重庆市长寿区八校2023-2024学年高二上学期1月期末联考检测数学试题（B）

重庆市长寿区20232024学年上学期高二年级期末检测卷（B）数学试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．考试结束后，将答题卷交回．一．单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上1.直线的倾斜角是(

)A. B. C. D.2.如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为(

)

A. B. C. D.3.已知椭圆标准方程为，则此椭圆的短轴长为(

)A. B. C. D.4.下列关于空间向量的命题中，错误的是(

)A.若非零向量，，满足，，则有

B.任意向量，，满足

C.若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面

D.已知向量，，若，则为锐角5.已知三角形的三个顶点，，，则的高所在的直线方程是(

)A. B. C. D.6.公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯写出了经典之作圆锥曲线论，在此著作第七卷平面轨迹中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值不为的动点轨迹为圆后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是(

)A. B. C. D.7.等差数列、中的前项和分别为、，，则(

)A. B. C. D.8.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数如果在某一时期，那么在这期间人口数(

)A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 C.摆动变化 D.不变二．多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则（）

A.直线与所成角的余弦值为 B.

C. D.点到直线的距离为10.已知曲线，其中，则下列结论正确的是(

)A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线

B.若，则曲线的焦点坐标为和

C.若，则曲线的离心率

D.若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为11.对于直线：与圆：的以下说法正确的有(

)A.过定点

B.被截得的弦长最长时，

C.与相切时，或

D.与相切时，记两种情形下的两个切点分别为、，则12.已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是(

)A.数列是等差数列 B.数列是等比数列

C.数列的通项公式为 D.三．填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.13.已知点，，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是

．14.的三个顶点分别是，，，则其外接圆的方程为

．15.某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线：的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为，，为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，当港口到两油气井的距离之和最小时，港口的位置为

填写坐标即可16.设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是

．四．解答题（本大题共6个小题，共70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.12分设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知．Ⅰ求和的通项公式；Ⅱ设数列满足求．18.（10分）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求：的长；直线与所成角的余弦值．19.12分已知点和点关于直线对称．若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程若直线过点，且与直线交于点，的面积为，求直线的方程．20.12分已知圆过点，，且圆心在直线上．求圆的标准方程若过点的直线被圆截得的弦的长是，求直线的方程．21.12分已知点，是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上一点，当时，的面积取得最大值，为，为坐标原点．求椭圆的标准方程是否存在过左焦点的直线，与椭圆交于，两点，使得的面积为若存在，求出直线的方程若不存在，请说明理由．22.12分如图，已知抛物线的焦点为，点是轴上一定点，过的直线交与，两点．

若过的直线交抛物线于，，证明，纵坐标之积为定值

若直线，分别交抛物线于另一点，，连接，交轴于点．

证明：，，成等比数列．

参考答案1.

解：设直线的倾斜角为，，因为，所以，

故直线的斜率为，

即，

所以．

故选D．2.

解：在平行六面体中，，，，，，

，

，

．

故选C．3.

解：因为，

所以此椭圆的短轴长为．

故选．4.

解：：因为，，是非零向量，

所以由，，可得，

因此本选项说法正确；：因为向量，

不一定是共线向量，

因此不一定成立，

所以本选项说法不正确；：因为，，是空间的一组基底，所以三点不共线，

又因为，，所以，，，四点共面，因此本选项说法正确；：，

当时，，

若向量，同向，则有，所以有，而，故无实数解，

所以向量，不能同向，

因此为锐角，故本选说法正确，

故选B．5.

解：由斜率公式可得，

因为，

所以，

所以直线的方程为：，

化为一般式可得．

故选A．6.

解：设点的坐标为，因为，

所以，

化简得，即，

所以点的轨迹方程为，

因为点的轨迹关于直线对称，

所以圆心在此直线上，即，，，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立，

故选B．7.

解：等差数列、中的前项和分别为、，，

．8.

解：

．

又，，，

即，．

方法：由题意，为预测期内年增长率，如果在某一时期有人口数呈下降趋势．

故选B．9.

解：过作，垂足为，则，由题，可以为坐标原点，分别以，，

所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

，，，．

因为，，

所以直线与所成角的余弦值为，故A正确．

因为，所以B正确．

因为，所以与不垂直，故C不正确．

设点到直线的距离为，则，

即点到直线的距离为，故D正确．

10.

解：若，则，则曲线：，表示圆，

若，则，则曲线：，表示椭圆，

若，则，则曲线：，表示两条直线，

若，则，则曲线：，表示双曲线，故A错误；

B.若，则曲线：，此时，，则，所以曲线的焦点坐标为和，故B正确；

C.若，则，此时，则，

曲线的离心率，则，故C正确；

D.若方程表示的曲线是双曲线，则，则，此时双曲线表示焦点在轴上的双曲线，且，，，则的最小值为，所以焦距的最小值为，故D正确．11.

解：由直线：，得，

由，解得，过定点，故A正确；

被截得的弦长最长时，圆心在直线上，

此时，即，故B错误；

由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或，故C错误；

与相切时，记两种情形下的两个切点分别为、，

不妨设与圆相切于，当时，直线的斜率为，

设，则，可得，

则，

，故D正确．

故选AD．12.

解：由即为，可化为，由，则，

可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，即，又

，

可得，故A错误，，，D正确．故选BCD．13.

解：由题意作示意图，如下图，

设，直线的斜率为，

直线与线段有公共点且过点，

当直线的倾斜角小于时，有，

当直线的倾斜角大于时，有，

而，．

，

直线的斜率的取值范围是．

故答案为：．14.

解：设的外接圆的方程为：，

把，，三点代入，得，

解得，，，

外接圆的方程为：，即．

故答案为：．15.

解：由题意得，即，

故该双曲线的两个焦点分别为和，

则恰好为双曲线的右焦点，

设为双曲线的左焦点，连接与双曲线右支交于点，如图所示：

则点即为港口所在位置，

由双曲线的定义可得，即，

则，

当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时港口到两油气井的距离之和最小，

，，

，

则直线，

联立，整理得，

，

解得或，

，

，

将代入直线方程得，

故点的坐标为，即港口的位置为．

故答案为：．16.

解：因为的前项和，

因为是公差为的等差数列，设首项为；是公比为的等比数列，设首项为，

所以的通项公式，

所以其前项和：，

中，当公比时，其前项和，

所以的前项和，

显然没有出现，所以，

则的前项和为：，

所以，

由两边对应项相等可得：解得：，，，，

所以，

故答案为：．17.解：是等差数列，是等比数列，公比大于．

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，．

由题意可得：；

解得：，，

故，；

数列满足

令，

则

，

得：

；

故

18.解：，所以，所以，，，所以直线与所成角的余弦值为．19.解：设点，则解得所以点关于直线对称的点的坐标为．若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点，的直线垂直，所以直线的斜率，故直线的方程为，即．，因为的面积为，所以的边上的高，又点在直线上，直线与直线垂直，所以点到直线的距离为．易知直线的方程为，设，则，即或，

又，解得或则直线的方程为或．20.解：设圆的标准方程为，依题意可得，解得，圆的标准方