2024-2024学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷

第1页〔共1页〕2024-2024学年上海市浦东新区高一〔下〕期中数学试卷一、填空题〔共12小题，每题3分，总分值36分〕1．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕求值：=．2．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数f〔x〕=x2﹣1〔x≤﹣2〕，那么f﹣1〔4〕=．3．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕与终边相同的最小正角是．4．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕sinαcosα＜0，那么α是第象限角．5．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕log32=a，那么log3218用a表示为．6．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕假设，那么a的取值范围是．7．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数f〔x〕=x2+2ax+1在[﹣1，2]上不存在反函数，那么实数a的取值范围为．8．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕假设，那么=．9．〔3分〕〔2024•上海〕设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，假设当x∈〔0，+∞〕时，f〔x〕=lgx，那么满足f〔x〕＞0的x的取值范围是．10．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕假设，那么a=．11．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数y=loga〔3﹣ax〕，〔a＞0，a≠1〕在[0，1]上单调递减，那么实数a的取值范围为．12．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕角α终边上一点P〔t，﹣4〕，假设，那么tanα=．二、选择题〔本大题4小题，每题3分，共12分〕13．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕“〞是“〞的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕假设函数的定义域为R，那么k的取值范围是〔〕A． B． C． D．15．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕将a2b=N〔a＞0，a≠1〕转化为对数形式，其中错误的选项是〔〕A． B． C． D．16．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数，假设存在正整数k满足：f〔1〕•f〔2〕•f〔3〕•…•f〔n〕=k，那么我们把k叫做关于n的“对整数〞，那么当n∈[1，10]时，“对整数〞共有〔〕A．1个 B．2个 C．4个 D．8个三、解答题〔本大题共5小题，总分值52分〕17．〔8分〕〔2024春•浦东新区期中〕解方程：log2〔9x﹣5〕=log2〔3x﹣2〕+2．18．〔8分〕〔2024春•浦东新区期中〕tanα=﹣2，求以下各式的值．〔1〕〔2〕4sin2α+3cos2α19．〔10分〕〔2024春•浦东新区期中〕，且π＜α＜2π，求tan〔2π﹣α〕．20．〔10分〕〔2024春•浦东新区期中〕扇形AOB的周长为8cm．〔1〕假设这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；〔2〕求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．21．〔16分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数是奇函数．〔1〕求m的值；〔2〕求f〔x〕的反函数f﹣1〔x〕；〔3〕讨论f〔x〕的单调性，并用定义证明；〔4〕当f〔x〕定义域区间为〔1，a﹣2〕时，f〔x〕的值域为〔1，+∞〕，求a的值．

2024-2024学年上海市浦东新区高一〔下〕期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题〔共12小题，每题3分，总分值36分〕1．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕求值：=75．【分析】利用指数恒等式以及对数的运算法那么进行求值．【解答】解：=，故答案为：75．【点评】此题主要考查指数的运算法那么和指数恒等式，要求熟练掌握相应的公式：．2．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数f〔x〕=x2﹣1〔x≤﹣2〕，那么f﹣1〔4〕=．【分析】根据互为反函数的性质：由x2﹣1=4〔x≤﹣2〕，解得即可．【解答】解：根据互为反函数的性质：由x2﹣1=4〔x≤﹣2〕，解得．∴．故答案为：．【点评】此题考查了互为反函数的性质，属于根底题．3．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕与终边相同的最小正角是．【分析】利用终边相同的角的集合定理即可得出．【解答】解：∵=，∴与终边相同的最小正角是．故答案为：．【点评】此题考查了终边相同的角的集合定理，属于根底题．4．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕sinαcosα＜0，那么α是第二或四象限角．