2023年浙江省金华市中考数学真题卷（含答案与解析）

浙江省2023年初中学业水平考试（金华卷）

数学试题卷

考生须知：

1.全卷共三大题，24小题，满分为120分.考试时间为120分钟，本次考试采用开卷形式.

2.全卷分为卷I（选择题）和卷∏（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答.卷I的答案

必须用2B铅笔填涂；卷∏的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上.

3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号.

4.作图时，请使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑.

5.本次考试不得使用计算器.

卷I

说明：本卷共有1大题，10小题，共30分.请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项

对应的小方框涂黑、涂满.

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是一20℃,-IOoC,0℃,2℃,其中最低

气温是（）

A.-20℃B.-10℃C.0℃D.2℃

2.某物体如图所示，其俯视图是（）

3.在2023年金华市政府工作报告中提到，2022年全市共引进大学生约123000人，其中数123000用科学记

数法表示为（）

A.1.23×IO3B.123XIO3C.12.3×IO4D.1.23×105

4.在下列长度的四条线段中，能与长6cm,8cm的两条线段围成一个三角形的是（）

A.IcmB.2cmC.13cmD.14cm

5.要使有意义，则X的值可以是（）

A.OB.-1C.-2D.2

6.上周双休日，某班8名同学课外阅读的时间如下（单位：时）：1,4,2,4,3,3,4,5.这组数据的众

数是（）

A.1时B.2时C.3时D.4时

7.如图，已知Nl=N2=N3=50°,则N4的度数是（）

C.130°D.135°

8.如图，两个灯笼的位置AB的坐标分别是（-3,3）,（1,2）,将点8向右平移2个单位，再向上平移1个单

位得到点8'，则关于点A3'的位置描述正确是（）

A.关于X轴对称B.关于y轴对称

C关于原点。对称D.关于直线y=χ对称

k

9.如图，一次函数y=0r+。的图象与反比例函数y=f的图象交于点A（2,3）,B（ιn-2）,则不等式

A.一3<尤<0或x>2B.JlV-3或()<xv2

C.一2<%<0或］>2D.一3<xv0或x>3

10.如图，在RtZXABC中，ZAcB=90。，以其三边为边在A3的同侧作三个正方形，点尸在G"上，CG

与EF交于点P,CM与BE交于点0.若HF=FG,则BIl边形PCQE的值是（）

3正方形ABEF

卷π

说明：本卷共有2大题，14小题，共90分.请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在“答题纸”

的相应位置上.

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.因式分解：x2+x^.

12.如图，把两根钢条OAQB的一个端点连在一起，点C,。分别是Q4,OB的中点.若8=4cm,

则该工件内槽宽AB的长为cm.

13.下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生

体重“标准”的概率是.

“偏瘦”“标准”“超重”“肥胖，，

803504624

14.在直角坐标系中，点（4,5）绕原点。逆时针方向旋转90。，得到的点的坐标是.

15.如图，在一ABC中，AB=AC=6cm,NBAC=50。，以AB为直径作半圆，交Be于点D,交AC

于点E，则弧OE的长为cm.

16.如图是一块矩形菜地45CD,A8=α(m),AO=b(m),面积为s(n√).现将边AB增加lm∙

(1)如图1,若。=5,边Ar)减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是.

(2)如图2,若边A。增加2m，有且只有一个。的值，使得到的矩形面积为2s(π√),则S的值是

三、解答题(本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)

17计算：(-2023)°+4-2sin300+k5∣.

18.已知A：=；,求(2x+l)(2x-l)+x(3-4x)的值.

19.为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸

龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课

情况，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图表信息回答下列问题：

某校学生话动课程选谡情况条形统计图臬校学生活动谡程选课情况扁形统计图

mi用2

(1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图.

(2)本校共有IOOO名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需

要几间.

20.如图，点A第一象限内，OA与X轴相切于点B,与y轴相交于点连接A8,过点A作

AHj_CD于点H∙

（1）求证：四边形A8。”为矩形.

（2）已知OA的半径为4,OB=币,求弦CZ）的长.

