数学-专题18 构造三角形中位线的常用技巧（原版）

专题18构造三角形中位线的常用技巧（原卷版）专题典例剖析及针对训练类型一连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG＝3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A．15 B．12 C．9 D．6针对训练1．如图，△ABC的中线BD，CE相交于点0，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG且EF＝DG．类型二连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝23，则GH的最小值为（）A．3 B．22 C．6 D．针对训练1．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少

C．线段EF的长不变 D．△ABP和△CRP的面积和不变典例3如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．（1）求证：PM＝PN；（2）求∠MPN的度数．针对训练1.如图，分别以△ABC的边AB，AC同时向外作等腰直角三角形，其中AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，点G为BC的中点，点F为BE的中点，点H为CD的中点．探索GF与GH的数量关系及位置关系，并说明理由．类型三取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD为AC边上的高，E为BC边的中点，点F在AB边上，∠EDF＝60°，若AF＝2，BF=103，则A．163 B．833 C．2针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为．

连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF针对训练1．如图，在□ABCD中，E是CD中点，F是AE的中点，FC交BE于点G（1）求证：GF＝GC（2）求证：BG＝3EG类型四延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在AD，BC边上，且AE＝3DE，BG＝CG，连接BE、CE，EF平分∠BEC，过点C作CF⊥EF于点F，连接GF，若正方形的边长为4，则GF的长度是（）A．5−32 B．5−152 C．针对训练1．如图，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD、M为BC的中点，若AB＝12，AC＝18，求MD的长

类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（）A．2.5 B．3 C．4 D．5针对训练：如图，