数学-9.3 平行四边形（原卷版）

9.3平行四边形同步培优讲练综合一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.一、利用平行四边形性质求解【例1】平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则平行四边形的各边长为()A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【例2】如图，在平行四边形中，平分，交边于点，，，则的长为．

【例3】若平行四边形的两条对角线长为6和16，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是A． B． C． D．【例4】在中，，则（）A．30° B．60° C．90° D．120°【例5】如图，在▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）A．3 B．6 C．12 D．24二、已知三点组成平行四边形求点坐标【例1】的顶点坐标分别为、、，则点的坐标为．【例2】矩形在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点的坐标为，点为边上一点，且．（1）求直线的解析式；（2）在轴上是否存在点，使得直线平分矩形的面积，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．

【例3】在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：【例4】如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且BM=2MO．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你画出图形，确定点的坐标．三、平行四边形判定与性质的应用【例1】下列说法不正确的是A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线互相平分

C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等【例2】如图，在中，点，分别在边，上，有下列条件：①；②；③；④．其中，能使四边形是平行四边形的条件有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例3】能判定四边形为平行四边形的题设是A．， B．， C．， D．，【例4】下列不能判定四边形是平行四边形的条件是A．， B．， C．， D．，【例5】已知：如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，，求证：四边形是平行四边形．【例6】如图，四边形是矩形，过点作于点，连接，，．（1）求证：；（2）试判断四边形的形状，并说明理由．

【例7】如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若．求证：四边形ABCD是平行四边形．四、综合性大题【例1】如图，点、、、在一条直线上，，，，交于点．（1）求证：与互相平分；（2）若，，，，求的长．【例2】已知：如图所示，在平行四边形中，、分别是和的角平分线，交、于点、，连接、．（1）求证：、互相平分；（2）若，，，求线段的长．

【例3】．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；（2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．1、已知平行四边形，对角线、，则该平行四边形四条边中最长边a的取值范围是（）A． B． C． D．2、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．，B．，C．，D．，3、如图，在四边形中，对角线相交于点下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（）A．B．

C．D．4、下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CDC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC5、如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（）A．B．C．D．6、在四边形中，对角线相交于点，给出下列条件：①，；②，；③，；④，．其中能够判定是平行四边形的有．7、如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE＝6，CE＝8，AE＝10．（1）求AB的长；（2）求平行四边形ABCD的面积；

8、若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9、已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________．10、如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在AD、BC上，，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．(1)求证：：(2)连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由11、如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC．(1)求证：△ADE≌△BDC；(2)若∠AEB＝36°，求∠EDC；(3)若OB＝