21.如图，为制作角度尺，将长为10,宽为4的矩形。钻C分割成4X10的小正方形网格.在该矩形边上

取点P,来表示NPoA的度数.阅读以下作图过程，并回答下列问题:

0A

作法（如图）结论

NqOA=45。，点［

①在CS上取点尸|,使CK=4.

表示45°.

②以。为圆心，8为半径作弧，与BC/£。4=30。，点£

交于点P2.表示30°.

③分别以。,鸟为圆心，大于。8长度磔主十Rl口口I

・・・ʃV8A

一半的长为半径作弧，相交于点产

E,F,连结防与8C相交于点居.

④以2为圆心，。鸟的长为半径作

弧，与射线CB交于点。，连结・・•

交AB于点P-

（1）分别求点小8表示的度数.

（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点A，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）.

22.兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变;

妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分.图2中的图象分别表示两人离学校的路程S（米）与哥哥离开学校

的时间f（分）的函数关系.

（1）求哥哥步行的速度.

（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧.

①求图中〃的值；

②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的L6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄

妹俩离家还有多远；若不能，说明理由.

23.问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁区c夹住横梁》，使得横梁

不能移动，结构稳固.

图2是长为/（cm）,宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹

槽都是半径为ICm的半圆.圆心分别为

Ox,O2,Oy,OyM=OlN,QQ=。，=2cm,纵梁是底面

半径为ICm的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，

间隙忽略不计.

探究1：图3是“桥”侧面示意图，AB为横梁与地面的交点，C,E为圆心，O,",”?是横梁侧面两边的

交点.测得AB=32cm,点C到AB的距离为12cm∙试判断四边形CDE"∣的形状，并求/的值.

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形HlH%求/值；

②若有〃根横梁绕成的环（〃为偶数，月∕≥6）,试用关于〃的代数式表示内部形成的多边形用"2",

的周长.

24.如图，直线丁=4》+逐与X轴，y轴分别交于点A,B,抛物线顶点尸在直线AB上，与X轴的交

点为C,。，其中点C的坐标为（2,0）.直线BC与直线Pz）相交于点E.

（1）如图2,若抛物线经过原点0.

BE

①求该抛物线的函数表达式；②求一的值.

EC

（2）连接PC,NCPE与NB4。能否相等？若能，求符合条件的点尸的横坐标；若不能，试说明理由.

参考答案

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是一20℃,-10℃,0℃,2℃,其中最低

气温是（）

A.-20℃B.-10℃C.0℃D.2℃

【答案】A

【解析】

【分析】根据有理数的大小比较，即可作出判断.

【详解】解：一20<-10<0<2,

故温度最低的城市是哈尔滨,

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则.

2.某物体如图所示，其俯视图是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据俯视图的意义判断即可.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键.

3.在2023年金华市政府工作报告中提到，2022年全市共引进大学生约123000人，其中数123000用科学记

数法表示为（）

A.1.23XIO3B.123XIO3C.12.3×IO4D.1.23×105

【答案】D

【解析】

【分析】科学记数法的表现形式为αχ10"的形式，其中l<α<10,"为整数，确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，”是

正整数，当原数绝对值小于1时，〃是负整数.

【详解】解：123000=1.23x105,

故选D

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a*10"的形式，其中l≤α<10,

”为整数，表示时关键是要正确确定。的值以及〃的值.

4.在下列长度的四条线段中，能与长6cm,8cm的两条线段围成一个三角形的是（）

A.IcmB.2cmC.13cmD.14cm

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可.

【详解】解：设第三边长度为XCm,

则第三边的取值范围是2<x<14,

只有选项C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键.

5.要使有意义，则X的值可以是（）

A.OB.-IC.-2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件求出X的取值范围即可得到答案.

【详解】解：Y二次根式J口有意义，

∙"∙X—2≥O»

x≥2,

，四个选项中，只要D选项中的2符合题意，

故选D.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于O是解

题的关键.