【分析】由sinαcosα＜0，可得或．进而判断出α所在的象限．【解答】解：∵sinαcosα＜0，∴或．因此α是第二或四象限角．故答案为：二或四．【点评】此题考查了角所在的象限符号问题，属于根底题．5．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕log32=a，那么log3218用a表示为．【分析】利用对数的换底公式和对数的运算法那么进行化简即可．【解答】解：利用对数的换底公式可得log3218=，∵log32=a，∴log3218=．故答案为：．【点评】此题主要考查对数的换底公式以及对数的运算法那么的应用，要求熟练掌握相应的运算公式．6．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕假设，那么a的取值范围是．【分析】利用对数的运算性质，解对数不等式即可，要对a进行分类讨论．【解答】解：∵，∴，假设a＞1，此时函数y=log⁡ax单调递增，那么有，解得a＞1．假设0＜a＜1，此时函数y=log⁡ax单调递减，那么有，解得．综上：a＞1或．故答案为：．【点评】此题主要考查对数的根本运算以及对数不等式的解法，要注意对底数a进行分类讨论，利用对数函数的单调性进行解决．7．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数f〔x〕=x2+2ax+1在[﹣1，2]上不存在反函数，那么实数a的取值范围为〔﹣2，1〕．【分析】由函数f〔x〕=x2+2ax+1=〔x+a〕2+1﹣a2在[﹣1，2]上不存在反函数，可得﹣1＜﹣a＜2，解出即可．【解答】解：f〔x〕=〔x+a〕2+1﹣a2，∵函数f〔x〕=x2+2ax+1在[﹣1，2]上不存在反函数，∴﹣1＜﹣a＜2，解得﹣2＜a＜1．故答案为〔﹣2，1〕．【点评】此题考查了二次函数的单调性、反函数的定义等根底知识，属于根底题．8．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕假设，那么=cosα﹣sinα．【分析】由α的范围判断出cosα﹣sinα的正负，所求式子利用完全平方公式变形，利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．【解答】解：∵α∈〔，〕，∴cosα＞sinα，即cosα﹣sinα＞0，那么==|cosα﹣sinα|=cosα﹣sinα．故答案为：cosα﹣sinα【点评】此题考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数间的根本关系，熟练掌握根本关系是解此题的关键．9．〔3分〕〔2024•上海〕设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，假设当x∈〔0，+∞〕时，f〔x〕=lgx，那么满足f〔x〕＞0的x的取值范围是〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕．【分析】首先画出x∈〔0，+∞〕时，f〔x〕=lgx的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈〔﹣∞，0〕时的图象，最后观察图象即可求解．【解答】解：由题意可画出f〔x〕的草图观察图象可得f〔x〕＞0的解集是〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕故答案为〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕【点评】此题考查奇函数及对数函数f〔x〕=lgx的图象特征，同时考查数形结合的思想方法．10．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕假设，那么a=8．【分析】由α的范围，得到sinα大于0，cosα小于0，利用同角三角函数间的根本关系列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，cosα=，∴sinα＞0，cosα＜0，∵sin2α+cos2α=1，∴〔〕2+〔〕2=1，＞0，＜0，整理得：4a〔a﹣8〕=0，且a＞3或a＜﹣5，解得：a=8．故答案为：8【点评】此题考查了同角三角函数间的根本关系，熟练掌握根本关系是解此题的关键．11．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数y=loga〔3﹣ax〕，〔a＞0，a≠1〕在[0，1]上单调递减，那么实数a的取值范围为〔1，3〕．【分析】利用复合函数的单调性确定a的取值范围即可．【解答】解：设t=g〔x〕=3﹣ax，那么∵a＞0，a≠1，∴t=3﹣ax在定义域上单调递减，要使函数y=loga〔3﹣ax〕，〔a＞0，a≠1〕在[0，1]上单调递减，那么有y=logat在定义域上为单调递增，那么须有，即，解得1＜a＜3．故实数a的取值范围为1＜a＜3．故答案为：〔1，3〕．【点评】此题主要考查复合函数的单调性的判断，利用内外层函数单调性之间的关系进行求解：“同增异减〞．12．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕角α终边上一点P〔t，﹣4〕，假设，那么tanα=．【分析】对t分类讨论，t=0时，α的终边落在y轴的非正半轴上，此时tanα不存在．t≠0时，由|OP|=，可得，解得t．进而利用正切函数的定义即可得出．【解答】解：当t=0时，点P〔0，﹣4〕，α的终边落在y轴的非正半轴上，此时tanα不存在．当t≠0时，|OP|=，∴，解得t=±3．当t=3时，；当t=﹣3时，．综上可知：．故答案为：．【点评】此题考查了三角函数的定义、分类讨论的思想方法等根底知识与根本方法，属于根底题．二、选择题〔本大题4小题，每题3分，共12分〕13．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕“〞是“〞的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当时，成立．