI___________,

质

B2________B2________

长轴A↑A2的长为________;

轴

_________________短轴的长为________________

焦距旧Bl=___________

离心率___________________e=∈(0,1)__________________________

［常用结论］

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P（X0,州）与两焦点构成的aPQB叫做焦点三角形.如图所示，设NQPF2

=θ.

(1)当P为短轴端点时，e最大，SAFiPFz最大•

⑵SAFlPF2,PFIiIP局Sine=⅛2tan∣=φo∣.

(3)∣PFIImaX=〃+c，IPFiImin=Q-C

(4)∣PQ∣∙∣PF2∣≤(地产+=层.

2232θ.

(5)4C∙=∣PFII+∣∕F2∣-2∣PFI∣∣PF2∣COS

夯实双基

1.思考辨析（正确的打“J”，错误的打“义”）

（1）平面内与两个定点Q,&的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.（）

（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（）

（3）椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.（）

2222

（4）椭圆会+2=13泌＞0）与椭圆标+2=13功＞0）的焦距相同.（）

2.（教材改编）己知椭圆C：1+==1的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为（）

a"4

A.-B.-C.—D.—

3223

3.（教材改编）若Q（3,0）,F2（-3,0）,点P到F”B的距离之和为10，则点P的轨

迹方程是.

4.（易错）已知椭圆1+^=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦

3625

点的距离为.

5.（易错）已知椭圆。+廿=Igo）的离心率e=组，则〃?的值为______.

5m5

关键能力•题型突破

题型一椭圆定义的应用

角度一求轨迹方程

例1［2023•河北深州期末］已知A（—1,0）,B是圆C--―1）?+t=8上一动点,线段AB

的垂直平分线交BC于P,则动点P的轨迹方程为.

［听课才已录］........................................................................

题后师说

通过对题设条件分析、转化后，能明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程.

巩固训练1

222

已知两圆c1:(χ-4)+y=169,C2：(X+4)2+y=9.动圆M在圆Ci内部且和圆Cl相

内切，和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是()

A.UlB.史+亡=1

64484864

C.UlD.应+^=1

48646448

角度二解决与焦点三角形有关的问题

22

例2已知£,尸2是椭圆C噎+3=im>aθ)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且NQPF2

=拳若APFE的面积为9√5,则6=()

A.9B.3C.4D.8

［听课记录］............................................................................

题后师说

(1)解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中IPQl+∣PF2∣=

2a两边平方是常用技巧.

(2)若已知焦点三角形的顶角求面积时，记住结论SAPFlF2=〃tan会给解小题带来很

大的方便.

巩固训练2

［2023•安徽宣城模拟］设椭圆［+1=1的左右焦点分别为丹，F2,点尸在椭圆上，且满

2516

足画•画=9,则FQHPF2∣的值是()

A.14B.17

C.20D.23

角度三求最值

例3［2023•河南安阳模拟］设£,B分别是椭圆［+1=1的左、右焦点，P为椭圆上任

2516

一点，点M的坐标为(6,4),则IPM+IPQI的最大值为.

［听课记录］

题后师说

(1)利用定义IPQl+1PF21=2α转化或变形，借助三角形性质求最值.

(2)抓住IPal与IPFzI之和为定值，可联系到利用基本不等式求IPFIl∙∣PF1的最值.

巩固训练3

［2023•安徽临泉一中期末］已知Q,B分别是椭圆C：［+<=1的左右焦点，点P是椭

ZO16

圆C上任意一点，令“=|PFIHpF2∣,则m的最大值为.

题型二椭圆的标准方程

例4(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O,F(-2√5,0)为椭圆C的左焦点，尸为椭圆

C上一点，满足IOPl=I。用，且IPFl=4,则椭圆C的方程为()

(2)若4(一2,0)、B(l,2)、C(l,|)、0(1,一|)四个点中恰有三个点在椭圆上，则椭圆

的标准方程为.

(3)求与椭圆?+?=1有相同离心率且经过点(2,一6)的椭圆方程.

［听课记录］............................................................................

题后师说

1.求椭圆方程的常用方法

值，结

“一的

确定

义，

圆定

据椭

I根

F

m

χC∖

亲解

:/个

l合焦

法L

-X

-

为

方程

椭圆

所求

可设

一艘

2

2

),

m≠n

n>O

(m>O

V=↑

当焦点mx+n

t

t

，求出

位蹙

焦点

箸虑

位置不不必

确定在

值即可

所,〃的

如一个

设

，分别

情况

两种

以分

坐标轴也可

2

2

上Xy

或

K=1

为F+

方程

椭圆

所求

h

a

.2

.2

)求解

>b>0

=1(α

'+炉

应用

两个

程的

准方

圆标

2.椭

率.

离心

相同的

0)有

,2>

,力>0

(a>0

∖=4

与方+

>0)

0,b

=l(α>

+白

程—

(1)方

z

z

z

D

a

a'b

1

+b>

,k

>b>O

=l(4

+庶

W

方程为

椭圆系

焦点的

0)共

>%>

=l(4

'+A

椭圆

(2)与

便.

更简

运算

可使

程，

系方

椭圆

选用

恰当

0)