6.上周双休日，某班8名同学课外阅读的时间如下（单位：时）：1,4,2,4,3,3,4,5.这组数据的众

数是（）

A.1时B.2时C.3时D.4时

【答案】D

【解析】

【分析】根据众数的含义可得答案.

【详解】解：这组数据中出来次数最多的是：4时，

所以众数是4时；

故选D

【点睛】本题考查的是众数的含义，熟记一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数是解本题的

关键.

则N4的度数是（）

C.130°D.135°

【答案】C

【解析】

【分析】由Nl=N3=50°可得a〃6可得N2=Z5=50°,再利用邻补角的含义可得答案.

：.a//h,而/2=50。，

/.N2=Z5=50°,

.∙.Z4=180o-Z5=130o;

故选C

【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键.

8.如图，两个灯笼的位置AB的坐标分别是（-3,3）,（1,2）,将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单

位得到点"，则关于点A8’的位置描述正确是（）

A.关于X轴对称B.关于>轴对称

C.关于原点。对称D.关于直线y=χ对称

【答案】B

【解析】

【分析】先根据平移方式求出6'(3,3),再根据关于)，轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解

即可.

【详解】解：；将5(1,2)向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B'，

：.B'(3,3),

VA(-3,3),

.∙.点AB'关于y轴对称,

故选B.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化一平移和轴对称，正确根据平移方式求出9(3,3)是解题的关

键.

9.如图，一次函数y=0x+匕的图象与反比例函数>=一的图象交于点A(2,3),B(∕n9-2)f则不等式

X

奴+人>人的解是()

B.xv-3或0<x<2

C.一2<xv0或x>2D.-3<x<O或x>3

【答案】A

【解析】

【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点8的坐标，然后直接利用图象法求解即可.

【详解】解：∙.∙A(2,3)在反比例函数图象上,

.*.Z=3X2=6,

・・・反比例函数解析式为>二9

X

•••川加,-2)在反比例函数图象上,

.∙.MJ=-3,

-2

.•.3(-3,-2),

由题意得关于X的不等式办+6>-的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范

X

围，

.∙.关于X的不等式以+6>K的解集为—3<x<0或x>2,

X

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标.

10.如图，在RtZXABC中，NAa3=90。，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG

与交于点P,CM与BE交于点。.若板=FG,则箸包跳的值是（）

'正方形ABEF

【答案】B

【解析】

【分析】设印7=/G=。，正方形ACGH的边长为2。，证明tanZHAF=tanZGFP,先后求得GP=La,

2

31

利用三角形面积公式求得徵。=一“，证明,求得

PC^2-a,BC=a,QDV∙zS4RtQCSRt

5ɔ2

SABEP=Wa，S四边形CQEP="，据此求解即可.

【详解】解：：四边形ACGH正方形，且板=RG,

设HF=FG=a,则AC=CG=G"=AH=2。，

,/四边形A3砂是正方形，

/.ZAFP=90°,

：.AHAF=90°-ZHFA=/GFP,

HFCjP1

.,.tanNHAF=tanNGFP，即---=----=—,

HAFG2

.∖GP=-a,

2

13

PC=2a—Ci——a，

22

HFBC1

同理tanZ.HAF=tanZC4B,即---=----=—,

HAAC2

.*.BC=a，

同理CQ=~a，

.∙,PB='a,

2

,,<1Y5,111

BQ^=α^+—a=-a^>^n--×a×-a=-

(2J4δhco224

∙.∙RtABOCc^RtABFf,

4

Z

se网e

,

.SABEP=5SiiBCQ=Za，

,"∙S四边吻QEP=S&BEP-S4BCQ=Cl，

222

,.'S正方形ABEF=AB?=AC+BC^=(2<z)^+a=5a,

.S四边形PCQE_]

S正方形AeEF505

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用

参数构建方程解决问题.

卷∏

说明：本卷共有2大题，14小题，共90分.请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在“答题纸”

的相应位置上.

二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)

II.因式分解：X2+Λ=.

【答案】X(X+1)

【解析】

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出

来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，直接提取

公因式X即可.