假设，当α=时，也成立，但不成立．故“〞是“〞的必要不充分条件．应选B．【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的定义是解决此题的关键．14．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕假设函数的定义域为R，那么k的取值范围是〔〕A． B． C． D．【分析】利用对数函数的性质，将函数的定义域转化为kx2+4kx+3＞0恒成立即可．【解答】解：要使函数的定义域为R，那么kx2+4kx+3＞0恒成立．假设k=0，那么不等式kx2+4kx+3＞0等价为3＞0，∴k=0成立．假设k≠0，要使为kx2+4kx+3＞0恒成立，那么，即，解得0．综上：0．应选C．【点评】此题主要考查对数函数和二次函数的图象和性质，利用对数的性质，将问题转化为不等式恒成立是解决此题的关键，注意对k要进行讨论．15．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕将a2b=N〔a＞0，a≠1〕转化为对数形式，其中错误的选项是〔〕A． B． C． D．【分析】根据指数式和对数式之间的关系，以及对数的运算法那么分别进行判断．【解答】解：根据指数式和对数式之间的关系可得，假设a2b=N，那么2b=logaN，即，∴A正确．假设a2b=N，那么〔a2〕b=N，那么，∴B正确．假设a2b=N，那么〔ab〕2=N，那么，∴C正确．∴D错误．应选D．【点评】此题主要考查指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：ab=N⇔b=log⁡aN．16．〔3分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数，假设存在正整数k满足：f〔1〕•f〔2〕•f〔3〕•…•f〔n〕=k，那么我们把k叫做关于n的“对整数〞，那么当n∈[1，10]时，“对整数〞共有〔〕A．1个 B．2个 C．4个 D．8个【分析】由题意，f〔x〕=log〔x+1〕〔x+2〕=，再计算f〔1〕f〔2〕f〔3〕…f〔x〕=log2〔x+2〕，根据1≤x≤100，得log23≤log2〔x+2〕≤log212，从而可得“对整数〞的个数．【解答】解：由题意，根据换底公式得，f〔x〕=log〔x+1〕〔x+2〕=，所以k=f〔1〕f〔2〕f〔3〕…f〔x〕=…==log2〔x+2〕．∵1≤x≤10，∴log23≤log2〔x+2〕≤log212整数有log24，log28，即2，3，两个整数．应选：B．【点评】此题的考点排列、组合的实际应用，主要考查新定义，考查对数运算，属于根底题．三、解答题〔本大题共5小题，总分值52分〕17．〔8分〕〔2024春•浦东新区期中〕解方程：log2〔9x﹣5〕=log2〔3x﹣2〕+2．【分析】利用对数的运算法那么建立对数方程，将条件转化为指数方程进行求解，求解之后注意要进行检验．【解答】解：由，得，即9x﹣5=4〔3x﹣2〕，∴〔3x〕2﹣4•3x+3=0，解得3x=1或3x=3，∴x=0或x=1．当x=0时，9x﹣5＜0，∴不合题意，舍去，∴原方程的解是x=1．【点评】此题主要考查对数方程和指数方程的解法，求解后要注意要对根进行检验．18．〔8分〕〔2024春•浦东新区期中〕tanα=﹣2，求以下各式的值．〔1〕〔2〕4sin2α+3cos2α【分析】〔1〕原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的根本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值；〔2〕原式分母看做“1〞，分子分母除以cos2α，利用同角三角函数间的根本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：〔1〕∵tanα=﹣2，∴原式====1；〔2〕∵tanα=﹣2，∴原式====．【点评】此题考查了三角函数的化简求值，熟练掌握根本关系是解此题的关键．19．〔10分〕〔2024春•浦东新区期中〕，且π＜α＜2π，求tan〔2π﹣α〕．【分析】利用诱导公式化简，然后将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：由得sinα+cosα=﹣，两边平方得：1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣，∵π＜α＜2π，∴sinα＜0，∵2sinαcosα=﹣＜0，∴cosα＞0，∴＜α＜2π，∴cosα＞0＞sinα，可得，解得：，即tanα=．那么tan〔2π﹣α〕=﹣tanα=﹣=．【点评】此题考查了三角函数的化简求值，诱导公式，以及同角三角函数间的根本关系，熟练掌握公式及根本关系是解此题的关键．20．〔10分〕〔2024春•浦东新区期中〕扇形AOB的周长为8cm．〔1〕假设这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；〔2〕求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．【分析】〔1〕根据周长和面积列出关于r和l的方程组，解方程组即可．〔2〕根据周长和S=lr=l•2r以及均值不等式求出最大值，进而得出半径，即可求出弦长．【解答】解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，〔1〕由题意知，解得：或∴α==或6；〔2〕∵2r+l=8，∴S=lr=l•2r≤，当且仅当2r=l，即α==2时，面积取得最大值4，∴r=2，∴弦长AB=2sin1×2=4sin1．【点评】此题考查了扇形面积公式以及均值不等式的运用，属于中档题．21．〔16分〕〔2024春•浦东新区期中〕函数是奇函数．〔1〕求m的值；〔2〕求f〔x〕的反函数f﹣1〔x〕；〔3〕讨论f〔x〕的单调性，并用