新版高中数学人教A版必修4习题第三章三角恒等变换3.2.2

第2课时三角恒等变换的应用课时过关·能力提升基础巩固1函数y=cos2xA.1 B.1 C.解析:∵y=cos2x2-sin2x答案:A2函数y=cos2xA.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析:y=cos2=cos2x+π则其为奇函数,周期T=答案:A3函数y=sinA.C.2π D.3π解析:y=答案:C4函数y=1A.B.C.D.解析:∵y=12sin2x+sin2x=∴值域为答案:C5已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=5A.C.解析:由于函数f(x)的图象关于x=5π3对称,则f(∴a=-∴a=-∴g(x)=-33sinx+∴g(x)max=答案:B6函数y=2sinx+2cosx的值域是.

解析:y=2sinx+2cosx=22sin答案:[27函数f(x)=3解析:f(x)=2令-π2+2k则-π3+2kπ≤即单调递增区间是-π3+2答案:-π3+28如图,圆心角为直角的扇形AOB,半径OA=2,点C是AB上任一点,且CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,设∠AOC=x,矩形OECF的面积为f求:(1)f(x)的解析式;(2)矩形OECF面积的最大值.解(1)∵f(x)=OE·EC=OCcosx·OCsinx=4sinxcosx=2sin2x,∴f(x)=2sin2x,x∈0(2)∵f(x)=2sin2x,x∈0∴0<2x<π.∴当x=π4时,f(x)即矩形OECF面积的最大值为2.9已知函数f(x)=2sin2xcos2(1)求f(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解(1)f(x)=2sin2xcos=2sin2x+sin2x=1cos2x+sin2x=所以(2)由(1)得f(x)=2sin令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ解得kπ-π8≤x≤kπ+3故函数f(x)的单调递增区间为kπ-π能力提升1设M={平面内的点(a,b)},N={f(x)|f(x)=acos2x+bsin2x},给出M到N的映射f:(a,b)→f(x)=acos2x+bsin2x,则点(1,3A.解析:点(1,3)的象f(x)=cos2x+3sin2x=232答案:C2已知函数f(x)=3A.1 B.2 C.3 D.4解析:f(x)=32sin2=32sin2ωx-1=sin则有答案:B3关于函数f(x)=sin2xcos2x,有下列命题:①函数y=f(x)的最小正周期为π;②直线x=③点④将y=f(x)的图象向左平移其中真命题的序号是.

解析:f(x)=sin2xcos2x=2sinfπ4=2sin2×π4-π4=1,fπ4不是函数f(x)将y=f(x)的图象向左平移π4个单位,可得到y=2sin2x+π4-π4=2答案:①③4在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则cos2θ的值等于.

答案:75点P在直径AB=1的半圆上移动,过点P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,则四边形ABTP的面积最大时α=.

答案:36已知函数f(x)=((1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}因为f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx=2cosx所以f(x)的最小正周期T=(2)函数y=sinx的单调递增区间为2kπ-π由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,x得kπ-π8≤x≤kπ+3π8,x≠k所以f(x)的单调递增区间为kπ-π8★7已知函数f(x)=3(1)若点P(1,-(2)若x∈-解(1)因为点P(1,-3)在角所以sinα=-所以f(α)=3sin2α2sin=23sinαcosα2sin=2(2)f(x)=3sin2x2sin2x=3sin2x+cos2x因为x∈-π6,π所以-12≤sin所以f(x)的值域为[2,1].8如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边AD为半圆的直径,O为半圆的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN,其底边MN⊥BC.(1)设∠MOD=30°,求三角形铁皮PMN的面积.(2)求剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值.解(1)由题意知OM=所以MN=OMsin∠MOD+CD=OMsin∠MOD+AB=1×sin30°+1=BN=OA+OMcos∠MOD=1+1×cos30°=1+所以S△PMN=12MN即三角形铁皮PMN的面积为(2)设∠MOD=x,则0<x<π,因为BP=所以点P在线段AB上.MN=OMsinx+CD=sinx+1,BN=OMcosx+OA=cosx+1,所以S△PMN=12=12(sinx+1)·(cos=12(sinxcosx+sinx+cos令