【详解】解：%+x=x(x+l)

12.如图，把两根钢条Q4,QB的一个端点连在一起，点C,。分别是Q4,OB的中点.若CD=4cm,

则该工件内槽宽AB的长为Cm.

【答案】8

【解析】

【分析】利用三角形中位线定理即可求解.

【详解】解：；点C,。分别是Q4,QB的中点，

.∖CD=-AB,

2

.∙.AB=28=8(cm),

故答案为：8.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键.

13.下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况(单位：人)，在该年级随机抽取一名学生，该生

体重“标准”的概率是.

“偏瘦”“标准”“超重”“肥胖”

803504624

7

【答案】10

【解析】

【分析】根据概率公式计算即可得出结果.

【详解】解：该生体重“标准”的概率是d350=一7,

50010

7

故答案为：一.

10

【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是本题的关键.

14.在直角坐标系中，点（4,5）绕原点O逆时针方向旋转90°,得到的点的坐标是

【答案】（-5,4）

【解析】

【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题.

【详解】解：过A点作A。_LX轴，过B点作BELy轴，

∙.∙点A的坐标为(4,5),

.*.AD=5,OD=4,

∙.∙ZAOB=90°,

：.ZBOE+ZAOE=90°,

•：ZAOD+ZAQE=90°,

/.ZAOD=ZBOE,

'."OA=OB,

△A。D和ZkBOE中，

NADo=NBEO

<NAoD=NBoE,

OA=OB

.LA。。=.BOE(AAS),

/.OE=OD=4,BE=AD=5,

.∙.点B的坐标为(-5,4),

故答案为：(—5,4).

【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题.

15.如图，在.√WC中，AB=AC=6cm,ZBAC=50。，以AB为直径作半圆，交BC于点D,交AC

于点E,则弧DE的长为Cm.

【答案】⅞⅛⅛-Λ-

66

【解析】

【分析】连接A。，0D,OE,根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计

算即可.

【详解】解：如图，连接A。，0D,OE,

；AB为直径，

，ADJ.AB，

•：AB=AC=6cm,NBAC=50°,

ΛBD=CD,NBAD=NCAD=LNBAC=25。,

2

.*.ZDOE=2ABAD=50o.OD=-AB=-AC=3cm,

22

«­/50×ττ×35π/、

**•孤DE的长为————=(cz7i),

1806

、5元

故答案为：aJcm.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公

式，圆周角定理是解题的关键.

16.如图是一块矩形菜地ABcD,AB=a(m),AD=/?(m),面积为s(n?).现将边AB增加Im.

边AD减少lm,得到的矩形面积不变，则人的值是

(2)如图如若边AD增加2m，有且只有一个。的值，使得到的矩形面积为2s(m?),则S的值是

【答案】①.6②.6+4√2⅛⅛4√2+6

【解析】

【分析】(1)根据面积的不变性，列式计算即可.

(2)根据面积，建立分式方程，转化为。一元二次方程，判别式为零计算即可.

【详解】(1)根据题意，得，起始长方形的面积为s=α8(m2),变化后长方形的面积为

(β+l)(∕j-l)(m2),

∙.∙0=5,边A。减少1m，得到的矩形面积不变，

(5+1)(/?—1)=5力，

解得力=6,

故答案为：6.

(2)根据题意，得，起始长方形的面积为s="(n?),变化后长方形的面积为(α+l)(b+2)(π√]

,2s=(α+l)(b+2),b=-,

a

/.2s=(α+l)—H2,

a/

2ss.

-----=—F2,

。+1a

.*.2α~+(2—s)α+S=O,

・・•有且只有一个。的值，

.β.Δ=b2-4。。=(2-s)?-8S=0,

・・・$2-12$+4=0，

解得4=6+4Λ∕2,,V2=6—4^2(舍去),

故答案为：6+4Λ∕2-

【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键.

三、解答题(本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)

17.计算：(一2023)°+/—2sin30°+|—5].

【答案】7

【解析】

【分析】根据零指数鼎、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可.

【详解】解：原式=1+2-2x^+5,

2

=1+2-1+5，

=7.

【点睛】本题考查了零指数幕、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义.本题的关键是注

意各部分的运算法则，细心计算.

18.已知尤=§,求(2x+l)(2X—l)+x(3-∙4x)值.

【答案】0

【解析】

【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可

求出值.

【详解】解：(2x+l)(2x-l)+x(3-4x)

=4X2-1+3Λ-4X2

=—1+3x.

当尤=■时，原式=—l+3χ'=0.

33

【点睛】此题考查了整式的混合运算一化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸

龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课

情况，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图表信息回答下列问题：

票检学生活动谡程逸诵情况条形缆il图臬校学生活动漫程选谡情况扇形统il图

(1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图.

(2)本校共有I(X)O名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需

要几间.

【答案】(1)本次调查抽取的学生人数为50人，见解析

(2)6间

【解析】

【分析】(1)根据条形统计图已知数据和扇形统计图已知的对应数据，即可求出被调查的总人数，再利用总

人数减去选择“折纸龙”“做香囊”与“包粽子”的人数，即可得到选择“采艾叶”的人数，补全条形统

计图即可；

(2)根据选择“折纸龙”人数的占比乘以1000,可求出学校选择“折纸龙”的总人数，设需要X间教室,

根据题意列方程30x216(),取最小整数即可得到答案.

【小问1详解】

解：由选"包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比36%,可得18÷36%=50,

Λ本次调查抽取的学生人数为50人.

其中选“采艾叶”的人数：50-(8+10+18)=14.

补全条形统计图，如图：

某校学生活功课拜选潭情况条形统计图

【小问2详解】

解：选“折纸龙”课程的比例8÷50=16%.

•••选"折纸龙”课程的总人数为I(XX)XI6%=160(人),

设需要X间教室，

可得30x≥160,

解得X≥3∙,X取最小整数6.

.∙.估计至少需要6间教室.

【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图结合，用样本估计总体，用一元一次不等式解决实际问题,

结合条形统计图和扇形统计图求出相关数据是解题的关键.

20.如图，点A在第一象限内，A与X轴相切于点B,与）’轴相交于点C,。.连接AB，过点A作

AH上CD于点、H.

（1）求证：四边形ABO"为矩形.

（2）已知JA的半径为4,OB=W求弦Cr）的长.

【答案】（1）见解析（2）6

【解析】

【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可.

（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可.

【小问1详解】

证明：YA与X轴相切于点8,

ABlX轴.

'：AHVCD,HOVOB,

.∙.ZAHO=ZHOB=ZOBA=90°,

四边形AHoB是矩形.

【小问2详解】

如图，连接AC.

四边形AHQS是矩形，

.∙.AH=OB=币.

在RtqAZZC中，C〃2=AC2-Λ772,

:.CH=√42-（√7）2=3•

点A为圆心，AHLCD,

.∙.CD=2CH=6.

【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键.

21.如图，为制作角度尺，将长为10,宽为4的矩形Q43C分割成4x10的小正方形网格.在该矩形边上

取点P,来表示NPoA的度数.阅读以下作图过程，并回答下列问题：

_4214一一二二色（答题卷用）

OA

作法（如图）结论

“OA=45°,点4

①在CB上取点6，使cq=4.

表示45°.

②以O为圆心，8为半径作弧，与BC/鸟。4=30。，点E

交于点鸟.表示30°.

③分别以。,鸟为圆心，大于。鸟长度≡⅞∣TTF

一半的长为半径作弧，相交于点•••(X\8%

产

E,F,连结历与BC相交于点鸟.

④以外为圆心，。鸟的长为半径作

弧，与射线CB交于点O,连结・・・

交AB于点Λ∙

（1）分别求点6,巴表示的度数.

（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点A,使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）.

【答案】（1）点鸟表示60°；点8表示15。

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据矩形的性质可求出/。鸟。度数，根据线段垂直平分线的性质NEoA度数，即可求出

/鸟。A的度数，从而知道A点表示度数；利用半径相等即可求出NQQO=/4。。，再根据平行线的性质

即可求出ZP2OD=ZDOA以及对应的度数，从而知道P3点表示度数.

(2)利用角平分线的性质作图即可求出答案.

【小问1详解】

解：①.四边形OLBC是矩形，

..BC//OA.

ZOP2C=ZP2OA=30°

由作图可知，EjF是。鸟的中垂线，

OP3=P3P2.

:.ZP3OP2=ZP3P2O=30°.

.∙.ZP3OA=NAo£+ZP2OA=60°.

，点G表示60°.

②由作图可知，P2D=P1O.

：.ZP2OD=ZP2DO.

又∙CBOA,

:.ZP2DO=ZDOA.

ZP2OD=ZDOA=ɪZP2OA=15°.

点Pi表示15°.

故答案：点G表示60°，点与表示15。.

【小问2详解】

解：如图所示，

作/巴。巴的角平分线等.如图2,点心即为所求作的点.

图2

Y点八表示60°,点舄表示15。.

NAa4=；(NAOA—N8OA)+N舄OA=∣(Z∕^OA+Z∕^OA)=∣(60°+15°)=37.5°.

.∙.G表示37.5°.

【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性

质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点.

22.兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变;

妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分.图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校

的时间分）的函数关系.

（1）求哥哥步行的速度.

（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧.

①求图中“值；

②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄

妹俩离家还有多远；若不能，说明理由.

【答案】(I)V=IOO

(2)①。=6；②能追上，理由见解析

【解析】

【分析】(1)结合图表可得A(8,800),根据速度等于路程除以时间，即可解答；

(2)①根据妹妹到书吧前的速度为200米/分,可知DE的解析式的％为200,设DE的解析式为s=200f+》,

根据妹妹比哥哥迟2分钟到书吧可得£02,800),将£(12,800)代入s=200，+/?,即可得到一次函数解

析式，把S=O代入一次函数即可得到。的值；

②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将BC和FG的解析式求出，求两个函数的交点即可.

【小问1详解】

解：由图可得A(8,800),

.∙.=-=I(X)(米/分)，

v8

哥哥步行速度为100米/分.

【小问2详解】

①根据妹妹到书吧前的速度为200米/分，可知OE的解析式的人为200,

设Z)E所在直线为S=200/+乩将(10,800)代入，得800=200χl0+b,

解得匕=-1200.

DE所在直线为S=2(X)f-12(X),

当S=O时，20Or—1200=0,解得r=6.

∙'∙a=6.

②能追上.

如图，根据哥哥的速度没变，可得3C,。A的解析式的“值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将

妹妹的行程图象补充完整，

设8C所在直线为S=IOof+优，将3(17,800)代入，得800=100χl7+b∣,

解得伪=-900,

.∙.s=IOOf-900.

妹妹的速度是160米/分.

设尸G所在直线为s=160f+4,将网20,800)代入，得800=160χ20+4，

解得％=-2400,

s=1607-2400.

5=IOOr-900

联立方程《

5=160/-2400

”25

解得《

s=1600

，1900—1600=30()米，即追上时兄妹俩离家300米远.

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用(行程问题)，从

23.问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁4,c夹住横梁。，使得横梁

不能移动，结构稳固.

图2是长为/(cm),宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹

槽都是半径为ICm的半圆.圆心分别为

Ol,O2,03,01M=OlN,O2Q=O3P=2cm,纵梁是底面

半径为ICm的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，

间隙忽略不计.

探究1：图3是“桥”侧面示意图，AB为横梁与地面的交点，CE为圆心，是横梁侧面两边的

交点.测得AB=32cm,点C到AB的距离为12Cm∙试判断四边形COEg的形状，并求/的值.

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形M2,求/的值；

②若有M根横梁绕成的环(〃为偶数，且〃≥6),试用关于〃的代数式表示内部形成的多边形HHHaHn

的周长.

【解析】

【分析】探究1：根据图形即可判断出CDEHl形状；根据等腰三角形性质可求出AM氏度，利用勾股定理

即可求出C4长度，从而求出/值.

探究2：①根据十二边形的特性可知NCH∖N=30°,利用特殊角正切值求出CHt长度，最后利用菱形的性

质求出Eg的长度，从而求得/值.②根据正多边形的特性可知NC乜N的度数，利用特殊角正切值求出

C"∣和HlN长度，最后利用菱形的性质求出E"∣的长度，从而求得/值.

【详解】解：探究1：四边形COEW是菱形，理由如下：

由图1可知，CD//EHl,ED//CH1,

Cz)E"∣为平行四边形.

桥梁的规格是相同的，

；•桥梁的宽度相同，即四边形COEw每条边上的高相等，

V.CDEHt的面积等于边长乘这条边上的高，

CoE■每条边相等，

•••CDEHl为菱形.

②如图1,过点C作CV1四于点M∙

由题意，得C4=CS,CM=12,AB=32cm.

.∙,AM=-AB=∖6.

2

在Rt4C4M中，C42=AM2+CM2.

∙'∙C4=√162+122=√400=20∙

I=CA+2=22cm.

故答案为：∕=22cm.

探究2：①如图2,过点C作CN_LaH?于点N.

由题意，得NHTCH2=120。,CHl=CH2,CN=3,

.-.ZCW1TV=30°.

.∙.CH.=2CN=6,H.N=CN==3如

11tan30°3

T

又四边形COE"∣是菱形,

.∙.EHt=CHI=6.

/=2(2+6+3@=(16+6@cm.

故答案为：∕=(16+6jŋcm.

②如图3,过点C作CN_La”2于点N.

由题意，形成的多边形为正"边形,

360。

••・外角NCHlH2=

H

HN=_______=_______

在RteNg中，ItanZC∕∕,∕72tan360°.

n

又；CH∖=CH[,CN工H∖H2,

,HlH2=2HlN=^

tan----

n

【点睛】本题是一道生活实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键

在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质.

24.如图，直线丁=半尤+逐与X轴，y轴分别交于点A,8,抛物线的顶点尸在直线AB上，与X轴的交

点为C,。，其中点C的坐标为（2,0）.直线BC与直线Po相交于点E.

（1）如图2,若抛物线经过原点O.

BE

①求该抛物线的函数表达式；②求的值.

（2）连接PeNCPE与NBAO能否相等？若能，求符合条件的点尸的横坐标；若不能，试说明理由.

【答案】（1）®y=—x2+3Λ∕5X：②q

(2)能，6或∙∣或-二或一好.

373

【解析】

【分析】(1)①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；

②过点E作C于点，.设直线BC为y=履+正，把C(2,0)代入，得0=2k+#,解得

k=-屿，直线BC为y=—亚龙+君.同理，直线OP为y=拽χ.联立两直线解析式得出

222

β[l,4J,根据EH〃BO,由平行线分线段成比例即可求解；

C∣ζ_\

(2)设点P的坐标为t,^-t+y∕5,则点。的坐标为(2f-2,0).①如图2-1,当f>2时，存在

I2)

NCPE=NBAO.记NCpE=NB40=α,NAPC=/7,则NAPD=c+尸.过点P作PEJ轴于点R,

Ap2

则AF=r+2∙在RIAPF中，cosNBAo=——=—,进而得出点P的横坐标为6.②如图2-2,当0<r<2

AP3

时，存在NCPE=ZBAO.记NCPE=NBAD=a,NAPD=0.过点P作PF_Lx轴于点尸，则

Ap22

AF=t+2.在RLAP尸中，cosNB4。=——=一，得出点P的横坐标为③如图2—3,当一2<f≤0

AP33

时，存在NePE=NB40.记NB4O=α∙过点P作PE_LX轴于点/，则AE=f+2∙在RtAPb中，

ΛZ7OA

-=COSZBAO=-,得出点P的横坐标为④如图2-4,当r≤-2时，存在NCPE=/BAO.记

Ap2

Nfi4O=α.过点尸作PF_LX轴于点/，则AF=—r-2.在RIAP/7中，一=cosZPAF=-,得